線性代數(shù)電子教案LA43B

1、 2等價(jià)向量組：設(shè)向量組, 若可由線性表示, 稱可由線性表示；若與可以互相線性表示, 稱與等價(jià) (1) 自反性：與等價(jià) (2) 對(duì)稱性：與等價(jià)與等價(jià)(3) 傳遞性：與等價(jià), 與等價(jià)與等價(jià) 定理8 向量組與它的最大無關(guān)組等價(jià) 證 設(shè)向量組的秩為, 的一個(gè)最大無關(guān)組為 (1) 中的向量都是中的向量可由線性表示； (2) 任意, 當(dāng)時(shí), 可由線性表示； 當(dāng)時(shí), 線性相關(guān), 而線性無關(guān) 由定理2知, 可由線性表示故可由線性表示 因此, 與等價(jià)推論 向量組的任意兩個(gè)最大無關(guān)組等價(jià) 定理9 向量組, 向量組 若線性無關(guān), 且可由線性表示, 則 證 不妨設(shè)與都是列向量, 考慮向量組 易見, 秩秩構(gòu)造矩陣 因

2、為可由線性表示, 所以 于是可得 秩 推論1 若可由線性表示, 則 秩秩證 設(shè) 秩, 且的最大無關(guān)組為； 秩, 且的最大無關(guān)組為, 則有 可由線性表示可由線性表示 可由線性表示 （定理9） 推論2 設(shè)向量組與等價(jià), 則 秩秩 注 由“秩秩”不能推出“與等價(jià)”！ 正確的結(jié)論是： 與等價(jià) 與等價(jià) 例8 設(shè), 則 , 證 設(shè), , , 則 即可由線性表示, 故 根據(jù)上述結(jié)果可得 §4.4 向量空間 1向量空間：設(shè)是具有某些共同性質(zhì)的維向量的集合, 若 對(duì)任意的, 有； （加法封閉） 對(duì)任意的, , 有（數(shù)乘封閉） 稱集合為向量空間例如： 是向量空間 是向量空間 不是向量空間 , 即數(shù)乘運(yùn)算

3、不封閉 例9 給定維向量組, 驗(yàn)證 是向量空間稱之為由向量組生成的向量空間, 記作 或者 證 設(shè), 則 , , 于是有 由定義知, 是向量空間 2子空間：設(shè)和都是向量空間, 且, 稱為的子空間 例如：前面例子中的是的子空間 例9中的也是的子空間 3向量空間的基與維數(shù)：設(shè)向量空間, 若 (1) 中有個(gè)向量線性無關(guān)； (2) 可由線性表示 稱為的一組基, 稱為的維數(shù), 記作或者 注 零空間沒有基, 規(guī)定 由條件(2)可得：中任意個(gè)向量線性相關(guān)（自證） 若, 則中任意個(gè)線性無關(guān)的向量都可作為的基 例10 設(shè)向量空間的基為, 則 證 4向量在基下的坐標(biāo)：設(shè)向量空間的基為, 對(duì)于, 表示式唯一（定理2）

4、, 稱為在 基下的坐標(biāo)（列向量） 注 為維向量, 在的基下的坐標(biāo)為維列向量因?yàn)榫€性無關(guān)的“維向量組”最多含有個(gè)向量, 所以由維向量構(gòu)成的向量空間的基中最多含有個(gè)向量, 故 例11 設(shè)向量空間的基為 , , 求在該基下的坐標(biāo) 解 設(shè), 比較等式兩端的對(duì)應(yīng)分量可得： , 注 是4維向量, 在的基下的坐標(biāo)為3維列向量 5正交基：設(shè)向量空間的基為, 若, 稱為的正交基；若還有, 稱為的標(biāo)準(zhǔn)正交基 例如：的標(biāo)準(zhǔn)正交基為 特點(diǎn)：向量空間的正交基為, 對(duì)于, 有 ： 當(dāng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基時(shí), 有 ： 6schmidt正交化過程：設(shè)向量空間的基為, 令 , , （否則線性相關(guān)） , （否則線性相關(guān)） , （否則線性相關(guān)） 結(jié)論：兩兩正交且非零線性無關(guān) 是的正交基 令, 則是的標(biāo)準(zhǔn)