典型題高考數(shù)學二輪復(fù)習知識點總結(jié)直線與圓

1、 直線與圓 考查重點是直線間的平行和垂直的條件、與距離相關(guān)的問題直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦長問題)，此類問題難度屬于中等，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時也會出現(xiàn)解答題，多考查其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識1 直線方程的五種形式(1)點斜式：yy1k(xx1)(直線過點p1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)(2)斜截式：ykxb(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)(3)兩點式：(直線過點p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，且x1x2，y1y2，不包括坐標軸和平行于坐標軸的直線)(4)截距式：1(a、b分別為直線的橫、縱截距，且a0

2、，b0，不包括坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線)(5)一般式：axbyc0(其中a，b不同時為0)2 直線的兩種位置關(guān)系當不重合的兩條直線l1和l2的斜率存有時：(1)兩直線平行l(wèi)1l2k1k2.(2)兩直線垂直l1l2k1·k21.提醒 當一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存有時，兩直線也垂直，此種情形易忽略3 三種距離公式(1)a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點間的距離：|ab|.(2)點到直線的距離：d(其中點p(x0，y0)，直線方程為：axbyc0)(3)兩平行線間的距離：d(其中兩平行線方程分別為l1：axbyc10.l2：axbyc20)提醒 應(yīng)用兩平行線間距

3、離公式時，注意兩平行線方程中x，y的系數(shù)應(yīng)對應(yīng)相等4 圓的方程的兩種形式(1)圓的標準方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圓的一般方程：x2y2dxeyf0(d2e24f>0)5 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法(2)圓與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法.考點一 直線的方程及應(yīng)用例1 (1)過點(5,2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是( )a2xy120b2xy120或2x5y0cx2y10dx2y10或2x5y0(2)若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1與

4、l2間的距離為( )a. b. c. d.答案 (1)b (2)b解析 (1)當直線過原點時方程為2x5y0，不過原點時，可設(shè)出其截距式為1，再由過點(5,2)即可解出2xy120.(2)由l1l2，知3a(a2)且2a6(a2)，2a218，求得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，兩條平行直線l1與l2間的距離為d.(1)要注意幾種直線方程的局限性點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線(2)求解與兩條直線平行或垂直相關(guān)的問題時，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即“斜率相等”或“互為負倒數(shù)”若出現(xiàn)斜率不存有的情況，

5、可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究(1)直線l1：kx(1k)y30和l2：(k1)x(2k3)y20互相垂直，則k( )a3或1 b3或1c3或1 d3或1(2)過點(1,0)且傾斜角是直線x2y10的傾斜角的兩倍的直線方程是_答案 (1)c (2)4x3y40解析 (1)l1l2，k(k1)(1k)(2k3)0，解得k13，k21.k3或1.(2)設(shè)直線x2y10的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為2.由已知得tan ，則tan 2，所以所求直線方程為y0(x1)，即4x3y40.考點二 圓的方程及應(yīng)用例2 (1)已知圓c過點(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上直線l：yx1被圓c所截得的弦長為2，則

6、過圓心且與直線l垂直的直線的方程為_(2)已知a(2,0)，b(0,2)，實數(shù)k是常數(shù)，m，n是圓x2y2kx0上兩個不同點，p是圓x2y2kx0上的動點，如果m，n關(guān)于直線xy10對稱，則pab面積的最大值是_答案 (1)xy30 (2)3解析 (1)設(shè)圓心坐標為(x0,0)(x0>0)，因為圓過點(1,0)，則半徑r|x01|.圓心到直線l的距離為d.由弦長為2可知2(x01)22，整理得(x01)24.x01±2，x03或x01(舍去)所以圓心為(3,0)，由此可求得過圓心且與直線yx1垂直的直線方程為y(x3)，即xy30.(2)依題意得圓x2y2kx0的圓心(，0)位

7、于直線xy10上，于是有10，即k2，所以圓心坐標是(1,0)，半徑是1.由題意可得|ab|2，直線ab的方程是1，即xy20，圓心(1,0)到直線ab的距離等于，點p到直線ab的距離的最大值是1，pab面積的最大值為×2×3. 圓的標準方程直接表示出了圓心和半徑，而圓的一般方程則表示出了曲線與二元二次方程的關(guān)系，在求解圓的方程時，要根據(jù)所給條件選取適當?shù)姆匠绦问浇鉀Q與圓相關(guān)的問題一般有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)(1)已知圓c：x2(y3)24

8、，過點a(1,0)的直線l與圓c相交于p、q兩點，若|pq|2，則直線l的方程為( )ax1或4x3y40 bx1或4x3y40cx1或4x3y40 dx1或4x3y40(2)已知圓c的圓心與拋物線y24x的焦點關(guān)于直線yx對稱，直線4x3y20與圓c相交于a，b兩點，且|ab|6，則圓c的方程為_答案 (1)b (2)x2(y1)210解析 (1)當直線l與x軸垂直時，易知x1符合題意；當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，線段pq的中點為m，因為|pq|2，易得|cm|1.又|cm|1，解得k，此時直線l的方程為y(x1)故所求直線l的方程為x1或4x3y40.故選b.(2

9、)設(shè)所求圓的半徑是r，依題意得，拋物線y24x的焦點坐標是(1,0)，則圓c的圓心坐標是(0,1)，圓心到直線4x3y20的距離d1，則r2d2()210，故圓c的方程是x2(y1)210.考點三 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系例3 (2013·江蘇)如圖，在平面直角坐標系xoy中，點a(0,3)，直線l：y2x4.設(shè)圓c的半徑為1，圓心在l上(1)若圓心c也在直線yx1上，過點a作圓c的切線，求切線的方程；(2)若圓c上存有點m，使|ma|2|mo|，求圓心c的橫坐標a的取值范圍解 (1)由題設(shè)，圓心c是直線y2x4和yx1的交點，解得點c(3,2)，于是切線的斜率必存有設(shè)過a(0,3

10、)的圓c的切線方程為ykx3，由題意，1，解得k0或，故所求切線方程為y3或3x4y120.(2)因為圓心在直線y2x4上，所以圓c的方程為(xa)2y2(a2)21.設(shè)點m(x，y)，因為|ma|2|mo|，所以2 ，化簡得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點m在以d(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點m(x，y)在圓c上，所以圓c與圓d有公共點，則21|cd|21，即13.由5a212a80，得ar；由5a212a0，得0a.所以點c的橫坐標a的取值范圍為.(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運算量研究直線與圓的位置關(guān)

11、系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn)，兩個圓的位置關(guān)系判斷依據(jù)兩個圓心距離與半徑差與和的比較(2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式通過過圓外一點的圓的切線條數(shù)能夠判斷此點和圓的位置關(guān)系過圓外一點求解切線長轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點距離利用勾股定理處理(1)(2013·江西)過點(，0)引直線l與曲線y相交于a、b兩點，o為坐標原點，當aob的面積取最大值時，直線l的斜率等于( )a. b c± d(2)(2013·重慶)已知圓c1：(x2)2(y3)21，圓c2：(x3)2(y4

12、)29，m，n分別是圓c1，c2上的動點，p為x軸上的動點，則|pm|pn|的最小值為( )a54 b.1c62 d.(3)(2013·山東改編)過點p(3,1)作圓(x1)2y21的兩條切線，切點分別為a，b，則直線ab的方程為_，pab的外接圓方程為_答案 (1)b (2)a (3)2xy30 (x2)2(y)2解析 (1)saob|oa|ob|·sinaobsinaob.當aob時，saob面積最大此時o到ab的距離d.設(shè)ab方程為yk(x)(k<0)，即kxyk0.由d得k.(也可ktanoph)(2)設(shè)p(x,0)，設(shè)c1(2,3)關(guān)于x軸的對稱點為c1(2

13、，3)，那么|pc1|pc2|pc1|pc2|c1c2|5.而|pm|pn|pc1|pc2|454.(3)易知點p(3,1)與圓心c連線和ab垂直，圓心為點(1,0)，點p(3,1)與圓心連線斜率k，故直線ab斜率kab2，結(jié)合圖形易知a點坐標為(1,1)，由點斜式得直線ab的方程為y12(x1)，即2xy30.又由capa，cbpb知，a、p、b、c四點共圓，且cp為其直徑pab的外接圓方程為(x2)2(y)2.1 因為直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在具體求直線方程時，由所給的條件和采用的直線方程形式所限，可能會產(chǎn)生遺漏的情況，尤其在選擇點斜式、斜截式時要注意斜率不存有的

14、情況2 確定圓的方程時，常用到圓的幾個性質(zhì)：(1)直線與圓相交時應(yīng)用垂徑定理構(gòu)成直角三角形(半弦長，弦心距，圓半徑)；(2)圓心在過切點且與切線垂直的直線上；(3)圓心在任一弦的中垂線上；(4)兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(5)圓的對稱性：圓關(guān)于圓心成中心對稱，關(guān)于任意一條過圓心的直線成軸對稱3 直線與圓中常見的最值問題圓上的點與圓外點的距離的最值問題，能夠轉(zhuǎn)化為圓心到點的距離問題；圓上的點與直線上點的距離的最值問題，能夠轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點與另一圓上點的距離的最值問題，能夠轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題4 過兩圓c1：x2y2d1xe1yf10，c2：x2y2d2x

15、e2yf20的交點的圓系方程為x2y2d1xe1yf1(x2y2d2xe2yf2)0.5 兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項，得到一個二元一次方程即為兩圓公共弦所在的直線方程1 若圓x2y2r2(r>0)上有且只有兩個點到直線xy20的距離為1，則實數(shù)r的取值范圍是_答案 (1，1)解析 注意到與直線xy20平行且距離為1的直線方程分別是xy20、xy20，要使圓上有且只有兩個點到直線xy20的距離為1，需滿足在兩條直線xy20、xy20中，一條與該圓相交且另一條與該圓相離，所以<r<，即1<r<1.2 過點o(0,0)作直線與圓c：(x4)2(y8)2169相交

16、，在弦長均為整數(shù)的所有直線中，等可能地任取一條直線，則弦長不超過14的概率為_答案 解析 已知圓c的半徑為13，c(4，8)，|co|12<13，o點在圓c的內(nèi)部，且圓心到直線的距離d0,12，直線截圓所得的弦長|ab|210,26，其中最短和最長的弦各有一條，長為11到25的整數(shù)的弦各有兩條，共有32條，其中弦長不超過14的有189(條)，所求概率p.(推薦時間：70分鐘)一、選擇題1 “a0”是“直線l1：(a1)xa2y30與直線l2：2xay2a10平行”的( )a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件答案 c解析 當a0時，l1：x30，l2：2x1

17、0，此時l1l2，所以“a0”是“直線l1與l2平行”的充分條件當l1l2時，a(a1)2a20，解得a0或a1.當a1時，l1：2xy30，l2：2xy30，此時，l1與l2重合，所以a1不滿足題意，即a0.所以“a0”是“直線l1l2”的必要條件2 a，b，c分別是abc中角a，b，c的對邊的邊長，則直線xsin aayc0與直線bxysin bsin c0的位置關(guān)系是( )a平行 b重合 c垂直 d相交但不垂直答案 c解析 直線a1xb1yc10和a2xb2yc20垂直的充要條件是a1a2b1b20，而bsin aa(sin b)0，兩直線垂直故選c.3 (2013·廣東)垂直

18、于直線yx1且與圓x2y21相切于第一象限的直線方程是( )axy0 bxy10cxy10 dxy0答案 a解析 與直線yx1垂直的直線設(shè)為：xyb0.則r1，所以|b|，又相切于第一象限，所以b.4 已知圓c關(guān)于y軸對稱，經(jīng)過點(1,0)且被x軸分成兩段弧長比為12，則圓c的方程為( )a(x±)2y2 b(x±)2y2cx2(y±)2 dx2(y±)2答案 c解析 由已知圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為，設(shè)圓心(0，a)，半徑為r，則rsin 1，rcos |a|，解得r，即r2，|a|，即a±，故圓c的方程為x2(y±

19、)2.5 設(shè)p為直線3x4y30上的動點，過點p作圓c：x2y22x2y10的兩條切線，切點分別為a，b，則四邊形pacb的面積的最小值為( )a1 b. c2 d.答案 d解析 依題意，圓c：(x1)2(y1)21的圓心是點c(1,1)，半徑是1，易知|pc|的最小值等于圓心c(1,1)到直線3x4y30的距離，即2，而四邊形pacb的面積等于2spac2×(|pa|·|ac|)|pa|·|ac|pa|，所以四邊形pacb的面積的最小值是，選d.6 兩個圓c1：x2y22axa240(ar)與c2：x2y22by1b20(br)恰有三條公切線，則ab的最小值為(

20、 )a6 b3 c3 d3答案 c解析 兩個圓恰有三條公切線，則兩圓外切，兩圓的標準方程為圓c1：(xa)2y24，圓c2：x2(yb)21，所以|c1c2|213，即a2b29.由()2得(ab)218，所以3ab3，當且僅當“ab”時取“”選c.二、填空題7 已知直線l1與圓x2y22y0相切，且與直線l2：3x4y60平行，則直線l1的方程是_答案 3x4y10或3x4y90解析 依題意，設(shè)所求直線l1的方程是3x4yb0，則由直線l1與圓x2(y1)21相切，可得圓心(0，1)到直線3x4yb0的距離為1，即有1，解得b1或b9.所以，直線l1的方程是3x4y10或3x4y90.8 (

21、2013·山東)過點(3,1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的長為_答案 2解析 由題意知，當弦的中點與圓心的連線與弦垂直時弦長最短，此時，點(3,1)為弦的中點，如圖所示|ab|2|be|222.9 若直線l：axby10始終平分圓m：x2y24x2y10的周長，則(a2)2(b2)2的最小值為_答案 5解析 由題意知，圓心坐標為(2，1)，2ab10，表示點(a，b)與(2,2)的距離，的最小值為，(a2)2(b2)2的最小值為5.10(2013·湖北)已知圓o：x2y25，直線l：xcos ysin 1(0<<)設(shè)圓o上到直線l的距離等于1的點

22、的個數(shù)為k，則k_.答案 4解析 圓心o到直線l的距離d1，而圓o半徑為，圓o上到l的距離等于1的點有4個三、解答題11如圖所示，已知以點a(1，2)為圓心的圓與直線l1：x2y70相切過點b(2,0)的動直線l與圓a相交于m，n兩點，q是mn的中點，直線l與l1相交于點p.(1)求圓a的方程；(2)當|mn|2時，求直線l的方程；(3)·是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由解 (1)設(shè)圓a的半徑為r.圓a與直線l1：x2y70相切，r2.圓a的方程為(x1)2(y2)220.(2)當直線l與x軸垂直時，易知x2符合題意；當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為yk(

23、x2)，即kxy2k0.連接aq，則aqmn.|mn|2，|aq|1.由|aq|1，得k.直線l的方程為3x4y60.所求直線l的方程為x2或3x4y60.(3)aqbp，·0.·()····.當直線l與x軸垂直時，得p.則，又(1,2)，··5.當直線l的斜率存有時，設(shè)直線l的方程為yk(x2)由解得p.··5.綜上所述，·是定值，且·5.12已知曲線c的方程：x2y24x2y5m0.(1)當m為何值時，此方程表示圓；(2)若m0，是否存有過點p(0,2)的直線l與曲線c交于a，b兩點，且|pa|ab|，若存有，求直線l的方程；若不存有，說明理由解