直接證明與間接證

1、第第6課時(shí)直接證明與間接證明課時(shí)直接證明與間接證明證明的結(jié)論證明的結(jié)論推理論證推理論證成立成立充分條件充分條件內(nèi)容內(nèi)容綜合法綜合法分析法分析法文字語(yǔ)文字語(yǔ)言言因?yàn)橐驗(yàn)樗运曰蚧蛴捎傻玫靡C要證只需證只需證即證即證思考感悟思考感悟綜合法和分析法的區(qū)別與聯(lián)系是什么？綜合法和分析法的區(qū)別與聯(lián)系是什么？提示：提示：綜合法的特點(diǎn)是：從綜合法的特點(diǎn)是：從“已知已知”看看“可可知知”，逐步推向，逐步推向“未知未知”其逐步推理實(shí)際上其逐步推理實(shí)際上是尋找它的必要條件分析法的特點(diǎn)是：從是尋找它的必要條件分析法的特點(diǎn)是：從“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠攏，逐步靠攏“已知已知”其其逐步推理實(shí)際上是尋求它的充

2、分條件在解決逐步推理實(shí)際上是尋求它的充分條件在解決問題時(shí)，經(jīng)常把綜合法和分析法綜合起來(lái)使問題時(shí)，經(jīng)常把綜合法和分析法綜合起來(lái)使用用2間接證明間接證明反證法：假設(shè)原命題反證法：假設(shè)原命題_ (即在原命題的條即在原命題的條件下，結(jié)論不成立件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得，經(jīng)過正確的推理，最后得出出_因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法題成立，這樣的證明方法叫做反證法不成立不成立矛盾矛盾綜合法綜合法綜合法是綜合法是“由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч?，它是從已知條件出發(fā)，它是從已知條件出發(fā)，順著推證，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導(dǎo)出順著推證，經(jīng)過一

3、系列的中間推理，最后導(dǎo)出所證結(jié)論的真實(shí)性用綜合法證明的邏輯關(guān)系所證結(jié)論的真實(shí)性用綜合法證明的邏輯關(guān)系是：是：ab1b2bnb(a為已知條件或數(shù)為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，學(xué)定義、定理、公理等，b為要證結(jié)論為要證結(jié)論)，它的，它的常見書面表達(dá)是常見書面表達(dá)是“，”或或“”分析法分析法分析法是分析法是“執(zhí)果索因執(zhí)果索因”，一步步尋求上一，一步步尋求上一步成立的充分條件它是從要求證的結(jié)論步成立的充分條件它是從要求證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知逐漸地靠近已知(已知條件，已經(jīng)學(xué)過的定已知條件，已經(jīng)學(xué)過的定義、定理、公理、公式、法則等

4、義、定理、公理、公式、法則等)用分析用分析法證明命題的邏輯關(guān)系是：法證明命題的邏輯關(guān)系是：b b1 b2 bn a.它的常見書面表它的常見書面表達(dá)是達(dá)是“要證要證只需只需”或或“ ”【思路分析思路分析】a bab0，利用，利用a2|a|2求求證證平方得平方得|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22ab)，只需證只需證|a|2|b|22|a|b|0，即即(|a|b|)20，顯然成立，顯然成立故原不等式得證故原不等式得證【誤區(qū)警示誤區(qū)警示】本題從要證明的結(jié)論出發(fā)，探本題從要證明的結(jié)論出發(fā)，探求使結(jié)論成立的充分條件，最后找到的恰恰都求使結(jié)論成立的充分條件，最后找到的恰恰都是已證的命題是已證

5、的命題(定義、公理、定理、法則、公式定義、公理、定理、法則、公式等等)或要證命題的已知條件時(shí)，命題得證這正或要證命題的已知條件時(shí)，命題得證這正是分析法證明問題的一般思路是分析法證明問題的一般思路一般地，含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式，一般地，含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式，若從正面不易推導(dǎo)時(shí)，可以考慮用分析法若從正面不易推導(dǎo)時(shí)，可以考慮用分析法反證法反證法反證法體現(xiàn)了正難則反的思維方法，用反證法證反證法體現(xiàn)了正難則反的思維方法，用反證法證明問題的一般步驟是：明問題的一般步驟是：(1)分清問題的條件和結(jié)論；分清問題的條件和結(jié)論；(2)假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面假定所要證的結(jié)論不成立，

6、而設(shè)結(jié)論的反面成立成立(否定結(jié)論否定結(jié)論)；(3)從假設(shè)和條件出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出從假設(shè)和條件出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出與已知條件、公理、定理、定義及明顯成立的事與已知條件、公理、定理、定義及明顯成立的事實(shí)相矛盾或自相矛盾實(shí)相矛盾或自相矛盾(推導(dǎo)矛盾推導(dǎo)矛盾)；(4)因?yàn)橥评碚_，所以斷定產(chǎn)生矛盾的原因是因?yàn)橥评碚_，所以斷定產(chǎn)生矛盾的原因是“假設(shè)假設(shè)”錯(cuò)誤既然結(jié)論的反面不成立，從而證錯(cuò)誤既然結(jié)論的反面不成立，從而證明了原結(jié)論成立明了原結(jié)論成立(結(jié)論成立結(jié)論成立)【思路分析思路分析】(1)利用求和公式先求公利用求和公式先求公差差d，(2)利用反證法證明利用反證法證明【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】當(dāng)

7、一個(gè)命題的結(jié)論是以當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多至多”、“至少至少”、“唯一唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法來(lái)證，反證法的關(guān)鍵是在正確的，宜用反證法來(lái)證，反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實(shí)矛盾等，反證法常常是解決某些事實(shí)矛盾等，反證法常常是解決某些“疑難疑難”問題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武問題的有力工具，是數(shù)學(xué)證明中的一件有力武器器方法技巧方法技巧1分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法思考起分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法思

8、考起來(lái)比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺來(lái)比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁瑣；綜合法從條件推出點(diǎn)是思路逆行，敘述較繁瑣；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡(jiǎn)潔地解決問題，但不便于思考實(shí)際結(jié)論，較簡(jiǎn)潔地解決問題，但不便于思考實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，證題時(shí)常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來(lái)然后再用綜合法敘述出來(lái)2利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要假設(shè)結(jié)論錯(cuò)誤，并用假設(shè)命題進(jìn)行推理，沒有用假設(shè)命題推誤，并用假設(shè)命題進(jìn)行推理，沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯(cuò)誤的理而推出矛盾結(jié)果，

9、其推理過程是錯(cuò)誤的3用分析法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意書寫格用分析法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用式的規(guī)范性，常常用“要證要證(欲證欲證)”“即要證即要證”“就要證就要證”等分析得到一個(gè)明顯成立的結(jié)等分析得到一個(gè)明顯成立的結(jié)論論p，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立失誤防范失誤防范1反證法證明中要注意的問題反證法證明中要注意的問題(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺反面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺少任何一種可能，反證都是不完全的；少任何一種可能，反證

10、都是不完全的；(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法；就不是反證法；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與事實(shí)矛盾等，推導(dǎo)出的矛有的與假設(shè)矛盾，有的與事實(shí)矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的盾必須是明顯的2常見的常見的“結(jié)論詞結(jié)論詞”與與“反設(shè)詞反設(shè)詞”原結(jié)論原結(jié)論詞詞反設(shè)詞反設(shè)詞原結(jié)論詞

11、原結(jié)論詞反設(shè)詞反設(shè)詞至少有至少有一個(gè)一個(gè)一個(gè)也一個(gè)也沒有沒有對(duì)所有對(duì)所有x成立成立存在某個(gè)存在某個(gè)x不不成立成立至多有至多有一個(gè)一個(gè)至少有至少有兩個(gè)兩個(gè)對(duì)任意對(duì)任意x不成不成立立存在某個(gè)存在某個(gè)x成成立立至少有至少有n個(gè)個(gè)至多有至多有n1個(gè)個(gè)p或或q綈綈p且綈且綈q至多有至多有n個(gè)個(gè)至少有至少有n1個(gè)個(gè)p且且q綈綈p或綈或綈q從近幾年的高考試題來(lái)看，綜合法、反證法證明從近幾年的高考試題來(lái)看，綜合法、反證法證明問題是高考的熱點(diǎn)，題型大多為解答題，難度為問題是高考的熱點(diǎn)，題型大多為解答題，難度為中、高檔；主要是在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，像數(shù)列，中、高檔；主要是在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，像數(shù)列，立體幾何中的平行

12、、垂直，不等式，解析幾何等立體幾何中的平行、垂直，不等式，解析幾何等都有可能考查，在考查數(shù)學(xué)基本概念的同時(shí)，注都有可能考查，在考查數(shù)學(xué)基本概念的同時(shí)，注重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論思想以及學(xué)生的邏輯重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論思想以及學(xué)生的邏輯推理能力推理能力預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)2012年廣東高考仍將以綜合法證明為主要考年廣東高考仍將以綜合法證明為主要考點(diǎn)，偶爾會(huì)出現(xiàn)反證法證明的題目，重點(diǎn)考查運(yùn)點(diǎn)，偶爾會(huì)出現(xiàn)反證法證明的題目，重點(diǎn)考查運(yùn)算能力與邏輯推理能力算能力與邏輯推理能力【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的計(jì)算及反本題考查了數(shù)列的計(jì)算及反證法的證明，試題為中高檔題，易誤點(diǎn)為：證法的證明，試題為中高檔題，易誤點(diǎn)為：一是不能轉(zhuǎn)化為新數(shù)列；二是求一是不能轉(zhuǎn)化為新數(shù)列；