論非對稱的部分析因設(shè)計(jì)在不同條件下的關(guān)系

1、論非對稱的部分析因設(shè)計(jì)在不同條件下的關(guān)系(南開大學(xué)，香港浸會大學(xué)，伊利諾斯州技術(shù)研究院) 概要:近些年來，關(guān)于非對稱的部分析因設(shè)計(jì)研究引起了人們很大的興趣。在設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)和對比的角度，從不同的準(zhǔn)則出發(fā)，各種各樣的新優(yōu)化準(zhǔn)則被提出來。例如，廣義最小低價(jià)混雜，最小矩陣混雜準(zhǔn)則，最小工程一致性和準(zhǔn)則。在本文中，這些準(zhǔn)則都有涵蓋和涉及，并且準(zhǔn)則被概括為所謂的最小準(zhǔn)則，對于不同準(zhǔn)則下的聯(lián)系我們都進(jìn)行了研究，這些聯(lián)系給出了具有說服力的數(shù)據(jù)支持，我們給出一些基本最優(yōu)結(jié)果，但這些并不僅僅是簡單的整合幾種結(jié)果(包括對稱案例的結(jié)果)，而且這些對于構(gòu)建非對稱過飽和的模型有很好的幫助。關(guān)鍵詞和短語:廣義最小低價(jià)，最小矩陣

2、混雜準(zhǔn)則，正交陣列，過飽和模型，均勻性1、介紹: 部分析因設(shè)計(jì)(FFDs)在科學(xué)調(diào)查中運(yùn)用模型引起廣泛討論，實(shí)際的成功源于實(shí)驗(yàn)運(yùn)用效率的同時(shí)對重多因素的研究,對于FFDS一個(gè)基本并且切實(shí)的問題是如何從一系列模型中選擇一個(gè)最佳模型。從不同的角度，在模型結(jié)構(gòu)和對比方面各種優(yōu)化準(zhǔn)則被提出來。對于對稱FFDS的準(zhǔn)則目前已有大量廣泛的研究。最近，非對稱FFDS的研究，引起人們很大興趣。一些對于這些準(zhǔn)則的評估應(yīng)運(yùn)而生。在這些準(zhǔn)則中，廣義最小階(GMA,Tang和Deng(1999),Ma和Fang(2001),Xu和Wu(2001)考慮在ANOVA分解條件下的混雜情形和處理效果；最小矩混雜準(zhǔn)則研究基于GM

3、A估算條件下流量和提供驚人節(jié)約方面的關(guān)系；(Yamada和Matsui(2002) 研究正交性組合的兩個(gè)因素，最小工程一致性(MPU,Hickernell和Liu(2002) 研究微空間工程模型的均勻性。需要說明的是 GMA,MMA,和準(zhǔn)則主要適用于定性條件的研究，MPU準(zhǔn)則對于定量和定性條件都適用，但此文我們僅僅考慮MPU的定性例子，參照Cheng和Ye(2004) 提出的定量條件的準(zhǔn)則。 以上提及的每一種準(zhǔn)則都有優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)在一個(gè)自然而然的問題產(chǎn)生了:在這些準(zhǔn)則中存在什么聯(lián)系或等價(jià)呢？這篇文章主要目的在于對非對稱FFDs準(zhǔn)則問題的研究，并且提供最優(yōu)的結(jié)果

4、，在第二節(jié)，這些準(zhǔn)則將會詳細(xì)描述。準(zhǔn)則概括為所謂的最小準(zhǔn)則，不同準(zhǔn)則下的聯(lián)系的研究。該模型準(zhǔn)則結(jié)果證明它們之間具有密切聯(lián)系，這些聯(lián)系從不同角度給出了數(shù)據(jù)支持，第三節(jié)包括一些主要的優(yōu)化結(jié)果，我們提出了幾種更低的界限，并給出充分且必要的優(yōu)化情形，大多數(shù)結(jié)果運(yùn)用均衡模型。它們不僅整合了這些結(jié)果(包括對稱例子的結(jié)果)，而且對于構(gòu)建非對稱過飽和模型也起到了一定的作用。對于一些陳述，證明詳見附錄。2.模型準(zhǔn)則和聯(lián)系 一些變量和符號如下:非對稱模型中，n個(gè)流量，m個(gè)因素,準(zhǔn)則表示成D，一些代表符號，表示成D此時(shí)，模型D可表示為一個(gè)n*m階矩陣D=，為從一系列標(biāo)志中提取出來的；如，稱為正交矩陣S，則表示為,如

5、果任何S列是準(zhǔn)則組合并可能經(jīng)常出現(xiàn)，一個(gè)均衡模型是一個(gè)正交矩陣1，這個(gè)經(jīng)常稱為U形模型，表示為（Fang,Lin,Winken和Zhang(2000),當(dāng)，模型稱為飽和的，當(dāng)，均衡一致達(dá)不到，此時(shí)該模型稱為非飽和的，下一節(jié)，我們將具體描述在引言中提到的準(zhǔn)則，并且給出概括的準(zhǔn)則。2.1 GMA,MMA,和MPU 準(zhǔn)則 有規(guī)律的FFDs往往是最小低階混雜（Fries和Hunter(1980),這是因?yàn)檫@個(gè)準(zhǔn)則限制了這種混淆現(xiàn)象的不良影響。混雜已經(jīng)推廣到了非規(guī)律性的FFDs中（Tang和Deng(1999),Ma和Fang(2001),Xu,和Wu(2001).對于非對稱情況下涵蓋了所有其他的概括

6、，基于所述ANOVE分解模型 , 為了一個(gè)設(shè)計(jì)，讓是矩陣包括所有的j因素的對比系數(shù) , 。如果，該GMA準(zhǔn)則是按順序減少。對于一個(gè)設(shè)計(jì)，一個(gè)整數(shù)>0和一些權(quán)重,讓里的，如果, 并且0 除外。因此是第i個(gè)和第j行的D之間的權(quán)衡重合數(shù)。定義第t行的MMA的準(zhǔn)則是，以順序地減少,。被叫做一個(gè)自然的重量。現(xiàn)在讓我們介紹的非對稱的FFD和定性因素確定的MPU準(zhǔn)則,這是從一致性的觀點(diǎn)發(fā)展。有興趣的讀者可以參考Hickernell和Liu（2002年，第5節(jié)），對于一般的定義和有關(guān)MPU一些討論。對于設(shè)計(jì)D，定義叔維投影離散值為 的非負(fù)平方根.。主控準(zhǔn)則是盡量減少依次。對于對稱的FFD，則和之間的線性

7、組合關(guān)系已經(jīng)徹底呈現(xiàn)在幾篇論文，如Xu（2003,2005）。對于非對稱的設(shè)計(jì)，Hickernell和Liu（2002）證明，MPU與GMA是等價(jià)的，并且Xu（2003）表明，GMA和MMA是弱等效。引理1 （i）對于一個(gè)設(shè)計(jì)D,后，MPU相當(dāng)于Xu和Wu（2001）所定義的GMA（Hickernell和Liu（2002，定理2）。（ii） 對于一個(gè)，設(shè)計(jì)D，如果,對于所有的k，則對于t =1，.，s+1，其中是根據(jù)n，m，t和水平常量 (徐（2003，定理7）。因此，通過更換在（ii）這個(gè)引理與, MPU和MMA之間的弱等效遵循直接，并提供了一個(gè)理由使用MPU作為最優(yōu)準(zhǔn)則選擇非對稱設(shè)計(jì)。2.

8、2. 最低準(zhǔn)則飽和設(shè)計(jì)（SSD）是一種重要的非正規(guī)的FFD。大部分研究都集中在對稱的固態(tài)硬盤。作為非對稱的SSD，山田和松井（2002）所使用的的作為度量雙因素非正交性。對于設(shè)計(jì)的任意列，說,令是其中采用級組合（運(yùn)行的次數(shù)），讓其中求和是采取在所有可能的電平的組合，然后定義。注意，是類似于統(tǒng)計(jì)量，并且很顯然是是叔維非正交設(shè)計(jì)的量度。根據(jù)這一措施，最佳的設(shè)計(jì)應(yīng)盡量減少為 順序。我們稱此準(zhǔn)則的最小準(zhǔn)則。以，那么只是Yamada和Matsui（2002）近日，F(xiàn)ang,Liu和Liu（2003）定義提出了準(zhǔn)則,對于選擇非對稱固態(tài)硬盤，定義為最小化。需要注意的是在考慮不同的權(quán)重與不同水平的因素，而不這

9、樣做。它已經(jīng)表明，和是準(zhǔn)則的對稱的，現(xiàn)有準(zhǔn)則的擴(kuò)展，看到Fang，Lin和Liu（2003年），Xu（2003年），Li，Liu，Zhang（2004）了解詳情。2.3連接在本小節(jié)，對于所有。首先讓我們看到在統(tǒng)計(jì)一些基本性質(zhì)（5）和內(nèi)：a.當(dāng)且僅當(dāng)通常同等出現(xiàn)所有可能水平組合時(shí),=0.b.c.如果，那么當(dāng)時(shí)，.d.當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)D的強(qiáng)度至少為t.從上面的陳述，我們可以推測最小準(zhǔn)則應(yīng)該與MPU（嵌入式微型處理器）和GMA（集成顯卡）密切相關(guān)。實(shí)際上我們可以得到以下結(jié)論。定理1.（i）對任意，設(shè)計(jì)D 當(dāng)時(shí)，. （ii）而且，當(dāng)時(shí)，.這個(gè)定理從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)上提供了另外一個(gè)對于MPU/GMA的統(tǒng)計(jì)推斷。

10、我們注意到Tang（2001）提出了一個(gè)準(zhǔn)則叫V準(zhǔn)則和最小準(zhǔn)則相類似，并且能得到V準(zhǔn)則和GMA之間等價(jià)的兩水平自由變形。我們的定理1由2水平自由變形推廣到了非對稱自由變形。結(jié)合引理1和定理1，我們有推論1.對任意的，當(dāng)時(shí)，和的所有取值均為最小，并且.這個(gè)結(jié)果告訴我們，通過GMA，MMA,MPU，最小準(zhǔn)則從不同方面考慮它們相互之間緊密的聯(lián)系：若取并設(shè)計(jì)D使其最小化中的一個(gè)，再最小所有的值。這個(gè)結(jié)論對構(gòu)造非對稱自由變形十分重要，其目的是在平衡設(shè)計(jì)中最小化其中一個(gè)值為s=1?，F(xiàn)在，我們可以建立MMA與最小準(zhǔn)則之間的關(guān)系，也就是對任意非對稱設(shè)計(jì)，賦予強(qiáng)度s與D，則和在同時(shí)被最小化。但是我們不確定當(dāng)j&

11、gt;s+1時(shí)和能否同時(shí)最小化。根據(jù)他們的定義，從調(diào)查一個(gè)設(shè)計(jì)的運(yùn)行（也就是說行向量）之間的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)調(diào)查因數(shù)（也就是縱向量）之間的關(guān)系，我們知道了動力矩。下面定理說明了和的總和的等價(jià)性，視為能量s。定理2.對任意的，設(shè)計(jì)D .這個(gè)定理要注意的是，等價(jià)對任何非對稱設(shè)計(jì)均是有效的。這個(gè)定理從設(shè)計(jì)非正交列向量極小化的觀點(diǎn)上MMA設(shè)計(jì)就是一個(gè)循序極小化當(dāng)t=1,.,m的設(shè)計(jì).3. 最優(yōu)化結(jié)果這部分為上文提到的各種設(shè)計(jì)準(zhǔn)則提供了一些最優(yōu)化結(jié)果。我們的討論集中在平衡非對稱設(shè)計(jì)，也就是說設(shè)計(jì)。對于這個(gè)設(shè)計(jì)，我們的目標(biāo)是最小化其成分。當(dāng)它們相互等價(jià)時(shí)，由于它簡易的概念和在理論上發(fā)展的有效性，我們只研究力矩測

12、量。3.1.一些下界優(yōu)化理論（Marshall和Olkin（1979）對研究當(dāng)時(shí)的性質(zhì)是一個(gè)適當(dāng)?shù)墓ぞ?。最近?yōu)化為FFDs的程序不僅包括Cheng和Mukerjee(1998)以及Cheng,Steinberg和Sun(1999)在估計(jì)能力方面，還有Zhang,Fang,Li和Sudjianto(2005)在對平衡FFDs成對出現(xiàn)估計(jì)的方面?；仡欉@兩個(gè)不同的非負(fù)成分的矢量和和成分的相同總和，對所有如果，則x認(rèn)為被y優(yōu)化了，其中是x和y各自的有序部分。如果不論何時(shí)x都被y優(yōu)化且，那么x的一個(gè)實(shí)值函數(shù)f被稱為舒爾-凸函數(shù)。從t雙曲正切函數(shù)動力矩定義中，我們知道它是一個(gè)不同的行向量設(shè)計(jì)間的加權(quán)重合數(shù)

13、的函數(shù)。對于一個(gè)，設(shè)計(jì)D且任意給定權(quán)重，當(dāng)i=1,.,n 很容易看出，MtD是該向量的舒爾凸函數(shù)D=12D，1nD,23D,，2nD,，n-1nD, (8)對任意t2引理2 讓D和D*成為兩個(gè)U（n;q1,，qm)設(shè)計(jì)，D和（D*）分別用（8）的向量定義，如果D通過優(yōu)化成為(D*)，那么對任意t2，有MtD*MtD。特別有，如果任意D通過優(yōu)化成為(D*)，那么即MtD*是最小的，D*是一個(gè)MMA設(shè)計(jì)。從這個(gè)引理和（7）式，我們得出以下結(jié)論，還通過Xu給定（2003，定理6）引理 3 對于U（n;q1,，qm)的設(shè)計(jì)D和t2，MtDt，當(dāng)且僅當(dāng)ij(D)中定義（2）是一個(gè)常數(shù),對所有的i<

14、j等式成立，其中k=1mk(nqk-1)/(n-1)。注1 從推論1，通過使k = qk，對于D22（D），A2（D）和2（D）下界可以直接得出，引理3中的這些邊界是嚴(yán)格在相同的條件的。特別有，對于2（D），其下限用與Yumada和Matsui（2002）相同的方法得到，但他們并沒有給予足夠的必要條件實(shí)現(xiàn)這個(gè)下限。注2引理3給出下限可達(dá)到的條件。對于n,m,q1,，qm;1,，k的一些值，這個(gè)下界是可以實(shí)現(xiàn)的。例如，當(dāng)D是一個(gè)飽和的Dn,m,q1,，qm;2，假設(shè)自然權(quán)重k=qk對于1km,下界可實(shí)現(xiàn)為D=（m-1，m-1）(Mukerjce和Wu（1995）)。i<j時(shí)，部分ij(D)

15、不等于=k=1mknqk-1n-1,下限可以升高。對給定m，qk和k,讓=k=1mkij(k):ij(k)=0,1,對k=1m在，讓L和U是兩個(gè)最接近=k=1mknqk-1n-1的值,滿足LU。易得，如果存在一個(gè)U(n;q1;qm)設(shè)計(jì)的D*，其中對i<j，ij(D*)的取值從L到U，那么對任意其他U(n;q1;qm)設(shè)計(jì)的D，(D*)是(D)的優(yōu)化，即，D*是MMA設(shè)計(jì)。條件（7）所確定L和U的次數(shù)出現(xiàn)在(D*)。因此，這樣的結(jié)果可作如下表示。定理3 給定k中所有k，則對于U(n;q1;qm)設(shè)計(jì)的D和t2，有 MtDU-U-LLt+-LU-LUt, (9)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)對任意i，在

16、1iD,，i-1iD，ii+1D，inD，L的值為(n-1)(U-)(U-L)和U的值為n-1(-L)(U-L)。備注3 如果等號成立（9）中對于一個(gè)特定的t，將Mt(D)最小化，當(dāng)i2并且it時(shí)，所有其他的Mt(D)由，L和U的值唯一確定，因此，設(shè)計(jì)D是MMA的設(shè)計(jì)。此外，當(dāng)L=時(shí)，這個(gè)定理中的下限包括在引理3中的一種特殊情況。基于在最后一節(jié)的拓展關(guān)系，我們有推論2 假設(shè)對所有的k有k=qk，那么對于一個(gè)U(n;q1;qm)的設(shè)計(jì)D，M2D（U+L)-UL,D22D;K=A2D=2Dnn-22n2(U+L-UL-22等式成立的充分必要條件是與定理3的條件相同，除了在計(jì)算，L和U時(shí)將k用qk代

17、替。根據(jù)注3，這個(gè)推論告訴我們，當(dāng)下界M2D是由設(shè)計(jì)D實(shí)現(xiàn)時(shí)，那么D是MMA的設(shè)計(jì)。這也是最佳的D22D;K，A2D和2D。最近，Li，Liu和Zhang在2004得到的下界2D，它是的下界在推論給定中的一個(gè)特例。注意，這里推算得到的最優(yōu)結(jié)果還統(tǒng)一了所得到的結(jié)果，例如Liu和Hickernell（2002年），F(xiàn)ang，Ge，Liu和Qin（2003年，2004年b），Xu（2003）等，為對稱的FFD。3.2 優(yōu)化設(shè)計(jì)我們發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)實(shí)現(xiàn)這些推論2提供下界的設(shè)計(jì)是SSDs。由于不對稱SSDs，Yumada和Matsui（2002年）, Yumada和Lin（2002）的通過計(jì)算機(jī)搜索對建設(shè)2

18、和3級的SSDs提出了兩個(gè)方法。但他們得到的設(shè)計(jì)總是無法達(dá)到下限2D。Fang，Lin和Liu（2003）提出了一種構(gòu)建E(fNOD)-最優(yōu)化不對稱的SSDs，稱之為飽和正交矩陣的分?jǐn)?shù)（FSOA）方法，這是Lin（1993）的一個(gè)半數(shù)擴(kuò)展的阿達(dá)瑪矩陣法。近日，Li，Lin，Zhang（2004）擴(kuò)展了FSOA方法的最優(yōu)不對稱SSDs的建設(shè)和研究了設(shè)計(jì)結(jié)果的特性。以他們的方法構(gòu)造的設(shè)計(jì)也是最佳的MMA, D22D和A2D。另一個(gè)關(guān)于非對稱SSDs構(gòu)造的論文是方，Ge，Liu和Qin發(fā)表（2004a）。在該論文中，他們成立了一種組合設(shè)計(jì)，是在SSD和一致可分解設(shè)計(jì)之間的重要橋梁，并獲得了幾個(gè)新的無

19、限E(fNOD) -最優(yōu)化的SSDs。從Fang，Ge，Liu和Qin的（2004年）總結(jié)發(fā)言我們知道，他們所有的設(shè)計(jì)是任何兩個(gè)不同行之間的一個(gè)恰巧位置。此外，我們可以看到，大部分的設(shè)計(jì)都是D(n;p1,qm-1)的形式。對于D(n;p1,qm-1)的設(shè)計(jì)，我們有以下結(jié)果。定理4 設(shè)D是一個(gè)D(n;p1,qm-1)設(shè)計(jì)，其中pq和n/p+(m-1)n/q-m=n-1。如果在任何兩個(gè)不同的行之間正好有一個(gè)重合的位置D，則D是一個(gè)具有自然權(quán)重的MMAA設(shè)計(jì)，并且它也是最佳的 D22D，A2D和MMA。從這個(gè)定理，我們可以簡單的得出以下結(jié)論，當(dāng)pq,E(fNOD) -最優(yōu)化的D(n;p1,qm-1)

20、中U(n;q1;qm)由于Fang，Ge，Liu和Qin（2004年）仍然是最優(yōu)的D22D，A2D和MMA。列并置的方法也可用于構(gòu)建非對稱的SSDs。Li，Liu，Zhang（2004年）把它應(yīng)用到構(gòu)建2D優(yōu)化和MMA的設(shè)計(jì)，他們假設(shè)對于所有的k，有k =qk。顯然，所得到的設(shè)計(jì)D22D和A2D也是最佳的。推論3 設(shè)Dt執(zhí)行與平衡設(shè)計(jì)相同的數(shù)量，1tl，對于所有的k，給定權(quán)重k，如果數(shù)字加權(quán)恰好為ijDt，當(dāng)i<j時(shí)對每個(gè)設(shè)計(jì)是恒定的，則D=(D1,，Dl)是MMA的設(shè)計(jì)。特別是，如果假定在自然權(quán)重k =qk對于所有的k都成立，根據(jù)D22D，A2D和2D,D也是最佳的。基于該推論，許多最

21、佳的SSD都可以構(gòu)造，不僅從強(qiáng)度2的飽和正交陣列中，還從具有給定屬性的SSD中所示的推論，如依據(jù)Liu和Zhang（2000），F(xiàn)ang，Lin和Ma（2000），F(xiàn)ang，Ge，Liu（2002年，2004年）和Fang，Ge，Liu和Qin（2003年，2004年b）的設(shè)計(jì)。除上述之外的方法，不對稱的SSD的結(jié)構(gòu)仍然需要進(jìn)行進(jìn)一步的研究。致謝200804，香港浸會大學(xué)FRG/03-04/ II-711和BGC/浸大/2007 /03P.The作者感謝共同主編，副主編和裁判提出的寶貴意見。附錄 證明定理1 。 很容易驗(yàn)證，對于任何設(shè)計(jì)， (10) 因此，從結(jié)果（b）在2.3節(jié)， ，（11）因

22、此的表達(dá)式如下。作為，注意 (12)對于任何設(shè)計(jì),和任意不同的 (13)因此從（4），我們可以看到明示中的（12）項(xiàng)，然后通過交換在表達(dá)式中的順序求和并使用（13），我們得到.帶（11）和引理1精梳，證明完成。證明定理2. 證明對于設(shè)計(jì)，因而因此，從（10),然后在定理的等式由結(jié)果（b）在2.3節(jié).定理4.對于參數(shù)滿足和,與自然的權(quán)重，可以容易觀察到，和在推論2最接近值和只能是和。對于的設(shè)計(jì)恰好與一個(gè)巧合位置之間只是采取不同的行，其自然加權(quán)巧合數(shù)只取兩個(gè)值和，因此這種設(shè)計(jì)的最優(yōu)距離如下推論2。參考Cheng,C.S和Mukerjee，R.（1998）.普通部分因子設(shè)計(jì)，以最小的像差和最大容量估

23、計(jì).Ann.Statist，26,2289-2300。Cheng,C.S，Steinberg,D.M.和Sun，D.X（1999）。最小像差和模型的穩(wěn)健性兩級部分因子設(shè)計(jì)。J.Roy.Statist.Soc.Ser.B 61,85-93。 這項(xiàng)工作是由部分國家自然科學(xué)基金10301015資助支持，南開大學(xué)科技創(chuàng)新基金，補(bǔ)助RGC/香港浸會大學(xué)Cheng, S. W.和 Ye, K. Q.(2004).幾何同構(gòu)和最小像差的定量因素的因 子設(shè)計(jì). Ann. Statist. 32, 2168-2185.Fang,K.T.,Ge,G.N.和Liu,M.Q.(2002).均勻的超飽和設(shè)計(jì)以及結(jié) 構(gòu).S

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