初三數(shù)學(xué)第講圖形旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用教師版

1、第七講 旋轉(zhuǎn)圖形的應(yīng)用 三大模型之共頂點(diǎn)等腰三角形旋轉(zhuǎn)模型(手拉手”模型)證明全等的基本思想“” 以上給出了各種圖形連續(xù)變化圖形，圖中出現(xiàn)的兩個(gè)陰影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性質(zhì)進(jìn)行邊與角的轉(zhuǎn)化 圖形旋轉(zhuǎn)的全等 圖形旋轉(zhuǎn)在綜合題中的應(yīng)用 旋轉(zhuǎn)類幾何作圖與計(jì)算 【例1】如圖，用等腰直角三角板畫(huà)aob=45°，并將三角板沿ob方向平移到如圖所示的虛線處后繞點(diǎn)m按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)22°，則三角板的斜邊與射線oa的夾角a為_(kāi)°解析：根據(jù)的平移性質(zhì)，對(duì)應(yīng)線段平行，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為22°進(jìn)行計(jì)算解答：根據(jù)題意，得aob=45

2、6;，m處三角板的45°角是aob的對(duì)應(yīng)角，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得三角板的斜邊與射線oa的夾角為22°故選a答案：a【例2】如圖，把邊長(zhǎng)為1的正方形abcd繞頂點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到正方形abcd，則它們的公共部分的面積等于_解析：作bfad，垂足為f，webf，垂足為e，根據(jù)繞頂點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，計(jì)算出邊，然后求面積如圖，作bfad，垂足為f，webf，垂足為e，四邊形wefd是矩形，bab=30°，baf=60°，fba=30°，wbe=60°，bf=absin60°=，af=abcos60

3、°=，we=df=ad-af=，eb=wecot60°=，ef=bf-be=，sbfa=，sbew=，swefd=，公共部分的面積=sbfa+sbew+swefd=；答案：【例3】如圖所示：中，是內(nèi)的一點(diǎn)，且，求的度數(shù) 解析：以c為旋轉(zhuǎn)中心,將cpa旋轉(zhuǎn)90°,ac與bc邊重合,連接dp由題意可知：dccp2,在rtcpd中,由勾股定理可得：dp22,pcd45°由題可知：在bpd中,bp1,dbap3,dp22,db²dp²bp²,bpd是以db為斜邊的直角三角形,即bpd90°bpcbpdpcd135°

4、;答案：連接bd cdcp，且cdcp2， cpd為等腰直角三角形，即cpd45° acp+bcpbcp+bcd90°， acpbcd cacb， capcbd(sas)， dbpa3在rtcpd中，又 pb1，則 ， ， dpb為直角三角形，且dpb90°， cpbcpd+dpb45°+90°135°【例4】如圖，以等腰直角三角形abc的斜邊ab為邊作等邊abd，連結(jié)dc，以dc為邊作等邊dce，b，e在c，d的同側(cè)若則be=_解析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解答abc等腰直角三角形ac=bc，a

5、bd是等邊三角形bd=adadcbdcbcd=（360°-90°）÷2=135°又cbd=60°-45°=15°cdb=180°-135°-15°=30°，bde=60°-30°=30°cd=ed，cdb=bde，bd=bdbcdbedbe=cb=×sin45°=1be=1答案：be=1【例5】以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰，.連接，、分別是、的中點(diǎn)探究：與的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，與的位置關(guān)系是 ；線段與的數(shù)量關(guān)

6、系是 ；將圖中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)()后，如圖所示，問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由 解析：（1）ed=2am，amed延長(zhǎng)am到g，使mg=am，連bg，則abgc是平行四邊形，再結(jié)合已知條件可以證明daeabg，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以得到de=2am，bag=eda，再延長(zhǎng)mg交de于h，因?yàn)閎ag+dah=90°，所以hda+dah=90°這樣就證明了amed；（2）延長(zhǎng)ca至f，使fa=ac，fa交de于點(diǎn)p，并連接bf，證出fabead，利用相似三角形的性質(zhì)得到bf=de，f=aen，從而證出fpd+f=ape+aen=90°，得到fb

7、de，根據(jù)amfb，可得到.答案：（1）ed=2am，amed；證明：延長(zhǎng)am到g，使mg=am，連bg，則abgc是平行四邊形，再延長(zhǎng)ma交de于h ac=bg，abg+bac=180° 又dae+bac=180°， abg=dae 再證：daeabg de=2am，bag=eda 延長(zhǎng)ma交de于h， bag+dah=90°， hda+dah=90° amed （2）結(jié)論仍然成立 證明：如圖，延長(zhǎng)ca至f，使fa=ac，fa交de于點(diǎn)p，并連

8、接bf daba，eaaf，baf=90°+daf=ead 在fab和ead中， faae，bafead， bada，   fabead（sas） bf=de，f=aen， fpd+f=ape+aen=90° fbde 又ca=af，cm=mb amfb，且am=1/2 fb， amde，am=1/2 de 【例6】如圖，已知是等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)作正方形，使點(diǎn)、分別在和上，連接、試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你得到的結(jié)論將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐?/p>

9、轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于，小于或等于360°），如圖，通過(guò)觀察或測(cè)量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由若，在的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)為最大值時(shí)，求的值解析：（1）在rtbdg與rteda；根據(jù)邊角邊定理易得rtbdgrteda；故bg=ae；（2）連接ad，根據(jù)直角三角形與正方形的性質(zhì)可得rtbdgrteda；進(jìn)而可得bg=ae；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，求bg的最大值，分析可得此時(shí)f的位置，由勾股定理可得答案答案：（1）bgae易得bd=da,gd=da,gdb=eda；故可得rtbdgrtade；故bg=ae；（2）成立 如圖，連

10、接adabc是等腰三直角角形，bac90°，點(diǎn)d是bc的中點(diǎn)adb90°，且bdadbdgadbadg90°adgade，dgdebdgade，bgae7分（3）由（2）知，bgae，故當(dāng)bg最大時(shí)，ae也最大正方形defg繞點(diǎn)d逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)270°時(shí)，bg最大，如圖若bcde2，則ad1，ef2在rtaef中，af 2ae 2ef 2(adde)2ef 2(12)22 213afa檔1、 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)p0的坐標(biāo)為(1，0)，將點(diǎn)p0繞著原點(diǎn)o按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到p1，延長(zhǎng)

11、op1到點(diǎn)p2，使op2=2op1，再將點(diǎn)p2繞著原點(diǎn)o按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得點(diǎn)p3，則p3的坐標(biāo)是_解析：已知將點(diǎn)p0繞著原點(diǎn)o按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得點(diǎn)p1，則op1=1，p1點(diǎn)的坐標(biāo)是（則p2的坐標(biāo)是；再將點(diǎn)p2繞著原點(diǎn)o按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得點(diǎn)p3，則點(diǎn)p3與p2關(guān)于y軸對(duì)稱，因而點(diǎn)p3的坐標(biāo)就很容易求出解：點(diǎn)p0繞著原點(diǎn)o按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得點(diǎn)p1，p1點(diǎn)的坐標(biāo)是（，p2的坐標(biāo)是，又點(diǎn)p3與p2關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)p3的坐標(biāo)是（-1，）答案：（-1，）2、如圖，已知梯形abcd中，adbc，b=90°，ad=3，bc=5，ab=

12、1，把線段cd繞點(diǎn)d逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到de位置，連結(jié)ae，則ae的長(zhǎng)為_(kāi) 解析：根據(jù)題意，作efad于f，dgbc于g，證明cdg全等于edf，即可求出ae的值解：如圖，作efad于f，dgbc于g，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，de=dc，dedc，cdg=edf，cdgedf，df=dg=1，ef=gc=2，ae=2答案：3、如圖，已知d，e分別是正三角形的邊bc和ca上的點(diǎn)，且ae=cd，ad與be交于p，則bpd_°解析：根據(jù)abc是等邊三角形，可得ac=bc，abd=c=60°，結(jié)合ae=cd，利用等式性質(zhì)易得bd=ce，利用sas易證abdbce，從而有adb=

13、bec，再利用三角形外角性質(zhì)可證c=ape，而ape和bpd是對(duì)頂角，故可得bpd=c答案：604、已知：正方形中，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交cb、dc（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)m、n （1）如圖1，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，有當(dāng) 繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，如圖2，請(qǐng)問(wèn)圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段和之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并證明 解析：（1）可通過(guò)旋轉(zhuǎn)圖形構(gòu)建全等三角形進(jìn)行求證.把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，那么，三點(diǎn)共線，然后證得和全等得出，由于，因此可 證得；（2）如圖，參照（1）中的求法，證得，可得，進(jìn)而可得到.答案：（1

14、）答：圖1的結(jié)論仍然成立，即 證明：如圖2，在mb的延長(zhǎng)線上截取be=dn，連結(jié)ae 易證 （sas） ae=an；eab=nad又am為公共邊， 即 （2）猜想：線段和之間的等量關(guān)系為： 證明：如圖3，在dn延長(zhǎng)線上截取de=mb，連結(jié)a e 易證 （sas） am=ae；mab=ead 易證 （sas） ，5、探究：（1）如圖1，在正方形abcd中，e、f分別是bc、cd上的點(diǎn)，且eaf45°，試判斷be、df與ef三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出判斷結(jié)果： ；（2）如圖2，若把(1)問(wèn)中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蝍bcd中，abad，bd180°，e、f分別是邊bc、cd上

15、的點(diǎn)，且eaf=bad”，則（1）問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）問(wèn)中，若將aef繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)分別e、f運(yùn)動(dòng)到bc、cd延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問(wèn)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)給出結(jié)論并予以證明. 解析：可通過(guò)旋轉(zhuǎn)圖形構(gòu)建全等三角形進(jìn)行求證.把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，那么，三點(diǎn)共線，然后證得和全等得出，由于，因此可證得答案：（1）ef= bedf（2）結(jié)論ef= bedf仍然成立（如圖2）證明:將adf繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使ad與ab重合，得到， adf，（圖2）1=2， a=af，=df. =d又eaf=bad，即4

16、=2+3.4=1+3.又abcd180°，aab e=180°，即：、b 、e共線.在aef與aef1中， af=a， 4=1+3， ae=aeaefae中，ef=e，又e=beb,即：ef= bedf. （3）發(fā)生變化. ef、be、df之間的關(guān)系是ef= bedf. （圖3）證明：將adf繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使ad與ab重合，點(diǎn)f落在bc上點(diǎn)處， 得到ab，如圖3所示. adfab， b a=daf ， a=af，b=df. 又eaf=bad，且b a=daf ae=fa e.在ae與fa e中 af=a， ae=fa e, ae=ae,aefa eef=e，又be= b

17、e，e=beb.即ef= bedfb檔6、在等邊中，為邊上一點(diǎn)，則以、為邊組成的新三角形的最大內(nèi)角為，則( )a bc d解析：在ab上取點(diǎn)e,使bp=be,連接pe、ce則bpe為等邊三角形,所以bp=pe又abp全等于cbe所以ce=ap則cbe三邊與ap、bp、cp等線段而cbe的最大內(nèi)角為120度答案：c7、為等邊內(nèi)一點(diǎn)，求證：以、為邊可以構(gòu)成一個(gè)三角形，并確定所構(gòu)成的三角形的各內(nèi)角的度數(shù).解析：將apc繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得aqb，可以證明apq是等邊三角形則qp=ap，則qbp就是以ap，bp，cp三邊為邊的三角形，然后分別求出qbp的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)即可答案：解：將ap

18、c繞點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得aqb，則aqbapcbq=cp，aq=ap，1+3=60°，apq是等邊三角形，qp=ap，qbp就是以ap，bp，cp三邊為邊的三角形，apb=113°，6=apb-5=53°，aqb=apc=123°，7=aqb-4=63°，qbp=180°-6-7=64°，以ap，bp，cp為邊的三角形的三內(nèi)角的度數(shù)分別為64°，63°，53°8、是等邊內(nèi)一點(diǎn)，又、的大小之比是，則以、為邊的三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比是( )(從小到大)(a) (b)(c) (d)不能

19、確定解析：將apb繞a點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得apc，顯然有apcapb，連pp，則ap=ap，pap=60°，得到app是等邊三角形，pp=ap，所以pcp的三邊長(zhǎng)分別為pa，pb，pc；再由apb+bpc+cpa=360°，apb：bpc：cpa=5：6：7，得到apb=100°，bpc=120°，cpa=140°，這樣可分別求出ppc=apc-app=apb-app=100°-60°=40°，ppc=apc-app=140°-60°=80°，pcp=180°-（4

20、0°+80°）=60°，即可得到答案答案：a9、兩個(gè)全等的直角三角形abc和dbe按圖方式擺放，其中acbdeb90°，ad 30°，點(diǎn)e落在ab上，de所在直線交ac所在直線于點(diǎn)f（1）求證：afef=de；（2）若將圖中的繞點(diǎn)b按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，且，其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出變換后的圖形，并直接寫(xiě)出中的結(jié)論是否仍然成立；（3）若將圖中的dbe繞點(diǎn)b按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，且，其它條件不變，如圖你認(rèn)為中的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出af、ef與de之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由解析：（1）如圖,連接bf,由abcdbe,可得bc

21、=be,根據(jù)直角三角形的“hl”定理,易證bcfbef,即可證得；（2）同（1）得cf=ef,由abcdbe,可得ac=de,ac=af+cf=af+ef,即af+ef=de；（3）同（1）得cf=ef,由abcdbe,可得ac=de,af=ac+fc=de+ef答案：連結(jié)bf（如圖）. abcdbe， bc=be，ac=de acb=deb=90°， bacb=bef=90°. bf=bf， rtbfcrtbfe cf=ef 又 af+cf=ac， af+ef =de 畫(huà)出正確圖形如圖 成立不成立此時(shí)af、ef與de的關(guān)系為af ef =de.理由：連接bf（如圖）. a

22、bcdbe， bc=be，ac=de， acb=e=90°， acb=e=90°又 bf=bf， rtbfcrtbfe cf=ef 又 afcf =ac， af ef = de 中的結(jié)論不成立 正確的結(jié)論是afef = de . 10、 如圖，在四邊形abcd中，對(duì)角線ac、bd相交于點(diǎn)o，直線mn經(jīng)過(guò)點(diǎn)o，設(shè)銳角doc=，將doc以直線mn為對(duì)稱軸翻折得到doc，直線a d、b c相交于點(diǎn)p（1）當(dāng)四邊形abcd是矩形時(shí)，如圖1，請(qǐng)猜想a d、b c的數(shù)量關(guān)系以及apb與的大小關(guān)系；（2）當(dāng)四邊形abcd是平行四邊形時(shí)，如圖2，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（3）當(dāng)四邊形abc

23、d是等腰梯形時(shí)，如圖3，apb與有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)證明解析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及角之間的關(guān)系證明bodaoc，得出對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角相等，推理即可得出結(jié)論；（2）先進(jìn)行假設(shè)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形比例關(guān)系即可得出答案；（3）易證bodcoa，則ac=bd，obd=ocaoac，從而得出amb答案：（1） a d=b c，apb= （2） a d=b c 仍然成立，apb=不一定成立 （3）apb=180°- 證明：如圖3，設(shè)oc，pd交于點(diǎn)e 將doc以直線mn為對(duì)稱軸翻折得到doc， docdoc， od=od， oc=oc，doc=doc 四邊形abcd是等腰梯形，

24、ac=bd，ab=cd, abc= dcb bc=cb， abcdcb dbc=acb ob=oc，oa=od aob= cod=co d， boc = do a od=oa，oc=ob， docaob， odc= oab od=oa，oc=ob，boc = do a， oda = oad=obc=oc b cep= deo， cpe= cod=cod=cpe+apb=180°，apb=180°- c檔11、如圖所示：中，是內(nèi)的一點(diǎn)，且，求的度數(shù)解析：將acp繞c點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出qpc=45°，根據(jù)勾股定理可證出pbq=90°

25、，從而可得出答案 答案：解：將acp繞c點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，然后連接pq，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：cq=cp=4，bq=pa=6，qbc=pac，rtacbrtpcq，又pcb+pca=90°，pcq=qcb+bcp=pcb+pca=90°，pq2=cq2+cp2=32，且qpc=45°，在bpq中，pb2+pq2=4+32=36=bq2qpb=90°，bpc=qpb+qpc=135°故答案為：135°12、如圖所示，是等邊內(nèi)部一點(diǎn)，求的邊長(zhǎng).解析：首先將bcp繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得acq，連接pq再過(guò)a作cp的延長(zhǎng)線的垂線

26、ad，垂足為d，易證得pcq是等邊三角形，apq是直角三角形，則可求得apc的度數(shù)，然后可求得apd的度數(shù)，在rtapd中，即可求得ad與cd的長(zhǎng)，繼而求得ac2答案：解：將bcp繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得acq，連接pq再過(guò)a作cp的延長(zhǎng)線的垂線ad，垂足為d，aq=pb=5，cq=pc，pcq=60°，pcq是等邊三角形，pq=pc=3，qpc=60°，在paq中，pa=4，aq=5，pq=3，aq2=pa2+pq2，apq=90°，apc=apq+qpc=150°，apd=30°，在rtapd中，ad=pa=2，pd=apcos3

27、0°=2，則cd=pc+pd=3+2，在rtacd中，ac2=ad2+cd2=4+（3+2）2=25+1213、如圖所示，在正方形中，點(diǎn)、分別在、上，且，求的面積解析：將adf繞a點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到abg的位置，得到abg，求證：aefaeg，要求aef的面積求aeg即可，且ab為底邊上的高，eg為底邊答案：解：將adf繞a點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到abg的位置，ag=af，gab=fad=15°，gae=15°+30°=45°，eaf=90°-（30°+15°）=45°，gae=

28、fae，又ae=ae，aefaeg，ef=eg，aef=aeg=60°，在rtabe中，ab=，bae=30°，aeb=60°，be=abtan30°=1，在rtefc中，fec=180°-（60°+60°）=60°，ec=bc-be=-1，ef=2（-1）eg=2（-1），saeg=egab=3-，saef=saeg=3-14、將等腰rtabc和等腰rtade按圖1方式放置，a=90°， ad邊與ab邊重合， ab2ad=4將ade繞點(diǎn)a逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度（0°180°），bd的

29、延長(zhǎng)線交直線ce于點(diǎn)p.（1）如圖2，bd與ce的數(shù)量關(guān)系是 , 位置關(guān)系是 ；（2）在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)adbd時(shí)，求出cp的長(zhǎng)； （3）在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng).備用圖圖2圖1解析：（1）利用三角形中位線性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得出即可.（2）首先得出abdace（sas），進(jìn)而求出四邊形adpe為正方形，即可得出cp的長(zhǎng).（3）由（2）知，當(dāng)=60°時(shí)，pba最大，且pba=30°，此時(shí)aop=60°，得出點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)的路線是以o為圓心，oa長(zhǎng)為半徑的弧長(zhǎng)，進(jìn)而利用弧長(zhǎng)公式求出即可答案：（1），（2）如圖3所示，和都是等腰三角形，四邊形為正方形，圖3

30、，圖4 （3）如圖4，取中點(diǎn)，連結(jié)、，在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（），由（2）知，當(dāng)時(shí)，最大，且，此時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線是以為圓心，長(zhǎng)為半徑的弧與弧的和點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為：15、如圖1，正方形與正方形aefg的邊ab、ae（abae）在一條直線上，正方形aefg以點(diǎn)a為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為. 在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩個(gè)正方形只有點(diǎn)a重合，其它頂點(diǎn)均不重合，連接be、dg.（1）當(dāng)正方形aefg旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置時(shí)，求證：be=dg； （2）當(dāng)點(diǎn)c在直線上時(shí)，連接fc，直接寫(xiě)出fcd 的度數(shù)；（3）如圖3，如果=45°，ab =2，ae=，求點(diǎn)g到be的距離. 解析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得ab

31、=ad，ae=ag，bad=eag=90°，再求出bae=dag，然后利用“邊角邊”證明abe和adg全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可.（2）當(dāng)點(diǎn)c在直線be上時(shí)，可知點(diǎn)e與c重合或g點(diǎn)c與重合，據(jù)此求解即可.（3）根據(jù) 和 求解即可.答案：（1）證明：如圖2，四邊形abcd是正方形，ab=ad，bae+ead=90°.四邊形aefg是正方形，ae=ag，ead+dag=90°.bae=dag. . be=dg. （2）解：45°或135°. （3）解：如圖3，連接gb、ge. 由已知=45°，可知bae=4

32、5°. 又ge為正方形aefg的對(duì)角線， aeg=45°. abge. ,ge =8， . 過(guò)點(diǎn)b作bhae于點(diǎn)h.ab=2，. 設(shè)點(diǎn)g到be的距離為h. 即點(diǎn)g到be的距離為. 1、以下四個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有( )a4個(gè)b3個(gè)c2個(gè)d1個(gè)解析：根據(jù)定義判斷即可答案：a2、如圖，五邊形abcde中，abae，baebcd120°，abcaed180°，連結(jié)ad。求證：ad平分cde解析：連接ac，將abc繞a點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120°到aef，由ab=ae，bae=120°，得到ab與ae重合，并且ac=af，又由abc+

33、aed=180°，得到aef+aed=180°，即d，e，f在一條直線上，而bc+de=cd，得cd=df，則易證acdafd，于是adc=adf答案：證明：如圖，連接ac，將abc繞a點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120°到aef，ab=ae，bae=120°，ab與ae重合，并且ac=af，又abc+aed=180°，而abc=aef，aef+aed=180°，d，e，f在一條直線上，而bc=ef，bc+de=cd，cd=df，又ac=af，acdafd，adc=adf，即ad平分cde3、如圖，以正方形的邊為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形，、交于。已知、的

34、長(zhǎng)分別為、，求三角形的面積 解析：連接de，將三角形aed旋轉(zhuǎn)，使ad與ab邊重合，則四邊形afbe為直角梯形，根據(jù)圖形的面積關(guān)系求解即可答案：連接de，將三角形aed旋轉(zhuǎn)，使ad與ab邊重合，則四邊形afbe為直角梯形根據(jù)勾股定理得：，則三角形abd的面積=因?yàn)?，又因?yàn)?，所?因?yàn)榕c等底同高面積相等，所以.所以 三角形obe的面積為2.54、如圖1，若四邊形abcd、gfed都是正方形，顯然圖中有ag=ce，agce（1）當(dāng)正方形gfed繞d旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，ag=ce是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)正方形gfed繞d旋轉(zhuǎn)到b，d，g在一條直線 （如圖3）上時(shí)

35、，連結(jié)ce，設(shè)ce分別交ag、ad于p、h 求證：agce； 如果ad=4，dg=，求ce的長(zhǎng) abcdefg圖2abcdefg圖1圖3解析：（1）利用正方形性質(zhì)以及全等三角形的判定的證出agdced（sas）即可得出答案；（2）根據(jù)（1）得出1=2，再利用3=4，4+2=90°，可得出3+1=90°，進(jìn)而得出答案；利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出md=mg=，進(jìn)而利用勾股定理求出ce的長(zhǎng)答案：證明：（1）成立 四邊形、四邊形是正方形， . 90°. （2）由（1）可知， 12 . 34，4290°， 3190° . 過(guò)作于m . bd是正方形的

36、對(duì)角線， . dgm45°. dg=， . 在rtamg中 ，由勾股定理，得 ce=ag=5、如圖1，abc是等腰直角三角形，四邊形adef是正方形，d、f分別在ab、ac邊 上，此時(shí)bd=cf，bdcf成立 （1）當(dāng)正方形adef繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0°90°）時(shí)，如圖2，bd=cf成立嗎？ 若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由 （2）當(dāng)正方形adef繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)bd交cf于點(diǎn)g 求證：bdcf； 當(dāng)ab=4，ad=時(shí)，求線段bg的長(zhǎng)解析：（1）abc是等腰直角三角形，四邊形adef是正方形，易證得badcaf，根據(jù)全等三角形的

37、對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得bd=cf；（2）由badcaf，可得abm=gcm，又由對(duì)頂角相等，易證得bmacmg，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得bgc=bac=90°，即可證得bdcf；首先過(guò)點(diǎn)f作fnac于點(diǎn)n，利用勾股定理即可求得ae，bc的長(zhǎng)，繼而求得an，cn的長(zhǎng)，又由等角的三角函數(shù)值相等，可求得am=ab=，然后利用bmacmg，求得cg的長(zhǎng)，再由勾股定理即可求得線段bg的長(zhǎng)答案：（1）bd=cf成立 理由：abc是等腰直角三角形，四邊形adef是正方形， ab=ac，ad=af，bac=daf=90°，bad=bacdac，caf=dafdac，bad=caf，在

38、bad和caf中，badcaf（sas）bd=cf（2）證明：設(shè)bg交ac于點(diǎn)m badcaf（已證）， abm=gcm bma=cmg， bmacmg bgc=bac=90° bdcf過(guò)點(diǎn)f作fnac于點(diǎn)n 在正方形adef中，ad=de=， ae=2， an=fn=ae=1 在等腰直角abc 中，ab=4，cn=acan=3，bc=4在rtfcn中，tanfcn=在rtabm中，tanabm=tanfcn=am=ab=cm=acam=4=，bm=bmacmg，cg=在rtbgc中，bg= 1（1）如圖1，以ac為斜邊的rtabc和矩形hefg擺放在直線l上（點(diǎn)b、c、e、f在直線l上），已知bc=ef=1，ab=he=2. abc沿著直線l向右平移，設(shè)ce=x，abc與矩形hefg重疊部分的面積為y（y0）. 當(dāng)x=時(shí)，求出y的值；（2）在（1）的條件下，如圖2，將rtabc繞ac的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與rtabc形成一個(gè)新的矩形abcd，當(dāng)點(diǎn)c在點(diǎn)e的左側(cè)，且x =2時(shí)，將矩形abcd繞著點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，將矩形hefg繞著點(diǎn)e逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同的角度. 若旋轉(zhuǎn)到頂點(diǎn)d、h重合時(shí)，連接ag，求點(diǎn)d到ag的距離；（3）在（2）的條件下，如圖3，當(dāng)=45°時(shí)，設(shè)ad與gh交于點(diǎn)m，cd與he交于點(diǎn)n，求