激光原理與激光技術(shù) 第二章

1、 第二章第二章 光學(xué)諧振腔理論光學(xué)諧振腔理論2.1 諧振腔與模式諧振腔與模式2.2共軸球面腔的穩(wěn)定性條件共軸球面腔的穩(wěn)定性條件2.3開腔模式的衍射理論分析方法開腔模式的衍射理論分析方法2.4方形鏡共焦腔的自再現(xiàn)模方形鏡共焦腔的自再現(xiàn)模2.5方形鏡共焦腔的行波場方形鏡共焦腔的行波場厄米高斯光束厄米高斯光束2.6一般穩(wěn)定球面腔一般穩(wěn)定球面腔2.7非穩(wěn)腔介紹非穩(wěn)腔介紹基本概念理論基礎(chǔ)2.1 諧振腔與模式諧振腔與模式一、光腔的分類一、光腔的分類二、模的概念二、模的概念 腔與模的一般聯(lián)系腔與模的一般聯(lián)系三、衡量諧振腔質(zhì)量的重要參數(shù)三、衡量諧振腔質(zhì)量的重要參數(shù) 光學(xué)諧振腔光學(xué)諧振腔是激光器的重要組成部分，

2、其總的作用表現(xiàn)在兩個方面：（1）提供光學(xué)反饋，使激光器成為激光振蕩器；（2）限模，使激光束具有一定的能量空間分布及頻譜結(jié)構(gòu)。 在激光技術(shù)發(fā)展歷史上，最早提出的是所謂平行平面腔。在光學(xué)上稱為法布里珀羅干涉儀。隨著激光技術(shù)的發(fā)展，人們又廣泛采用各種各樣的光學(xué)諧振腔。 閉腔 穩(wěn)定腔（共焦腔、其他）光學(xué)諧振腔 開腔 非穩(wěn)腔 臨界腔（平行平面腔、共心腔） 氣體波導(dǎo)管 一、光腔的分類一、光腔的分類腔反射鏡固體激光棒波導(dǎo)管腔反射鏡(a)(b)(c)圖 2.1.1 (a)閉腔 (b)開腔 (c)氣體波導(dǎo)腔駐波腔行波腔（折疊腔）（三鏡環(huán)形腔）(四鏡環(huán)形腔） 圖2.1.2 光腔的其他分類方法二、模的概念二、模的概

3、念 腔與模的一般聯(lián)系腔與模的一般聯(lián)系腔的模式就是光學(xué)諧振腔內(nèi)可能存在的電磁場的本征態(tài)。特定的腔 不同的邊界條件 不同的電磁場本征態(tài) 不同的光腔模式 模特性是光學(xué)諧振腔的最重要的特性。一個穩(wěn)定的光學(xué)諧振腔橫模橫模對應(yīng)于諧振腔內(nèi)橫向穩(wěn)定可能光場分布，縱?？v模對應(yīng)于滿足共振條件的縱向穩(wěn)定的可能光場分布。在激光器的輸出光束中，不同橫模相當(dāng)于光強(qiáng)分布不同的光斑花樣；不同縱模相當(dāng)于頻率不同的單色譜線。 在進(jìn)入嚴(yán)格的模式理論之前，本節(jié)利用均勻平面波模型討論開腔中傍軸傳播模式的諧振條件及縱模頻率間隔的普遍表達(dá)式。 考慮均勻平面波在FP腔中沿軸線方向往返傳播的情形。當(dāng)波在腔鏡上反射時，如射波與反射波將會發(fā)生干涉

4、，多次往返反射就會發(fā)生多光束干涉。為了能在腔內(nèi)形成穩(wěn)定振蕩，要求波能因干涉而得到加強(qiáng)。 表示波在腔內(nèi)往返一周時的相位滯后，發(fā)生相長干涉相長干涉的條件可以表示為： 022Lq 20qL =q2qc=q2L將滿足上式的波長以 來標(biāo)記，則有：0qq0qc也可以用頻率 來表示： 腔的諧振頻率腔的諧振頻率（2.1.1）（2.1.2）（2.1.3）qq+1qc2L (2.1.3)式表明，F(xiàn)P腔中的諧振頻率是分立的，不同的 值對應(yīng)于不同的縱模。腔的相鄰兩個縱模間的頻率之差 稱為縱模間隔。qq 可以看出， 與 無關(guān)，對一定的光腔為一常數(shù)，因而腔的縱模在頻率尺度上是等距離排列的 ，如下圖示，其形狀像一把梳子，常

5、常稱為“頻率梳”。qq（2.1.4）qq+1q-1q+2c 圖2.1.3 FP腔的頻譜 以上是用干涉理論對平行腔進(jìn)行一個簡單的分析，諧振腔的更全面的情況將在衍射理論中討論。三、衡量諧振腔質(zhì)量的重要參數(shù)三、衡量諧振腔質(zhì)量的重要參數(shù)則如果損耗有多種，每種相對獨(dú)立的損耗因子為 ，則有： 對于各種損耗，無論其起因如何，我們都可以引進(jìn)一個“平均單程損耗因子” 來定量地描述。 的定義為：如果初始光強(qiáng)為 ，在腔內(nèi)往返一次后，光強(qiáng)衰減為 ，總可以寫為：0I1I210I =I e1ln201IIi123210I =I eii（2.1.5）（2.1.6） （2.1.7）1、損耗、損耗（1）幾何橫向逸出損耗 A、平

6、行平面腔中斜射光線的損耗 B、腔鏡的不完全平行引起的損耗nLLcD122nLLLcDD諧振腔的損耗主要有以下幾種：（2）腔鏡的不完全反射引起的損耗（3）衍射損耗1 21ln2rrr 2aNL11N 菲涅耳數(shù)菲涅耳數(shù)2、光子在腔內(nèi)的平均壽命、光子在腔內(nèi)的平均壽命設(shè)光子在腔內(nèi)穩(wěn)往返m次后，所用的時間為t，則：tm2nL c ct2mnL00I tI eI e此時光強(qiáng)衰減為：pcnL pt0I tI e 設(shè) ，則， （2.1.8）（2.1.9）（2.1.10） 從上式可以看出，經(jīng)過 時間后，腔內(nèi)光強(qiáng)衰減為初始值 。并且 愈大， 愈小，說明腔的損耗愈大，腔內(nèi)光子數(shù)衰減的愈快。pp1 e3、諧振腔的、諧

7、振腔的Q值值諧振腔的Q值，沿用LC振蕩回路的品質(zhì)因數(shù)Q值來表征，其定義為：Q=2 腔內(nèi)存儲的總能量單位時間損耗的能量pnLQ=22c 由上式看出，腔長越長，損耗越小，諧振腔的Q值越高，則激光越容易起振。（2.1.11）（2.1.12）4、無源腔的本征振蕩線寬、無源腔的本征振蕩線寬 在上面的討論中已知，由于強(qiáng)損耗的存在，腔內(nèi)光強(qiáng)是按指數(shù)規(guī)律衰減的，即 pt0I tI e 020ptitE tE e e122cpcnL 則稱為無源腔的振蕩線寬，由上式可知，光在腔內(nèi)的衰減時間越長，或者說損耗越小，腔長越長，無源腔的線寬越窄。c則中心頻率為 的光場，其電矢量表達(dá)式為：0c這樣的衰減振動，由傅立葉頻譜分

8、析已知，頻譜將具有有限寬度 ，它與 的關(guān)系為：p（2.1.13）（2.1.14）2.2共軸球面腔的穩(wěn)定性條件共軸球面腔的穩(wěn)定性條件一、腔內(nèi)光線往返傳播的矩陣表示一、腔內(nèi)光線往返傳播的矩陣表示二、共軸球面腔的穩(wěn)定性條件二、共軸球面腔的穩(wěn)定性條件一、腔內(nèi)光線往返傳播的矩陣表示一、腔內(nèi)光線往返傳播的矩陣表示 用幾何光學(xué)方法分析諧振腔的是研究光線在腔內(nèi)往返反射的過程。如圖所示的諧振腔，由曲率半徑為 R1和 R2的兩個球面鏡 M1和 M2構(gòu)成。 腔內(nèi)任一傍軸光線在給定的橫截面內(nèi)都可以由兩個坐標(biāo)參數(shù)來表征：一個是光線離軸線的距離 ，另一個是光線與軸線的夾角 。r1 1r22r3 3r44r55rLrM1M

9、2圖2.2.1 光線在共軸球面腔中的往返傳播在自由空間傳播時，有幾何光學(xué)直進(jìn)原理可知：該方程表示為矩陣形式：這樣，我們用一個列矩陣 描述任一光線的坐標(biāo)，而用一個二階方陣描述當(dāng)光線在在自由空間中行進(jìn)距離L時所引起的坐標(biāo)變換。211sin21rrLrL 21110121L1TrrLrrLT1r12r2（2.2.1）（2.2.2）0i0iirr2rRiir0 0r0iRi0r0ir110ii0iiR0T2rrrR將上述方程表示為矩陣形式，有： 稱為球面鏡的反射矩陣。RTR在球面鏡上發(fā)生反射時，根據(jù)球面鏡對傍軸光線的反射規(guī)律有：式中， 、 為入射光線在鏡面上的坐標(biāo)參數(shù)； 、 為反射光線在鏡面上的坐標(biāo)參

10、數(shù)； 為球面鏡在鏡面上的坐標(biāo)參數(shù)。（2.2.3）（2.2.4） 回到光線在腔內(nèi)傳播的情形（圖2.2.1），光線在腔內(nèi)完成一次往返，從M1到M2，M2反射，M2到M1，M1反射，其總的坐標(biāo)變換可寫為：1111110 10 1511115111200LLA BT22C DRRrrrr 11r22r33r44r55rLM 1M 2往返矩陣往返矩陣 在上述分析的基礎(chǔ)上，可進(jìn)一部將光線在腔內(nèi)經(jīng)n次往返時其參數(shù)的變換關(guān)系以矩陣的形式表示為：n11n1n1rrTTTTTr（2.2.5）（2.2.6）按照矩陣?yán)碚摽梢郧蟮茫菏街羞@樣則有： 這就是我們用幾何光學(xué)方法分析傍軸光線在共軸球面腔內(nèi)往返傳播過程所得到的結(jié)

11、果。sinsinsinsinsinsinsinnnnnnnA-n-1BnABA B1TCDnn 1CDC D arccos1A D2nn 1n1nn 1n1rA rBC rD（2.2.7）（2.2.8）（2.2.9）二、共軸球面腔的穩(wěn)定性條件二、共軸球面腔的穩(wěn)定性條件 我們所關(guān)心的問題也可表述為，在什么情況下傍軸光線在共軸球面腔內(nèi)任意多次而不致橫向逸出腔外。這就要求 n次往返變換矩陣 的各個元素 、 、 、 對任意 n均保持有限。這就歸結(jié)為 應(yīng)為實(shí)數(shù)應(yīng)為實(shí)數(shù)（而且 不應(yīng)為 ， ） 。nTnAnBnCnDk, , ,k 012arcco12sAD21121112ADAD則有：或者即為共軸球面腔的

12、穩(wěn)定性條件即為共軸球面腔的穩(wěn)定性條件（2.2.10）腔的穩(wěn)定性判據(jù)：腔的穩(wěn)定性判據(jù)：112112112ADADAD穩(wěn)定腔穩(wěn)定腔非穩(wěn)腔非穩(wěn)腔臨界腔臨界腔Homework ：試寫出下圖示腔的傳播矩陣及穩(wěn)定性條件LLLRR2.32.3開腔模式的衍射理論分析方法開腔模式的衍射理論分析方法一、開腔模的一般物理概念一、開腔模的一般物理概念二、開腔模的衍射理論分析方法二、開腔模的衍射理論分析方法 為了簡化分析，在這里我們提出一個理想的開腔模型理想的開腔模型：兩塊反射鏡片（平面的或曲面的）沉浸在均勻、無限的、各向同性的介質(zhì)中。 考慮在這樣的開腔中往返傳播的一列波。設(shè)初始時刻在鏡1上某一個場分布U1，則波在腔中

13、第一次渡越而到達(dá)鏡2時，在鏡2上生成一個新的場分布U2，U2境第二次渡越又在鏡1生成U3。如此往返，每經(jīng)一次渡越，波都將因衍射而損失一部分能量，而且衍射還將引起能量分布的變化?？梢灶A(yù)可以預(yù)期，在經(jīng)過足夠多次渡越后，能形成這樣一種穩(wěn)態(tài)場：分布不再受衍射的期，在經(jīng)過足夠多次渡越后，能形成這樣一種穩(wěn)態(tài)場：分布不再受衍射的影響，在腔內(nèi)往返一次后能夠影響，在腔內(nèi)往返一次后能夠“再現(xiàn)再現(xiàn)”出發(fā)時的場分布出發(fā)時的場分布。 我們把開腔鏡面上的經(jīng)一次往返能再現(xiàn)的穩(wěn)態(tài)場分布稱為開腔的自再開腔的自再現(xiàn)?；驒M?，F(xiàn)?；驒M模。一、開腔模的一般物理概念一、開腔模的一般物理概念二、開腔模的衍射理論分析方法二、開腔模的衍射理論

14、分析方法 光學(xué)中著名的惠更斯菲涅耳原理是從理論上分析衍射問題的基礎(chǔ)，因而也必然是開腔模式問題的理論基礎(chǔ)。該原理的嚴(yán)格數(shù)學(xué)表述是菲涅耳基爾霍夫衍射積分，他可以從普遍的電磁場理論推導(dǎo)出來。鏡1鏡21( ,)u x y2( , )ux y1S2Sn12( , )( ,)cosik1Sikeux yu x y1dS41、應(yīng)用菲涅耳基爾霍夫衍射積分有：（2.3.1）2、自再現(xiàn)模積分方程1( , )( , )j 1jux yux y所以有自再現(xiàn)模積分方程：( , )( ,)cosikSikev x yv x y1dS41( , )( ,)ikSiv x yv x y edSL由模式“再現(xiàn)”概念有：積分方程

15、可寫為：為表示振幅衰減和相位移動的常數(shù)因子。式中，且當(dāng)1cos2, ,cos1,Lx yLL時，（* 深入理解 的意義）1( , )( , , ,) ( ,)Sv x yK x y x y v x y dS( , ,),( , ,)ikx y x yiK x y x yeL 式中或者（2.3.2）（2.3.3）（2.3.4）（2.3.5）（2.3.6）3、自再現(xiàn)模積分方程的解法解析求解 *，只有對稱共焦腔才能得到 方形鏡共焦腔長橢球函數(shù)，厄米高斯光束 圓形鏡共焦腔超橢球函數(shù)，拉蓋爾高斯函數(shù)數(shù)值求解（數(shù)值迭代）2.42.4方形鏡共焦腔的自再現(xiàn)模方形鏡共焦腔的自再現(xiàn)模一、分析方形鏡模解能否分離變量

16、一、分析方形鏡模解能否分離變量二、方形鏡自再現(xiàn)模的精確解二、方形鏡自再現(xiàn)模的精確解三、鏡面上場的振幅和位相分布三、鏡面上場的振幅和位相分布一、分析方形鏡模解能否分離變量一、分析方形鏡模解能否分離變量 ?( , )v x yv x v y試證明 和 的解可能不只一個。以 和 分別表示他的第m個和第n個解， 和 表示相應(yīng)的復(fù)常數(shù)。 v x v y mvx nvymn ( , )mnmnvx yvx vy 則整個鏡面上的自再現(xiàn)模場分布函數(shù)為： mnmn （2.4.1）（2.4.2）二、方形鏡自再現(xiàn)模的精確解二、方形鏡自再現(xiàn)模的精確解1R2RLf2axyzoxy+a+a-a-a( , )( ,)xxy

17、yaaikikLLmnmnmnaaivx yevx y edxdyk 上圖為由線度為2a*2a的方形鏡構(gòu)成的對稱共焦腔，當(dāng)滿足條件22aLLa,La時，其自再現(xiàn)模 滿足的積分方程為：( , )mnvx y（2.4.4）（2.4.3）進(jìn)行變數(shù)代換，取：22ccX=x, Y=yaaa kac22 NLL并令 ， ( , )mnmnvx yFX GYmnmn1 2ikLcciXXiYYmnmnmnccieFX GYFXedXGYedY 1212()2()2ikLciXXmmm- cikLciYYnnncieFXFXedXieGYGYedY（2.4.5）（2.4.6）（2.4.7）（2.4.8）（2.

18、4.9）則式（2.4.1）轉(zhuǎn)化為：顯然，上式就等價于求解下述兩個積分本征值問題： ( , ),0,1,2,XYmnmnomonccvx yFX G YScScm n,yxXYaaomomomonccScScScSc 112,10,1,2,2,10,1,2,mmomnnonci Rcmci Rcn (1)/2114,1,1i kLm nmnomonNeRcRc （2.4.10）ikLmnmnie 方程（2.4.8）的精確解已為博伊德和戈登所求得，c為有限值，其中與 相應(yīng)的本征值為：( , )mnvx y式中則本征值寫為，（2.4.11）（2.4.12）（2.4.13）角向長橢球函數(shù)場分布本征值三

19、、鏡面上場的振幅和位相分布三、鏡面上場的振幅和位相分布1 1、厄米、厄米高斯近似高斯近似 在 的區(qū)域內(nèi)，即在共焦反射鏡面中心附近，角向長橢球函數(shù)可以表示為厄米多項(xiàng)式和高斯分布函數(shù)的乘積。,xa ya ,22X2XmommmcY2YnonnncFXScc HXeGYSc=c HY emcnc式中 、 為常系數(shù)； 為m階厄米多項(xiàng)式。mH 在鏡面中心附近，厄米高斯函數(shù)能正確描述共焦腔模。在厄米在厄米高斯近似下，場分布寫為：高斯近似下，場分布寫為：( , )22x +yLmnmnmn22vx yc Hx Hy eLL （2.4.14）（2.4.15）1R2RLf2axyzoxy+a+a-a-a2、基模

20、、基模在m=n=0時，即得出共焦腔基模（TEM00）的場分布函數(shù)：( , )22x +yL0000vx yc e 可見，基模在鏡面上的分布是高斯型的，模的振幅從鏡中心向邊緣平滑的降落。在離中心的距離為 處場的振幅降落為中心處的 。通常就用半徑為 的圓來規(guī)定基模光斑的大小，并定義共焦腔基模在鏡面上的光斑半徑光斑半徑為：22Lrxy1erL 0 sL（2.4.16）（2.4.17）3 3、高階橫模、高階橫模( ,)22x +yLmnmnmn22vx ycHxHy eLL 方形鏡共焦腔膜的振幅分布和強(qiáng)度花樣(a)振幅分布(b)強(qiáng)度花樣4、單程損耗、單程損耗1.41.4000.2070.207(1)2

21、LNNa122mnmnmn11 共焦腔自再現(xiàn)模 的單程功率損耗由下式給出： mnTEM 共焦腔中各個模的損耗與腔的具體幾何尺寸無關(guān)，而單值地由菲涅爾數(shù)確定。所有模式的損耗都隨著菲涅爾數(shù)的增加而迅速下降。 模的損耗可近似按下述公式（經(jīng)驗(yàn)公式）計算：00TEM（2.4.18）（2.4.19）5、諧振頻率、諧振頻率mnTEM共焦腔 模在腔內(nèi)一次渡越的總相移位：1argargmnmnmn (1)2mnkLm n 共焦腔的諧振條件為：以式（2.4.21）代入上式，得出各階橫模的諧振頻率為：22mnq 1122mnqcqmnL 以式（2.4.13）的 代入，即可得到：mn （2.4.20）（2.4.21）

22、（2.4.22）（2.4.23）Homework ：討論圓形鏡共焦腔的自再現(xiàn)模求解： 本征函數(shù) 本征值 基模 模的分布 單程損耗 諧振頻率 圓形鏡共焦腔模的強(qiáng)度花樣2.52.5方形鏡共焦腔的行波場方形鏡共焦腔的行波場 厄米厄米高斯光束高斯光束一、振幅分布和光斑尺寸一、振幅分布和光斑尺寸二、模體積二、模體積三、等相位面的分布三、等相位面的分布四、遠(yuǎn)場發(fā)散角四、遠(yuǎn)場發(fā)散角 在上節(jié)，我們得到了鏡面上的場分布。利用菲涅爾基爾霍夫衍射積分即可求出共焦腔中任一點(diǎn)的場。進(jìn)而在本節(jié)我們研究諧振腔模沿諧振腔在本節(jié)我們研究諧振腔模沿諧振腔軸線（軸線（Z軸）方向上的變化特性軸）方向上的變化特性。方形鏡共焦腔的 模在

23、腔內(nèi)或腔外任意Z處的場分布函數(shù)可寫為（坐標(biāo)原點(diǎn)選在腔中心坐標(biāo)原點(diǎn)選在腔中心）：mnTEM( )( , , )( )( )( )22rixyzz0mnmn0mn22Ex y zA EHx Hy eezzz,（2.5.1） 2220s0Lzzz1112ff222( , , ) (1) (1)122rx y zk fmnf式中（2.5.2）式(2.5.1)、(2.5.2)中各參數(shù)的意義如下： ； ； ；L為共焦腔長； 為鏡的焦距； 表示 模在腔內(nèi)任意點(diǎn) 處的電場強(qiáng)度； 為與坐標(biāo)無關(guān)的常量； 為歸一化常數(shù)。 arctan(1)/(1)2 /z Lzf00/ 2/2sL/2fL( , , )mnEx y

24、 zmnTEM( , , )x y z0EmnA一、振幅分布和光斑尺寸一、振幅分布和光斑尺寸按式（2.5.1），共焦場的振幅分布由下式確定：2()00( ,)( )( )( )22xyzmnmnmn22Ex y zAEHxHyezzz上式表明，腔中不同位置處的光斑大小各不相同，如圖 2.5.1示。2( )000000( , , )( )22xyzEx y zA Eez 可見，共焦場基模的振幅在橫截面內(nèi)有高斯分布函數(shù)所描述。定義在振幅的 處的基模光斑尺寸為：1/e 22220s0Lzzzz1112fff2（2.5.3）（2.5.4）（2.5.5）002s00, x yz2Lf 圖2.5.1 共焦

25、腔基模高斯光束光斑在共焦腔鏡面上，在共焦腔中心， 同時，式（2.5.5）亦表明，共焦場中的基模光斑的大小隨著坐標(biāo)z按雙曲線規(guī)律變化0()sLf002sf此時， 達(dá)到極小值，通常將 稱為高斯光束的基模腰斑半徑。( )z0（2.5.6）22220( )1zzf（2.5.7）二、模體積二、模體積基模模體積：212001VL222m1n1m2n2mn1VL22 模體積描述振蕩模式在腔內(nèi)所擴(kuò)展的空間體積。模體積越大，對該模式有貢獻(xiàn)的受激粒子就越多，因而可獲得較大的輸出功率，這是對激活介質(zhì)充滿腔的情況而言。否則還應(yīng)當(dāng)引入有效模體積，即該振蕩模式在激活介質(zhì)內(nèi)所擴(kuò)展的體積。 以下為計算模體積的近似公式， 分別

26、為兩鏡面上的光斑半徑。 12、 模模體積：mnTEM（2.5.8）（2.5.9）對共焦腔，易證：02121212mnVLmn021200VL（2.5.10）（2.5.11）三、等相位面的分布三、等相位面的分布 共焦場的相位分布由式（2.5.2）中的相位函數(shù) 描述。 隨坐標(biāo)而變化，與腔的軸線相交于 點(diǎn)的等相位面的方程由下式給出：( , , )x y z( , , )x y z0z0( , , )(0,0,)x y zz 在腔的軸線附近，共焦場的等相位面可近似為球面，與腔的軸線在 點(diǎn)相交的等相位面的曲率半徑為：0z20000( )0zffR zzfzfz 圖2.5.2 共焦場等相位面的分布（2.5

27、.12）（2.5.13）四、遠(yuǎn)場發(fā)散角四、遠(yuǎn)場發(fā)散角002s00, x yz2Lf 共焦腔的基模光束依雙曲線規(guī)律從腔的中心向外擴(kuò)展，由此定義基模遠(yuǎn)場發(fā)散角（全角）為雙曲線的兩根漸近線之間的夾角：( )limlim220 xxLz212f2z=2zzf 當(dāng)共焦腔激光器以單模運(yùn)轉(zhuǎn)時，發(fā)散角具有毫弧度量級，光束具有優(yōu)良的方向性；如果產(chǎn)生多模，則由于高階模的發(fā)散角隨模的階次而增大，因而光束的方向性變差。（2.5.14）2.6 2.6 一般穩(wěn)定球面腔一般穩(wěn)定球面腔一、一般穩(wěn)定球面腔與共焦腔的等價性一、一般穩(wěn)定球面腔與共焦腔的等價性二、一般穩(wěn)定球面腔的行波場和模特性二、一般穩(wěn)定球面腔的行波場和模特性一、一

28、般穩(wěn)定球面腔與共焦腔的等價性一、一般穩(wěn)定球面腔與共焦腔的等價性 任何一個共焦腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價；而任何一個穩(wěn)定球面腔唯一地等價于一個共焦腔。這里所說的“等價等價”，是指它們具有相同的行波場。這種等價性深刻地揭示出各種穩(wěn)定腔之間的內(nèi)在聯(lián)系，它使得我們可以利用共焦腔模式理論的研究結(jié)果來解析地表述一般穩(wěn)定球面腔的特征。 基于共焦腔模的行波場的傳播特性，我們進(jìn)一步來討論一般球面鏡腔我們進(jìn)一步來討論一般球面鏡腔的模特性。的模特性。（1）任意一個共焦球面腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價。）任意一個共焦球面腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價。 由于任一共焦腔模有無窮多個等相位面，因而我們可以用這種方法構(gòu)成無窮多個

29、等價球面腔。現(xiàn)在證明這些球面腔都是穩(wěn)定腔。1c2c3c4co1z2z3zz 共焦腔面共焦腔面 以圖2.6.1所示的等相位面 、 為例，對放置在 、 處的反射鏡，應(yīng)有： 2c1c1c2c21111()fRR zzz 22222()fRR zzz 21Lzz 可以證明， 滿足穩(wěn)定性條件。用類似的方法可以證明放置在共焦腔等相位面處的反射鏡都將構(gòu)成穩(wěn)定腔。120111LLRR 圖2.6.1 共焦腔與穩(wěn)定球面腔（2.6.1）（2）任一滿足穩(wěn)定性條件的球面腔唯一地等價于某一共焦腔。）任一滿足穩(wěn)定性條件的球面腔唯一地等價于某一共焦腔。 圖2.6.2 穩(wěn)定球面腔與它的等價共焦腔1R2R1z2zLfcc等價共焦

30、腔等價共焦腔oz 圖2.6.2中所示的雙凹腔應(yīng)滿足式（2.6.1）所示聯(lián)立的方程。由該聯(lián)立方程組可唯一地解出一組數(shù) 、 和 ：1z2zf2112LRLzLRLR1212L RLzLRLR 12122212L RLRLRRLfLRLR 在 、 、 求出后，等價共焦腔就唯一地確定下來了。1z2zf（2.6.2）二、一般穩(wěn)定球面腔的行波場和模特性二、一般穩(wěn)定球面腔的行波場和模特性1、鏡面上的光斑尺寸、鏡面上的光斑尺寸共焦腔中基模的光斑尺寸為： 202zz1f（2.6.3）()()()()()()()()1 412s111121 421s22212RL RLzRLR +R -LRL RLzRLR +R

31、 -L將式（2.6.2）中所示的 、 或 代入上式，即得出一般穩(wěn)定球面腔（ 、 、 ）的行波場的基模光斑尺寸的分布：f2z1zL2R1R（2.6.4）2、模體積、模體積21200122ssVL 與共焦腔模體積（2.5.8）相同的考慮方法，一般穩(wěn)定球面腔的基模模體積可以定義為：2121mn00VVmn高階模的模體積：（2.6.5）（2.6.6）3、等相位面的分布、等相位面的分布( )2fR zzz 由式（2.5.13）的共焦腔的等相位面分布 ，代入（2.6.2）中的 f 值，即得出穩(wěn)定腔中高斯光束的等相位面的曲率半徑方程式。4、基模遠(yuǎn)場發(fā)散角、基模遠(yuǎn)場發(fā)散角 將式（2.6.2）中的 f 值代入共焦腔的基模發(fā)散角公式（2.5.14）中即得出一般穩(wěn)定球面腔的基模遠(yuǎn)場發(fā)散角：1 42212022212(2 -)2(- )(- )(- )L R RL RL RL RRL（2.6.7）5、衍射損耗、衍射損耗共焦腔的每一個橫模的單程衍射損耗單值地由腔的菲涅耳數(shù)決定：2220saaNL定義穩(wěn)定球面腔的有效菲涅耳數(shù)為：ii2ief2saN （2.6.8）（2.6.9） 對一般穩(wěn)定球面腔，每一個反射鏡對應(yīng)著一個有效菲涅耳數(shù) ，不同的菲涅耳數(shù)對應(yīng)不同的損耗。兩個反射鏡上的損耗