解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)ppt課件

1、1 函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其分類函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其分類( (P P193193) )一一、函數(shù)孤立奇點(diǎn)的概念及其分類、函數(shù)孤立奇點(diǎn)的概念及其分類二、函數(shù)各類孤立奇點(diǎn)的充要條件二、函數(shù)各類孤立奇點(diǎn)的充要條件三、用函數(shù)的零點(diǎn)判斷極點(diǎn)的類型三、用函數(shù)的零點(diǎn)判斷極點(diǎn)的類型四四* *、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)2例例10 z是函數(shù)是函數(shù)zzezsin,1的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn).1 z是函數(shù)是函數(shù)11 z的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn).注意注意: : 孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn), , 但奇點(diǎn)不一定是孤但奇點(diǎn)不一定是孤立奇點(diǎn)立奇點(diǎn).一一 、函數(shù)孤立奇點(diǎn)的概念及其分類、函數(shù)孤立奇點(diǎn)的概念及其分類在在定

2、義定義 如果函數(shù)如果函數(shù)在在 不解析不解析, , 但但的某一去心鄰域的某一去心鄰域內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析, , 則則0z)(zf)(zf0z 00zz0z)(zf為為的的孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn). .稱稱3例例2 2 指出函數(shù)指出函數(shù)0 z在點(diǎn)在點(diǎn)zzzf1sin)(2 的奇點(diǎn)特性的奇點(diǎn)特性. .解解 kzz1,0 ),2,1( k，因因?yàn)闉?1lim kk即在即在0 z的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi)的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi), , 的奇點(diǎn)存在的奇點(diǎn)存在, , 函數(shù)的奇點(diǎn)為函數(shù)的奇點(diǎn)為)(zf總有總有0 z不是孤立奇點(diǎn)不是孤立奇點(diǎn).所以所以4討論函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的情況討論函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的情況如果點(diǎn)如果點(diǎn) 為函數(shù)為

3、函數(shù) 的的孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)，則，則在點(diǎn)在點(diǎn) 某去心鄰域某去心鄰域 內(nèi)可設(shè)內(nèi)可設(shè) 的的Laurent級數(shù)展開式為級數(shù)展開式為其中其中 nnnzzczf)()(0)()()(2110為為整整數(shù)數(shù)nzzdzzficcnn 為該去心鄰域內(nèi)圍繞點(diǎn)為該去心鄰域內(nèi)圍繞點(diǎn)z0的任一條正向簡單閉的任一條正向簡單閉曲線。曲線。C0z)(zf0z)(zf 00zz5定義定義1 1 若若Laurent級數(shù)級數(shù)(5-1-1)中所含中所含(z-z0)的負(fù)冪的負(fù)冪項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)分別為項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)分別為1 1）零個(gè)，）零個(gè)， 2 2）有限個(gè)，）有限個(gè)， 3 3）無窮多個(gè)，）無窮多個(gè)，則分別稱則分別稱z0為為f(z)的的可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)

4、、極點(diǎn)極點(diǎn)和和本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)。且當(dāng)且當(dāng)z0為極點(diǎn)時(shí)，若級數(shù)中負(fù)冪的系數(shù)為極點(diǎn)時(shí)，若級數(shù)中負(fù)冪的系數(shù)c-m0 并且并且cn=0(n=-m-1,-m-2, ), 則稱則稱z0為為f(z)的的m級極點(diǎn)級極點(diǎn)，一級極點(diǎn)又稱為一級極點(diǎn)又稱為簡單極點(diǎn)簡單極點(diǎn)。61 1 可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)如果如果Laurent級數(shù)中級數(shù)中不含不含 的的負(fù)冪項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng), , 0zz 0z)(zf則稱孤立奇點(diǎn)則稱孤立奇點(diǎn) 稱為稱為 的的可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn).定義定義其和函數(shù)其和函數(shù))(zF在在0z處解析處解析.的孤立奇點(diǎn)，則的孤立奇點(diǎn)，則若是若是)(0zfz nnzzczzcczf)()()(0010內(nèi)內(nèi)在在 00zz二、函數(shù)各類孤

5、立奇點(diǎn)的充要條件二、函數(shù)各類孤立奇點(diǎn)的充要條件7)(lim)(000zfczFzz 無論無論在在是否有定義是否有定義, )(zf0z可補(bǔ)充定義可補(bǔ)充定義則函數(shù)則函數(shù)在在解析解析.)(zF 0zz反過來，若反過來，若在在解析，解析，)(zf 00zz且且)(lim0zfzz存在，存在， 則則 必是必是 的可去奇點(diǎn)。的可去奇點(diǎn)。)(zf0z( (由于這個(gè)原因，因此把這樣的奇點(diǎn)由于這個(gè)原因，因此把這樣的奇點(diǎn)z0叫做叫做 f(z) 的可去奇點(diǎn)。的可去奇點(diǎn)。) )這樣得到下面的結(jié)論這樣得到下面的結(jié)論：8由定義判斷由定義判斷:的的 Laurent 級數(shù)無負(fù)級數(shù)無負(fù)0z)(zf在在如果如果冪項(xiàng)冪項(xiàng), 由有界

6、性判斷：由有界性判斷：0 0若若f f( (z z) )在在點(diǎn)點(diǎn)z z 的的去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有界界則則0z為為)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).上上解解析析，在在設(shè)設(shè)Rzzzf 00)(則則0z為為)(zf的的可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)的的充要條件充要條件為為存存在在并并且且是是有有限限值值。)(lim0zfzz0z為為)(zf 的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).則則注注：函數(shù)函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn)z0 0看作它的解析點(diǎn)，且規(guī)看作它的解析點(diǎn)，且規(guī)定定00)(czf 9例例 說明說明0 z為為zez1 的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn). .解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以所以0 z為為的可去奇點(diǎn)的

7、可去奇點(diǎn).zez1 無負(fù)冪項(xiàng)無負(fù)冪項(xiàng)另解另解 zzzzeze00lim1lim 因?yàn)橐驗(yàn)?1!1! 211(12 nznzzz, 1 所以所以0 z為為的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).zez1 10 由于由于z=0為函數(shù)為函數(shù) 的可去奇點(diǎn)，的可去奇點(diǎn)，且當(dāng)且當(dāng)z0時(shí)，時(shí)，f(z)1，因此可補(bǔ)充定義，因此可補(bǔ)充定義 f(0)=1，使使 f(z) 在整個(gè)復(fù)平面上處處解析。在整個(gè)復(fù)平面上處處解析。zezfz)1()( 11如果補(bǔ)充定義如果補(bǔ)充定義:0 z時(shí)時(shí), 1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析解析.例例 42! 51! 311sinzzzz中不含負(fù)冪項(xiàng)中不含負(fù)冪項(xiàng),0 z是是zzsin的可去奇點(diǎn)

8、的可去奇點(diǎn) . 120 00 0i i0 0特特上上式式等等號號成成立立f(z )|=f(z )|=別別的的，如如果果或或存存在在圓圓內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)z z使使得得|,|,則則|z |z |f(z)= e zf(z)= e z有有(|z|1)(|z|1)Schwarz 引理引理 如如果果f(z)f(z)在在單單位位圓圓|z|1|z|1內(nèi)內(nèi)解解析析，并并且且滿滿足足條條件件f(0)= 0, |f(z)|1 (|z|1),f(0)= 0, |f(z)|1 (|z|m時(shí)，時(shí)，ck=0，此時(shí)稱，此時(shí)稱z=是函數(shù)是函數(shù) f(z)的的m級極點(diǎn)級極點(diǎn)。特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)m=1時(shí)，稱時(shí)，稱z=是函數(shù)是函數(shù)f(z)的的單極點(diǎn)單極點(diǎn)。 32 定理定理3 3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)域：在區(qū)域： 內(nèi)解內(nèi)解析析, ,那么那么 是函數(shù)是函數(shù) 的可去奇點(diǎn)，極點(diǎn)的可去奇點(diǎn)，極點(diǎn)或者本性奇點(diǎn)的充分必要條件分別為：或者本性奇點(diǎn)的充分必要條件分別為： 存在著有限極限，無窮極限或者不存在任何極限存在著有限極限，無窮極限或者不存在任何極限（包括無窮）。（包括無窮）。推論推論 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)域：在區(qū)域： 內(nèi)解內(nèi)解