偏微分方程理論學習總結(jié)

1、偏微分方程理論學習總結(jié)任榮珍 院系：理學院 班級：19 班 學號：2014081034偏微分方程理論學習總結(jié)偏微分方程這一門學科在我腦海中的印象不是很深，本科時學的是常微分方程，在課堂上聽到老師提起過偏微分方程，因此，在研究生階段選課時就選了這門課，以前不了解偏微分，再選了這門課之后對偏微分也算有一定的了解，接下來我想就我這學期學習了這門課做一個簡單的總結(jié)。下面就來介紹有關(guān)偏微分方程的發(fā)展簡介：談到偏微分方程，我們就會想到本科時學的常微分方程，而偏微分方程的發(fā)展沒有常微分方程的發(fā)展早，所以要談偏微分方程就先來談一下常微分方程。十七世紀微積分創(chuàng)立之后，常微分方程理論立刻就發(fā)展起來，當時應用常微分

2、方程解決幾何與理學中的新問題，結(jié)果是在天體理學中不僅能得到并解釋早已知曉的那些事實，而且得到了新的發(fā)現(xiàn)(例如，海王星的發(fā)現(xiàn)就是在對微分方程分析的基礎(chǔ)上作出的)。而偏微分方程的研究要晚的多，對物理學中出現(xiàn)的偏微分方程研究在十八世紀中葉導致了分析學的一個新的分支數(shù)學物理方程的建立。j.達朗貝爾(dalembert)(1717-1783)、l.歐拉(euler)(1707-1783)、d.伯努利(bernoulli)(1700-1782)、j.拉格朗日(lagrange)(1736-1813)、p.拉普拉斯(laplace)(1749-1827)、s.泊松(poisson)(1781-1840)、j

3、.傅里葉(fourier)(1768-1830)等人的工作為這一學科分支奠定了基礎(chǔ)，它們在考察具體的數(shù)學物理問題中，所提出的思想與方法，竟適用于眾多類型的微分方程，成為十九世紀末偏微分方程一般理論發(fā)展的基礎(chǔ)。十九世紀，偏微分方程發(fā)展的序幕是由法國數(shù)學家傅里葉拉開的，他于1822年發(fā)表的熱的解析理論是數(shù)學史上的經(jīng)典文獻之一。而十九世紀偏微分方程的另一個重要發(fā)現(xiàn)是圍繞著位勢方程來進行的，這方面的代表人物格林(g.green)是一位磨坊工出身、自學成才的英國數(shù)學家，位勢方程也稱為拉普拉斯方程：偏微分方程是儲存自然信息的載體，自然現(xiàn)象的深層次性質(zhì)可以通過數(shù)學手段從方程中推導出來，而本學期學習的偏微分方

4、程理論的第一篇就介紹了線性橢圓形方程，橢圓形方程它的方法是先驗估計加泛函分析手段，在線性橢圓形這一塊以6章來詳細介紹線性橢圓形方程，在這一篇中講到了很多內(nèi)容和知識點，下面我就來介紹一些關(guān)于線性橢圓形方程的一些定理及應用在第一章預備知識這一塊主要學習了若干技巧和一些重要的不等式，若干技巧分單位分解定理、齊次化邊界條件、振動方法等單位分解定理：(設(shè)是開集組，是緊集，滿足，則存在函數(shù)，使得，且在的領(lǐng)域內(nèi))、；接下來介紹一些重要的不等式：一、 基本不等式(1) 不等式對任意的，有(2) 帶的不等式對任意的和，有(3) 不等式設(shè)是下凸的，則對有限區(qū)間及可積函數(shù)均成立(4) 不等式對任意,，有(5) 帶的

5、不等式對任意和，有(6) 不等式 ， ，(7)一般的不等式， (7) 不等式設(shè)，則，使(8) 幾何與算術(shù)平均不等式對任意，有(9) 空間的內(nèi)插不等式， ，二、內(nèi)插不等式(1) (恒等式)記號為在點的外法向?qū)?shù)。(2) (內(nèi)插不等式)設(shè)，是光滑函數(shù)，在上，則其中是僅依賴于的常數(shù)，且三、不等式設(shè)，則對，有其中僅依賴于及這些重要的不等式在以后的文章寫作中也會用到，而且這是偏微分方程中最基本的知識。偏微分方程理論與其他數(shù)學分支如泛函分析、函數(shù)論、拓撲學、代數(shù)、復分析的緊密聯(lián)系，偏微分方程理論廣泛應用數(shù)學這些領(lǐng)域中的基本概念、基礎(chǔ)思想和基本方法，并且它本身也給這些學科分支的研究問題的范圍與方向以影響，極

6、值原理及其應用就是這種相互影響的經(jīng)典范例，下面就來介紹一下弱極值原理及解的上下界估計、強極值原理、弱解的極值原理、極值原理等等弱極值原理: 假設(shè)是函數(shù)，滿足微分不等式 其中滿足橢圓性假設(shè)條件，及有界，且 ，則特別地，若，則有解的上下界模的估計：假設(shè)是方程的解，其中滿足橢圓形假設(shè)條件，及有界，且在內(nèi)，則存在僅依賴于及系數(shù)，的常數(shù)，使得弱極值原理斷言，在一定條件下函數(shù)一定在的邊界取得它的最大值或最小值，但并不排除在內(nèi)也能取得最大(小)值，下面所講的強極值原理說明，在一定條件下，若不恒為常數(shù)，則一定不能再內(nèi)部達到最大值，下面就介紹強極值原理。強極值原理：若函數(shù)在內(nèi)滿足，且在一個內(nèi)點處達到非負的最大值

7、，則為常數(shù)。接下來介紹弱解的極值原理，并由此獲得問題弱解的存在性，這里我們采用迭代法。為了更精確地敘述弱極值原理，我們需要引進上、下解的概念定義1：稱為方程的弱下解(弱上解、弱解)，如果對任意，有其中事實上式對于任意，也成立弱解的極值原理：設(shè)的系數(shù)滿足式與式，且在內(nèi)幾乎處處成立，如果是方程的弱下解，則對于任意，我們有其中僅依賴于，以及，但與的下界無關(guān)。上面介紹的是一些關(guān)于線性橢圓形的不等式極值原理及應用，下面我們來介紹有關(guān)線性橢圓形中有關(guān)解的估計、存在性及連續(xù)性梯度的邊界估計：定理1.1假設(shè)滿足其中系數(shù)，有界，也有界，且滿足橢圓性假設(shè)條件，滿足外球條件，則存在僅依賴于，及的常數(shù)，使得解的梯度在

8、上的估計：定理1.2假設(shè)是問題的解，其中滿足橢圓假設(shè)條件，與有有界的導數(shù)，且，則存在僅依賴于 (出現(xiàn)在橢圓假設(shè)條件中)及，的模的常數(shù)，使得解的梯度在上的估計有時是無用的，因為難以估計，在這種情況下，我們考慮函數(shù)其中是一光滑的截割函數(shù)，在附近它恒為0，我們可以選擇，使它在某嚴格內(nèi)域上恒等于1，并且利用前述估計，得到借助，及表示的的界。一旦有了的界，利用同樣的方法可得到高階導數(shù)的界。例如，我們可以利用極值原理于， 待定以得到的二階導數(shù)的界，利用以得到局部的二階導數(shù)估計。估計：記定理2.1：設(shè)是問題的光滑解，滿足橢圓性假設(shè)條件，且，有界，若，則存在僅依賴于及系數(shù)的常數(shù)與，使得若充分大，則存在，使得注

9、意，這個估計不要求或的任何光滑性。估計：現(xiàn)在對系數(shù)及增加一些光滑性的假設(shè)來推導的二階導數(shù)的估計。關(guān)于的假設(shè)：(1)對每點,存在一個在切于的平面,使得在的某個小領(lǐng)域-內(nèi), 在局部坐標系下可表示為我們假設(shè)軸指向在點的外法向量矢量。(2) 是函數(shù),且, .(3)存在不依賴于的,使得對任意,有方程的估計：因為下面的證明稍微復雜點，我們首先論述一個特殊情況定理2.2：設(shè)是問題的光滑解，其中滿足上述條件(1)(3),則存在僅依賴于的常數(shù)，使得我們接下來將用同樣的方法去推導解的估計引理2.1：設(shè)及是兩個實對稱的矩陣，假定正定，且其最小特征值不小于，則定理2.3：設(shè)是式的光滑解，滿足(1)(3), 滿足橢圓性

10、假設(shè)條件，且在上有有界的梯度，及有界，則存在僅依賴于系數(shù)及的常數(shù)，使得如果充分大，則存在，使得散度形式方程解的估計：引理2.2 設(shè)是一致連續(xù)的(即存在，使得對任意，有)，且，假定，則(1) (2)若僅有有限多個間斷點，則在內(nèi)幾乎處處有， 定理3.1(全局估計)設(shè)是問題的解(弱解或光滑解)，若滿足橢圓性假設(shè)條件，且對某，則存在僅依賴于，與的常數(shù)，使得下解的局部估計：定義2 稱為方程 的下解，若 引理3.1 若是方程 的解，是凸的，則是方程 的下解。定理3.2 設(shè)是方程 的非負下解(或弱下解)，系數(shù)滿足橢圓性假設(shè)條件，任選及，使得，則存在僅依賴于，及的，使得即在較小球內(nèi)的模由它在較大球內(nèi)的模來估計

11、引理3.2 設(shè)是方程 的非負下解，則對任一，有其中不依賴于與。引理3.3 設(shè)是方程 的非負下解，則有推 論 設(shè)是方程 的解，則解的估計(1)算子的估計定義3 (1)稱 為方程的基本解. 其中是內(nèi)單位球的面積(2)設(shè)是有界可積的，則稱為的位勢定理4.1 設(shè)，則對任意，存在常數(shù)，使得對任意，有常數(shù)僅依賴于及。換句話說，若是 的解，則(2)整體估計本節(jié)我們將研究的解，對系數(shù)作如下的假設(shè)：(1) ，在內(nèi)有界(不妨設(shè))；(2) 滿足橢圓性假設(shè)條件；(3)函數(shù)在上連續(xù)。引理 4.1假設(shè)系數(shù)，及滿足假設(shè)(1)(3)(以中心在原點的某個球代替)，選，則存在僅依賴于系數(shù)的界，的連續(xù)模，及的常數(shù)，,使得若，且是方

12、程在內(nèi)的解，在附近，則引理4.2 在引理4.1的假設(shè)下，存在常數(shù)，使得如果，是在內(nèi)的解，在附近，在上，則引理4.3 設(shè)，對每個，存在 (僅依賴于，)，使得對任意，有定理4.2 設(shè)是在具光滑邊界的有界域內(nèi)的光滑解，系數(shù)滿足條件(1),(2),(3)，令,則存在僅依賴于系數(shù)的界，的連續(xù)模，,，及的常數(shù),，使得若,充分大，我們可取(3)局部估計引理4.4 存在僅依賴于及的常數(shù)使得對所有及成立，其中不依賴于及.引理4.5 設(shè)是定義在上的非負有界函數(shù)，若對任意,有則定理4.3 設(shè)是方程的光滑解(或強解)，的系數(shù)滿足上面的條件(1),(2),(3),則對每個域, 存在僅依賴于系數(shù)的界, 的連續(xù)模，與的常數(shù)

13、，使得估計：(1) 位勢的估計命題1:(1) 若是內(nèi)有界可積函數(shù)，則，且 ； (2) 若在內(nèi)有界且是局部連續(xù)的(指數(shù)為，),則，且 ，其中是任一包含的光滑區(qū)域，在內(nèi)作零延拓，是上的單位外法向量。 (3) 在(2)的條件下，滿足，引理5.1 設(shè)，是兩個同心球，假設(shè)對某，且是在內(nèi)的位勢，則，且引理5.2 對某，設(shè)，假設(shè)對某，且是在內(nèi)的位勢，則且(2)整體估計引理5.3 設(shè)，且是 的解，若是任一包含的支集的球，則，且現(xiàn)在考慮一般的橢圓型方程問題對系數(shù)作如下假設(shè)：(1) ，對某；(2) 滿足橢圓性假設(shè)條件(3)定理5.1(整體估計) 設(shè)是邊值問題的解，其中系數(shù)滿足(1)與(2)，是光滑的(例如屬于)，則存在僅依賴于系數(shù)的模，及的常數(shù)，使得如果在內(nèi)，則我們可取。(3)內(nèi)部的估計設(shè)，記 對，定義(1) (2) (3) 定理5.2 (內(nèi)部估計) 設(shè)是方程在內(nèi)的解，且橢圓型算子的系數(shù)滿足(1)，(2)，則存在僅依賴于系數(shù)的模，及的常數(shù)，使得以上是第一篇所講到的內(nèi)容。第二篇也講到了一些極值原理及應用，但是講的是有關(guān)