高三數(shù)學(xué)理軌跡圓錐曲線綜合人教實驗版A知識精講

1、高三數(shù)學(xué)（理）軌跡，圓錐曲線綜合人教實驗版（a）【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：軌跡，圓錐曲線綜合二. 重點、難點：軌跡的求法1. 直接法2. 幾何法3. 轉(zhuǎn)移法4. 參數(shù)法【典型例題】例1 a（2，0），b（2，0），動點m滿足mba=2mab，求m的軌跡。解：設(shè)m（x，y）（1）m在線段ab上，mba=2mab=0成立（2）m不在線段ab上，mba>mab 圖形在y軸右側(cè)不妨設(shè)m在x軸上方 mba90° * mba=90°時，m（2，4）滿足*式 軌跡為（）或（）例2 圓m：，a（1，0），q在m上，線段aq的垂直平分線交半徑mq于p，求p點軌跡。解：如圖，為aq

2、的垂直平分線 軌跡為橢圓：例3 橢圓m：，a1、a2分別是橢圓的左、右頂點，p為m上任一點，pa1a1q，pa2a2q，a1q、a2q的交點為q，求q點軌跡。解：設(shè)p（）q（） ： 即：例4 過q（2，0）作直線，交橢圓于a、b，以oa、ob為鄰邊作平行四邊形oapb，求p點軌跡。解：設(shè)p（x，y） 設(shè)直線： 設(shè) k為參數(shù) 代入 半個橢圓例5 已知拋物線，過動點m（）且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點a、b，且。（1）求的取值范圍；（2）若線段ab的垂直平分線交x軸于點n，求nab面積的最大值。解：（1）設(shè)直線的方法為：，代入拋物線方程得即 ，即 又 （2）設(shè)，ab的中點c（x，y）由（

3、1）知， ，則有 線段ab的垂直平分線的方程為從而n點坐標(biāo)為 點n到ab的距離為從而當(dāng)有最大值時，s有最大值為例6 已知中心在原點，頂點a1、a2在x軸上，離心率的雙曲線過點p（6，6）。（1）求雙曲線方程；（2）動直線經(jīng)過a1pa2的重心g，與雙曲線交于不同的兩點m、n，問：是否存在直線，使g平分線段mn，證明你的結(jié)論。解：（1）如圖，設(shè)雙曲線方程為由已知得，解得所以所求雙曲線方程為（2）p、a1、a2的坐標(biāo)依次為（6，6）、（3，0）、（3，0） 其重心g的坐標(biāo)為（2，2） 假設(shè)存在直線，使g（2，2）平分線段mn，設(shè)m（），n（）則有， 的方程為由，消去y，整理得 所求直線不存在例7 已

4、知雙曲線c的兩條漸近線都過原點，且都以點為圓心，為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點a1與a點關(guān)于直線對稱。（1）求雙曲線c的方程；（2）設(shè)直線過點a，斜率為，當(dāng)時，雙曲線c的上支上有且僅有一點b到直線的距離為，試求的值及此時b點的坐標(biāo)。解：（1）設(shè)雙曲線的漸近線為，由=1，解得即漸近線為，又點a關(guān)于y=x對稱點的坐標(biāo)為（0，） ，所求雙曲線c的方程為（2）設(shè)直線依題意b點在平行的直線上，且與間的距離為設(shè)直線：，應(yīng)有，化簡得 把代入雙曲線方程得由，可得 、兩式相減得，代入得，解得此時，故例8 如圖所示，拋物線的頂點為o，點a的坐標(biāo)為（5，0），傾斜角為的直線與線段oa相交（不經(jīng)過點o或點a）且交拋

5、物線于m、n兩點，求amn面積最大時直線的方程，并求amn的最大面積。解法一：由題意，可設(shè)的方程為，其中由方程組，消去y，得 直線與拋物線有兩個不同交點m、n， 方程的判別式解得，又， m的范圍為（5，0）設(shè)則， 點a到直線的距離為 從而 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號故直線的方程為，amn的最大面積為解法二：由題意，可設(shè)與x軸相交于b（m，0），的方程為，其中由方程組，消去x，得 直線與拋物線有兩個不同交點m、n 方程的判別式必成立設(shè)，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號故直線的方程為，amn的最大面積為例9 已知拋物線的焦點為f，a，b是拋物線上的兩動點，且，。過a、b兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為m。（

6、1）證明為定值；（2）設(shè)abm的面積為s，寫出的表達(dá)式，并求s的最小值。解析：（1）設(shè)，則由f與拋物線的焦點得f的坐標(biāo)為f（0，1）又 即 將式兩邊平方后，再把代入得 解、式得，且有 拋物線方程為，即 過拋物線上a、b兩點的切線方程分別是， 兩條切線的交點m的坐標(biāo)為 故為定值，其定值為0（2）由（1）問可知 =又 ，即 （當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號） ，當(dāng)且僅當(dāng)時有例10 p、q、m、n四點都在中心為坐標(biāo)原點，離心率為，左焦點為的橢圓上，已知與共線，與共線。，求四邊形pmqn的面積的最大值與最小值。解： 橢圓的中心為坐標(biāo)原點，離心率，左焦點f為（1，0） 橢圓方程為 與共線，與共線， 直線pq和直線

7、mn都過橢圓的左焦點f（1，0）（1）當(dāng)pq的斜率時，不妨設(shè)pq的方程為，設(shè)，則 ， ，即mnpqmn的斜率為，同理可得故四邊形面積 ，即（2）當(dāng)pq的斜率時，pq所在直線為， pq為橢圓長軸，mn為橢圓的短軸， 綜合（1）（2）知，四邊形pqmn面積的最大值為2，最小值為例11 如圖，若f1、f2為雙曲線的左、右焦點，o為坐標(biāo)原點，p在雙曲線的左支上，m在右準(zhǔn)線上，且滿足，。（1）求此雙曲線的離心率；（2）若此雙曲線過點n（2，），求雙曲線的方程；（3）設(shè)（2）中雙曲線的虛軸端點為b1，b2（b1在y軸的正半軸上），過b2作直線ab與雙曲線交于a，b兩點，求時，直線的方程。解析：（1）由知四

8、邊形pf1om是平行四邊形又由知 mop=pof1=mpo pmo為等腰三角形 mo=mp，op平分f1om 平行四邊形pf1om是菱形設(shè)焦半距為，則有 由雙曲線第二定義可知，即 （舍）（2） 雙曲線方程為又 雙曲線過點n（2，） ，即 所求雙曲線的方程為（3）由題意知b1（0，3），b2（0，3），則設(shè)直線ab的方程為，則由有 雙曲線的漸近線為 當(dāng)時，ab與雙曲線只有一個交點，即 ， 又 ， ，解之得 直線ab的方程為【模擬試題】1. 若動點（x，y），在曲線上變化，則的最大值為（ ）a. b. c. d. 2. 已知橢圓，點p（3，1）在上，過點p且方向為的光線經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點

9、，則這個橢圓的離心率為（ ） a. b. c. d. 3. 設(shè)f1、f2分別是橢圓的左、右焦點，若在直線上存在點p，使線段pf1的中垂線過點f2，則橢圓離心率的取值范圍是（ ） a. b. c. d. 4. 已知abc的頂點b，c在橢圓上，頂點a是橢圓的一個焦點，且橢圓的另一個焦點在bc邊上，則abc的周長是（ ） a. b. 6 c. d. 125. 在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，且，則該橢圓的離心率為（ ） a. b. c. d. 6. 曲線與曲線的（ ） a. 焦距相等 b. 離心率相等 c. 焦點相同 d. 準(zhǔn)線相同 7. 設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于

10、點p，若f1pf2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（ ）a. b. c. d. 18. abc中，a（1，0），c（1，0），又，則b點的軌跡方程是（ ）a. b. c. d. 9. 動圓c與兩定圓c1：及c2：分別相切，且一個內(nèi)切，一個外切，則動圓c的圓心軌跡是（ ）a. 兩個橢圓b. 一個橢圓及一個雙曲線的一支c. 兩個雙曲線的各一支d. 一個雙曲線的兩支10. 已知橢圓的焦點是f1、f2、p是橢圓的一個動點，如果m是線段f1p的中點，則動點m的軌跡是（ ） a. 圓 b. 橢圓 c. 雙曲線的一支 d. 拋物線11. 已知等腰三角形頂點a（4，2），一底角的頂點b（3，5），則另一底角

11、的頂點c的軌跡方程是（ ）a. b. c. （除去及（11，1）點）d. （）12. 函數(shù)在（）上的值域是如圖（1），則以為橫坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)所成的點（）的軌跡如圖（2）中的（ ）a. 點b（1，1）和點d（1，3）b. 線段ab和cdc. 線段ad和bcd. 線段ab和ad13. 與y軸相切，且和曲線相內(nèi)切的動圓圓心的軌跡方程是（ ）a. b. c. d. 14. 一動圓與圓外切，而與圓內(nèi)切，那么動圓的圓心軌跡是（ ） a. 雙曲線的一支 b. 橢圓 c. 拋物線 d. 圓15. abc的頂點為a（5，0），b（5，0），abc的內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點c的軌跡方程是（ ）a. b. c. d. 16. 設(shè)a1、a2是橢圓的長軸兩個端點，p1、p2是垂直于a1a2的弦的端點，則直線與交點的軌跡方程為（ ） a. b. c. d. 17. 已知點p（x，y）在以原點為圓心的單位圓上運(yùn)動，則點q（）的軌跡方程是（ ） a. 圓 b. 拋物線 c. 橢圓 d. 雙曲線18. 與圓外切，又與y軸相切的圓的圓心軌跡方程是（ ）a. b. 和y=0c. d. 和19. 設(shè)過點p（x，y）的直線分別與x