高考數(shù)學(xué)簡單幾何體

1、立體幾何第二講簡單幾何體2004年高考輔導(dǎo)講座年高考輔導(dǎo)講座 學(xué)習(xí)內(nèi)容： 本章內(nèi)容是簡單幾何體中常見的棱柱、棱錐和球的概念性質(zhì)及面積、體積的計算.它是建立在第一章線面關(guān)系和兩個體積公理的基礎(chǔ)上研究上述幾何體的性質(zhì)及體積公式的。 學(xué)習(xí)要求： 熟練掌握上述幾何體的性質(zhì)并能靈活運用這些性質(zhì)和第一章的有關(guān)知識，判定這些幾何體中的線面關(guān)系，進一步鞏固和加深對線面關(guān)系的理解，提高空間想象，邏輯思維和計算能力。 學(xué)習(xí)指導(dǎo)： 本章在學(xué)習(xí)中要靈活運用轉(zhuǎn)化的思想、函數(shù)與方程的思想。 轉(zhuǎn)化思想：把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題；運用切割與組合的思想，把一個復(fù)雜的幾何體轉(zhuǎn)化為幾個簡單的幾何體；運用等積法化難為易。 函數(shù)與方程

2、思想：把面積體積公式看成函數(shù)表達式，運用函數(shù)性質(zhì)去研究問題；把體積面積公式看作列方程和方程組的等量關(guān)系來解決問題。棱柱棱柱概念性質(zhì)斜棱柱直棱柱正棱柱*其他棱柱側(cè)面積 體積lcschs直斜直=hsv底柱=注：四棱柱-平行六面體-直平行六體- 長方體-正四棱柱-正方體棱錐概念性質(zhì)側(cè)面積正棱錐*一般棱錐21chs=正一般棱錐側(cè)面積求各面面積之和體積shv31=錐注：解題中應(yīng)靈活運用三棱錐（可以任意換底）的特殊性，處理問題。多面體定義體積*(轉(zhuǎn)化思想)分類四面體、五面體等凸（凹）多面體等歐拉公式:2=efv球定義截面性質(zhì)表面積體積.o orrd4=s2r34=v3r222rrd=極限思想二典型例題解析

3、與規(guī)律方法技巧總結(jié)例、設(shè)有三個命題：甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體。乙：底面是矩形的平行六面體是長方體。丙：直四棱柱是直平行六面體。以上命題中真命題的個數(shù)是（）(a) 0 (b) 1 (c ) 2 (d) 3此題為年全國高考題，答案為b.例2、如圖，圓錐形容器高為h底面平行于水平面，錐頂朝上放置，內(nèi)部裝有水面高度為h/3的水，現(xiàn)將圓錐倒置，使錐頂朝正下方向，此時容器內(nèi)的水面高度為（ ）h?3h答案為h3193例如圖：這是一個正方體的展開圖，若將其折回正方體，則有下列命題：(1點h與點c重合(2)點d與m,r點重合(3)點b與點q重合(4)點a與點s重合其中正確的是（）abcdefgh

4、nmpqrs答案：（）（）例4、在正三棱錐 a-bcd中，e,f分別是ab,bc中點，ef de且bc=1則正三棱錐a-bcd的體積是abcdef分析：此題容易忽略正三棱錐固有的隱含條件：對棱垂直即ac bd。再由平行關(guān)系可得ac 面abd，故該正三棱錐三條側(cè)棱兩兩互相垂直，解得體積為242例5、正方體abcd-a1b1c1d1中,點p在側(cè)面bcc1b1及其邊界上運動,并且總保持ap bd1則動點p的軌跡是( )(a) 線段 b1c (b)線段 bc1 (c) bb1中點與cc1中點連成的線段 (d) bc 中點與b1c1中點連成的線段 abcda1b1c1d1p解析：ap在點p運動的過程中總

5、保持與bc1垂直，說明bd1可能垂直于點a所在的平面，由此聯(lián)想到與正方體體對角線垂直的平面acb1，即點p在b1c上運動時滿足題意。故選a.例6、如圖已知多面體abc-defg中，ab,ac,ad兩兩互相垂直，平面abc 平面defg,平面bef 平面adgcab=ad=dg=2,ac=ef=1,則該多面體的體積為分析：可將該多面體如圖1分割成兩個四棱錐求體積之和。abcdefg圖1還可將其如圖2所示分成兩個三棱柱求體積之和。abcdefg圖2m答案：4111cbaabc 例7、如圖，已知 是正三棱柱，d是ac中點（）證明： 平面（）假設(shè) 求以 為棱, 與 為 面的二面角的度數(shù)。1ab1dbc

6、1bc1ab1bc1dbc1cbcabc1a1b1cd分析：(1)問的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到與平行的線。由已知d是中點想到利用中位線來找平行線。連接則de即可。1dbc1abcb1efabc1a1b1cde分析（）問的關(guān)鍵是找到二面角的平面角，找平面角的方法是三垂線法。作df bc,則df 平面 ,連接ef，則ef是ed 在平面上的射影。 根據(jù)三垂線定理的逆定理，得ccbb11ccbb111ab1bc1abdede1bcef1bcdef是二面角的平面角。放在三角形中解得的結(jié)果是045例8、如圖四棱錐p-abcd中，底面四邊形為正方形，側(cè)面pdc為正三角形，且平面pdc 底面abcd，e為pc中點。

7、（1）求證：pa 面edb.（2）求證：平面edb 平面pbc.（3）求二面角d-pb-c的正切值。abcpedo證1：連接ac交bd于o易證pa eo,(1)問得證(2)問的關(guān)鍵是在一個面內(nèi)找到另一個面的垂線,由于要尋找垂直條件故應(yīng)從已知與垂直有關(guān)的條件入手,突破此問.因為bc cd所以bc 面pdc 所以 bc de又因為e是中點所以 de pc.綜上 有de 面pbc.abcpedf(3)問的關(guān)鍵是找到二面角的平面角上問知de 面pbc,所以過e做ef pb,連接fd,由三垂線定理知 def為二面角平面角.將平面角放在直角三角形中可解得正切值為.6練習(xí)1 已知平面及以下三個幾何體：（）長

8、寬高皆不相等的長方體。（）底面為平行四邊形但不是矩形和菱形四棱柱。（）正四面體這三個幾何體在平面上的射影可以是正方形的幾何體是（）三、鞏固與練習(xí)三、鞏固與練習(xí):答案為：1，2，3練2、 三棱柱abc-a1b1c1的體積為v，p為側(cè)棱bb1上 的 任意一點，四棱錐p-acc1a1的體積為v1，則v1:v=abcpa1b1c1分析：此題需將四棱錐的體積轉(zhuǎn)化為柱體體積與兩個三棱錐體積之差求解。答案：2：3練3、已知長方體的全面積為，十二條棱長度之和為，則這個長方體的一條對角線長為（）解題關(guān)鍵：整體性思維答案：111cbaabc ;練4、如圖，已知 是正三棱柱，d是ac中點（）證明： 平面（）假設(shè) 求

9、以 為棱, 與 為 面的二面角的度數(shù)。1ab1dbc1bc1ab1bc1dbc1cbc;練5、在一個倒置的正三棱錐容器內(nèi)，放入一個鋼球，鋼球恰與此三棱錐的四個面都接觸，按這三棱錐的一條側(cè)棱和高做截面，正確的截面圖形是（ ）abcd答案d練6、已知;四棱錐p-abcd的底面是邊長為4的正方形,po 底面abcd,若pd=6,m,n分別是pb,ab的中點.(1)求三棱錐p-dmn的體積.(2)求二面角m-dn-c的大小.abcdpmn(1)問體現(xiàn)了三棱錐體積求法的靈活性解法較多。結(jié)果為4。（2）問二面角正切值253練習(xí)7、正方體中be=df,截面aegf交cc1于g,且與底面 abcd成的二面角，ab=1則以abcdefg為頂點的多面體體積是abcdefga1b1c1d1求不規(guī)則多面體體積的基本思想是將其轉(zhuǎn)化成我們熟悉的柱體或錐體求解。轉(zhuǎn)化的手段或割或補。此題割補均可獲解。法1、如圖將多面體體積轉(zhuǎn)化為大三棱錐與兩個小三棱錐體積之差求解。abcdefga1b1c1d1mnabcdefga1b1c1d1法2、如圖可將多面體分成兩個等體積的四棱錐而后求解較法1更為簡捷。mn法3、如圖，由對稱性還可以將該多面體補形為長方體，且該長方體體積為多面體體積的兩陪。較法2更簡單。答案：66練習(xí)8、已知底面abc