多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

1、精品資料歡迎下載§4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則【目的要求】1、掌握多元復(fù)合函數(shù)及幾種特殊復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；2、理解全導(dǎo)數(shù)的概念；3、會(huì)利用多元函數(shù)的一階全微分形式不變性求偏導(dǎo)數(shù)【重點(diǎn)難點(diǎn)】各類型復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式及計(jì)算；各變量之間的復(fù)合關(guān)系【教學(xué)內(nèi)容】在第二章中，我們學(xué)習(xí)了一元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)， 現(xiàn)將一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則推廣到多元復(fù)合函數(shù)的情形， 按照多元函數(shù)的不同復(fù)合情形， 分三種情形討論 .一、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形.定理 4.1如果函數(shù) u(t) 及 v(t ) 都在點(diǎn) t 可導(dǎo)，uZt且函數(shù)zf (u , v) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn) (u , v) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合

2、函數(shù) zf(t),(t) 在點(diǎn) t 可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為v圖 4-25dzz duz dv 。dtu dtv dt證設(shè) t 取得增量t , 這時(shí) u(t) ， v(t ) 的對(duì)應(yīng)增量為 u ,v , 函數(shù)z f (t),(t )相應(yīng)地獲得增量z . 由于函數(shù) zf (u,v) 可微 , 所以有z 可以表示為zuzzv o( )uv其中(u) 2( v) 2 .將上式兩端同除以t , 得精品資料歡迎下載zzuzv o()tutvtt由于 u( t) ,v(t )在點(diǎn) t 可導(dǎo) ,所以當(dāng)t0 時(shí) , u0 , v 0 ，從而0,并且有udu,vdv .于是tdttdt22lim0o()limo()li

3、mo()uv0 ,ttt0tt0tt所以limzz duz dv 。t0tu dtv dt這就證明了復(fù)合函數(shù)zf (t ),(t)在點(diǎn) t 可導(dǎo) , 且公式成立 .導(dǎo)數(shù) dz 稱為全導(dǎo)數(shù)dt同理，我們可以把定理推廣到對(duì)于中間變量多于兩個(gè)的復(fù)合函數(shù)情形。例如，若 zf (u,v, w) ， u(t) ， v(t) ， ww(t) 復(fù)合而的復(fù)合函數(shù)zf(t ),(t), w(t )滿足定理?xiàng)l件，則有全導(dǎo)數(shù)公式dzz duz dvz dw 。dtu dtv dtw dt例 1設(shè)函數(shù) ux y，而 xet， ysin t ，求全導(dǎo)數(shù) du dt解duu dxu dyyx y 1etx yln x co

4、stet sin t (sin tt cost) dtx dtydt例 2設(shè)zarctan(xy)， xt， ytdze ，求 dt t 0 。解由dzz dxz dyy2 1xtdtx dty dt1xy2e ，1 xy以及當(dāng) t0 時(shí)， x0， y1，可得 dz1。dt t 0二、復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形精品資料歡迎下載定理 4.2 若 u( x, y) 及 v( x, y) 在點(diǎn) ( x, y) 具有對(duì) x 、 y 的偏導(dǎo)數(shù)，而函數(shù) zf (u,v) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn) (u, v) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) z f ( x, y), ( x, y)在點(diǎn) ( x, y) 兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存

5、在，且有zzuzv ；xuxvxzzuzv 。yuyvy例 3設(shè)函數(shù) zu v ，而 uxy ， v x y ，求 z和z xy解zz uz vvuv 1y uv ln uxu xv xy( xy)( xy) xy 1( xy)x y ln( xy )zz uz vvuv 1x uv ln uyuyvyx(xy)( xy) xy 1( xy) x y ln( xy) 為了幫助記憶，我們按各變量間的復(fù)合關(guān)系畫(huà)出復(fù)ux合關(guān)系圖如下：Zvy首先從自變量 z 向中間變量 u, v 畫(huà)兩個(gè)分枝，然后圖 4-26再分別從 u, v 向自變量 x, y 畫(huà)分枝，并在每個(gè)分枝旁邊寫(xiě)上對(duì)其的偏導(dǎo)數(shù)求z （ z

6、）時(shí)，我們只要把從 z 到 x （或 y ）的每條路徑xy上的各偏導(dǎo)數(shù)相乘后，再將這些積相加即可得到zzuzv ，（zzuzv ）xuxvxyuyvy類似地，對(duì)于中間變量多于兩個(gè)的復(fù)合函數(shù)情形，有同樣的結(jié)論。例如，設(shè)函數(shù) u( x, y) ， v( x, y) ， ww( x, y) 都在點(diǎn) ( x, y) 有對(duì) x 、 y 的偏導(dǎo)數(shù)，而函數(shù) zf (u, v, w) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn) (u,v, w) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)zf( x, y),( x, y), w(x, y)精品資料歡迎下載在點(diǎn) ( x, y) 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且有zzuzvzw ；xuxvxwxzzuzvzw yuyvywy三、

7、復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)，又有多元函數(shù)的情形定理 4.3設(shè)函數(shù) u(x, y) 具有偏導(dǎo)數(shù)，而函數(shù) z f (u, x, y) 可微，則復(fù)合函數(shù) zf ( x, y), x, y 在uxZxy點(diǎn) (x, y) 偏導(dǎo)數(shù)存在，且有公式zfuf；yxuxxzzuf圖 4-27yuyy特別要強(qiáng)調(diào)的是，z 與f有很多的區(qū)別：z 是把函數(shù) f( x, y), x, y 中的xxxy 看成常數(shù)，對(duì) x 求偏導(dǎo)， f是把 f (u, x, y) 中 u, y 看常數(shù)，對(duì) x 求偏導(dǎo)前者是x復(fù)合后對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)，后者是復(fù)合前對(duì)x 的偏導(dǎo)數(shù)由此可見(jiàn)，多元復(fù)合函數(shù)微分法的關(guān)鍵在于區(qū)分清楚函數(shù)結(jié)構(gòu)中哪些是中間

8、變量，哪些是自變量。對(duì)于抽象函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求偏導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，如函數(shù)zf (x sin y, exy ) ，z 是因變量， x, y 是自變量。若設(shè)中間變量ux sin y, vexy ，則在這個(gè)函數(shù)關(guān)系中，中間變量u, v 與自變量x, y 的函數(shù)關(guān)系f 沒(méi)有具體給出，這就是“抽象”的意義。這樣的函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)， 要按復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算，但是最后結(jié)果中， 因變量 z 對(duì)中間變量 u 和 v 的偏導(dǎo)數(shù)只能以“抽象”的形式出現(xiàn)。例 3 設(shè) zf (x sin y,exy ) , 其中 f 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 求 u和 u .xy解 設(shè) ux sin y , v exy , 則精品資料歡迎下載z

9、zuzvsin yfuyexy fvxuxvxzzuzvx cos yfuxexy fvyuyvy例 4設(shè)函數(shù) uf (x, y, z)ex2y2z2，而 zx 2 sin y ，求 u 和 u xy解uffz2xex2y2z22zex2y2z22xsin yxxz x2x(12x2sin2y) ex2y2x4 sin 2 yuffz2ye x2y2 z 22zex 2y2z2x 2 cos yyyzy2( yx 4 sin y cos y)ex2y 2 x 4 sin 2y 若函數(shù) zf (u, v) ， u( x, y) ， v( x, y) 二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)z f(x, y),

10、( x, y) 存在二階偏導(dǎo)數(shù)記號(hào) f112 z2 ， f 122 z ， f 212 z ， f 222 2z uu vv uv例 5設(shè)復(fù)合函數(shù) zf (2x3 y, x ) ，其中 f (u, v) 對(duì) u,v 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)y數(shù)，求2 z xy解設(shè) u2x3y ， vxyzz uz v2 f11 f2xuxvxy2 zy(2 f 11 f 2 )2 f1( 1 f2 )x yyyyy2( f 11 3f 12 (x2 )12f21 ( f 2 3f 22 (x2 )yyyy6 f11x3 f223 y22x f 1212 f 2 yyy精品資料歡迎下載四、全微分形式不變形設(shè)函數(shù) zf

11、(u, v) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則全微分dzz duz dv，uv若函數(shù) u( x, y) ， v(x, y) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z f ( ( x, y),( x, y)的全微分為dzz dxz dyxy( z uz v)dx( z uz v )dyu xvxuyvyz ( u dxu dy)z (v dv d)uxyvxxyyz dz duuvv可見(jiàn)無(wú)論 z 是自變量 x, y 的函數(shù)或中間變量 u, v 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的，這個(gè)性質(zhì)叫全微分形式不變性例 6利用全微分形式不變性求微分dd(usin )，其中 uxyvxyzev解因?yàn)?dzd(u sin )u sindu cos dvevev u ev又因?yàn)?du d( xy)ydxxdy ， dvd( xy)dxdy ，所以 du sinv( dd)u cosv(dxdy)z ey