9指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)問題章節(jié)練習(xí)

1、難點(diǎn)9 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生掌握兩種函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)并會用它們?nèi)ソ鉀Q某些簡單的實(shí)際問題.難點(diǎn)磁場()設(shè)f(x)=log2,f(x)=+f(x).(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義，給出證明；(2)若f(x)的反函數(shù)為f1(x),證明：對任意的自然數(shù)n(n3),都有f1(n)>(3)若f(x)的反函數(shù)f1(x),證明：方程f1(x)=0有惟一解.案例探究例1已知過原點(diǎn)o的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于a、b兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)a、b作y軸的平行線與函數(shù)y=log2x的圖象交于c、d兩點(diǎn).(1)證明：點(diǎn)c

2、、d和原點(diǎn)o在同一條直線上；(2)當(dāng)bc平行于x軸時，求點(diǎn)a的坐標(biāo).命題意圖：本題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)換底公式、對數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析能力和運(yùn)算能力.屬級題目.知識依托：(1)證明三點(diǎn)共線的方法：koc=kod.(2)第(2)問的解答中蘊(yùn)涵著方程思想，只要得到方程(1)，即可求得a點(diǎn)坐標(biāo).錯解分析：不易考慮運(yùn)用方程思想去解決實(shí)際問題.技巧與方法：本題第一問運(yùn)用斜率相等去證明三點(diǎn)共線；第二問運(yùn)用方程思想去求得點(diǎn)a的坐標(biāo).(1)證明：設(shè)點(diǎn)a、b的橫坐標(biāo)分別為x1、x2,由題意知：x1>1,x2>1,則a、b縱坐標(biāo)分別為log8x1,log8x2.因?yàn)閍、b在

3、過點(diǎn)o的直線上，所以,點(diǎn)c、d坐標(biāo)分別為(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1=3log8x2,所以oc的斜率：k1=,od的斜率：k2=，由此可知：k1=k2,即o、c、d在同一條直線上.(2)解：由bc平行于x軸知：log2x1=log8x2 即：log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x10,x13=3x1.又x1>1,x1=,則點(diǎn)a的坐標(biāo)為(，log8).例2在xoy平面上有一點(diǎn)列p1(a1,b1),p2(a2,b2),pn(an,bn),對每個自然數(shù)n點(diǎn)p

4、n位于函數(shù)y=2000()x(0<a<1)的圖象上，且點(diǎn)pn,點(diǎn)(n,0)與點(diǎn)(n+1,0)構(gòu)成一個以pn為頂點(diǎn)的等腰三角形.(1)求點(diǎn)pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；(2)若對于每個自然數(shù)n,以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形，求a的取值范圍；(3)設(shè)cn=lg(bn)(nn*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列cn前多少項(xiàng)的和最大？試說明理由.命題意圖：本題把平面點(diǎn)列，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)、最值等知識點(diǎn)揉合在一起，構(gòu)成一個思維難度較大的綜合題目，本題主要考查考生對綜合知識分析和運(yùn)用的能力.屬級題目.知識依托：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及數(shù)列、最值等知識.錯解分析：考生對綜

5、合知識不易駕馭，思維難度較大，找不到解題的突破口.技巧與方法：本題屬于知識綜合題，關(guān)鍵在于讀題過程中對條件的思考與認(rèn)識，并會運(yùn)用相關(guān)的知識點(diǎn)去解決問題.解：(1)由題意知：an=n+,bn=2000().(2)函數(shù)y=2000()x(0<a<10)遞減，對每個自然數(shù)n,有bn>bn+1>bn+2.則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn,即()2+()1>0,解得a<5(1+)或a>5(1).5(1)<a<10.(3)5(1)<a<10,a=7bn=2000().數(shù)列bn是一個

6、遞減的正數(shù)數(shù)列，對每個自然數(shù)n2,bn=bnbn1.于是當(dāng)bn1時，bn<bn1,當(dāng)bn<1時，bnbn1,因此數(shù)列bn的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式bn1且bn+1<1,由bn=2000()1得：n20.8.n=20.錦囊妙計本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法有：(1)運(yùn)用兩種函數(shù)的圖象和性質(zhì)去解決基本問題.此類題目要求考生熟練掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)并能靈活應(yīng)用.(2)綜合性題目.此類題目要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和邏輯思維能力.(3)應(yīng)用題目.此類題目要求考生具有較強(qiáng)的建模能力.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()定義在(,+)上的任意函數(shù)f(x)都可以表示成一個奇函數(shù)g(x)和一個偶

7、函數(shù)h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x(,+),那么( )a.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10x+2)b.g(x)=lg(10x+1)+x,h(x)= lg(10x+1)xc.g(x)=,h(x)=lg(10x+1)d.g(x)=,h(x)=lg(10x+1)+2.()當(dāng)a>1時，函數(shù)y=logax和y=(1a)x的圖象只可能是( )二、填空題3.()已知函數(shù)f(x)=.則f-1(x1)=_.4.()如圖，開始時，桶1中有a l水，t分鐘后剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y=aent,那么桶2中水就是y2=aaent,假設(shè)過5分鐘時，桶1和桶2的水相等，則再過_分鐘

8、桶1中的水只有.三、解答題5.()設(shè)函數(shù)f(x)=loga(x3a)(a>0且a1),當(dāng)點(diǎn)p(x,y)是函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)時，點(diǎn)q(x2a,y)是函數(shù)y=g(x)圖象上的點(diǎn).(1)寫出函數(shù)y=g(x)的解析式；(2)若當(dāng)xa+2,a+3時，恒有|f(x)g(x)|1,試確定a的取值范圍.6.()已知函數(shù)f(x)=logax(a>0且a1),(x(0,+),若x1,x2(0,+),判斷f(x1)+f(x2)與f()的大小，并加以證明.7.()已知函數(shù)x,y滿足x1,y1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a1),求loga(xy

9、)的取值范圍.8.()設(shè)不等式2(logx)2+9(logx)+90的解集為m，求當(dāng)xm時函數(shù)f(x)=(log2)(log2)的最大、最小值.參考答案難點(diǎn)磁場解：(1)由>0,且2x0得f(x)的定義域?yàn)?1，1)，設(shè)1x1x21,則f(x2)f(x1)=()+(),x2x1>0,2x1>0,2x2>0,上式第2項(xiàng)中對數(shù)的真數(shù)大于1.因此f(x2)f(x1)>0,f(x2)>f(x1),f(x)在(1，1）上是增函數(shù).(2)證明：由y=f(x)=得：2y=,f1(x)=,f(x)的值域?yàn)閞，f-1(x)的定義域?yàn)閞.當(dāng)n3時，f-1(n)>.用數(shù)學(xué)歸

10、納法易證2n>2n+1(n3),證略.(3)證明：f(0)=,f1()=0,x=是f1(x)=0的一個根.假設(shè)f1(x)=0還有一個解x0(x0),則f-1(x0)=0,于是f(0)=x0(x0).這是不可能的，故f-1(x)=0有惟一解.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：由題意：g(x)+h(x)=lg(10x+1)又g(x)+h(x)=lg(10x+1).即g(x)+h(x)=lg(10x+1)由得：g(x)=,h(x)=lg(10x+1).答案：c2.解析：當(dāng)a>1時，函數(shù)y=logax的圖象只能在a和c中選，又a>1時，y=(1a)x為減函數(shù).答案：b二、3.解析：容易求得f

11、- 1(x)=,從而：f1(x1)=答案：4.解析：由題意，5分鐘后，y1=aent,y2=aaent,y1=y2.n=ln2.設(shè)再過t分鐘桶1中的水只有,則y1=aen(5+t)=,解得t=10.答案：10三、5.解：(1)設(shè)點(diǎn)q的坐標(biāo)為(x,y),則x=x2a,y=y.即x=x+2a,y=y.點(diǎn)p(x,y)在函數(shù)y=loga(x3a)的圖象上，y=loga(x+2a3a),即y=loga,g(x)=loga.(2)由題意得x3a=(a+2)3a=2a+2>0;=>0,又a>0且a1,0a1,|f(x)g(x)|=|loga(x3a)loga|=|loga(x24ax+3a

12、2)|·|f(x)g(x)|1,1loga(x24ax+3a2)1,0a1,a+2>2a.f(x)=x24ax+3a2在a+2,a+3上為減函數(shù)，(x)=loga(x24ax+3a2)在a+2,a+3上為減函數(shù)，從而(x)max=(a+2)=loga(44a),(x)min=(a+3)=loga(96a),于是所求問題轉(zhuǎn)化為求不等式組的解.由loga(96a)1解得0a,由loga(44a)1解得0a,所求a的取值范圍是0a.6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,x1,x2(0,+),x1x2()2(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時取“=”號)，當(dāng)a

13、>1時，有l(wèi)ogax1x2loga()2,logax1x2loga()，(logax1+logax2)loga,即f(x1)+f(x2)f()(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時取“=”號)當(dāng)0a1時，有l(wèi)ogax1x2loga()2,(logax1+logax2)loga,即f(x1)+f(x2)f()(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時取“=”號）.7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax1)2+(logay1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,則(u1)2+(v1)2=4(uv0),k=u+v.在直角坐標(biāo)系uov內(nèi)，圓弧(u1)2+(v1)2=4(uv0)與平行直線系v=u+k有公共點(diǎn)，分兩類討論.(1)當(dāng)u0,v0時，即a>1時，結(jié)合判別式法與代點(diǎn)法得1+k2(1+);(2)當(dāng)u0,v0,即0a1時，同理得到2(1)k1.x綜上，當(dāng)a>1時，logax