人教A版高中數(shù)學(xué)必修2一章空間幾何體探究與發(fā)現(xiàn)祖暅原理與柱體椎體球體的體積教案9

1、探究與發(fā)現(xiàn)祖暅原理與柱體的體積教學(xué)設(shè)計(jì)（人教a版必修2 第一章 第三節(jié) ） 一、教學(xué)內(nèi)容、地位及學(xué)情分析 在學(xué)生已初步學(xué)習(xí)柱體的體積公式的基礎(chǔ)之上對(duì)柱體體積公式的由來(lái)進(jìn)一步探究，主要內(nèi)容為用祖暅原理推導(dǎo)柱體的體積公式；通過(guò)實(shí)踐體驗(yàn)、模型演示，利用祖暅原理，推廣到柱體的體積計(jì)算。班級(jí)學(xué)生已具備一定的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，能積極動(dòng)手參與活動(dòng)，并具備一定的協(xié)助與合作的能力，在此通過(guò)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)，使學(xué)生感受幾何體體積的求解過(guò)程，初步了解解決空間幾何體問(wèn)題的思想方法,逐步提高解決空間幾何體問(wèn)題的能力。二、教學(xué)編排依據(jù) 主要是從學(xué)生獲取知識(shí)遵循“從特殊到一般，由淺入深，由易到難，循序漸進(jìn)”的原則出發(fā)，符合學(xué)生

2、的認(rèn)知水平和接受能力。三、教學(xué)目標(biāo)的確定1、理解祖暅原理的含義，理解利用祖暅原理計(jì)算幾何體體積的方法；2、在發(fā)現(xiàn)祖暅原理的過(guò)程中，體會(huì)從“平面”到“空間”的類比、猜想、論證的數(shù)學(xué)思想方法；體會(huì)祖暅原理中由“面積都相等”推出“體積相等”的辯證法的思想；3、在推導(dǎo)柱體積公式的過(guò)程中，理解從特殊到一般，從一般到特殊的歸納演繹的數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的基本方法；掌握柱體的體積公式；4、通過(guò)介紹我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)幾何體體積研究的成果，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，拓展愛(ài)國(guó)主義情感教育。四、教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)1、柱體的體積公式的探究2、學(xué)生探究能力的培養(yǎng)五、教學(xué)方法及教學(xué)手段 1、為了培養(yǎng)

3、學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力以及使得不同層次的學(xué)生都能獲得相應(yīng)的滿足，因此本節(jié)課采用探究性教學(xué)；2、為了發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提高學(xué)生的綜合能力，確定了探究性學(xué)習(xí)法：通過(guò)分析、探索得出柱體的體積公式；3、教學(xué)手段：幾何畫板和ppt課件、視頻多媒體。六、教學(xué)思路由祖暅原理推導(dǎo)柱體的體積，其結(jié)構(gòu)圖如下：體積概念長(zhǎng)方體的體積祖暅原理轉(zhuǎn) 化根 據(jù)柱的體積應(yīng)用七、教學(xué)主體過(guò)程設(shè)計(jì)教學(xué)步驟預(yù)計(jì)用時(shí)(分鐘)設(shè)計(jì)意圖教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)教學(xué)評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)引入環(huán)節(jié)二：?jiǎn)栴}引入，提出新課環(huán)節(jié)三：拓展延伸，小組討論環(huán)節(jié)四：實(shí)踐探究512515為了喚起學(xué)生對(duì)舊知識(shí)的記憶，并加深對(duì)學(xué)過(guò)知識(shí)的掌握；為了給本節(jié)課研究問(wèn)題奠定基

4、礎(chǔ) 。構(gòu)建與原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情。進(jìn)一步設(shè)計(jì)符合學(xué)生發(fā)展水平的問(wèn)題新出新課，降低難度。同時(shí)注重知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展，體現(xiàn)學(xué)生是問(wèn)題的主體地位。通過(guò)幾何畫板的現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)的調(diào)整再次體驗(yàn)兩幾何體等體積變化的過(guò)程1、展示學(xué)生課前完成導(dǎo)學(xué)案及學(xué)生提出的問(wèn)題 2、 “小崔組”展示觀看圖片、視頻 想一想它們共同關(guān)注的話題？圖1：一根圓柱形的木料 大約能做成6張桌子。 圖2：大貓為什么被卡住了？圖3：無(wú)人機(jī)航拍圖片 對(duì)圖片處理形成三維圖；得到物體體積。提出問(wèn)題：圖片文字和視頻談?wù)撽P(guān)于什么問(wèn)題？ 預(yù)設(shè)答案體積多媒體展示1、復(fù)習(xí)回顧體積的概念幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積。2、求幾何體的體積的辦法有

5、哪些？預(yù)設(shè)答案公式法、排水法、無(wú)人機(jī)測(cè)體積等方法。3、復(fù)習(xí)回顧：長(zhǎng)方體的體積公式公理1、長(zhǎng)方體的體積等于它的長(zhǎng)、寬、高的積。 v長(zhǎng)方體= abc 推論：長(zhǎng)方體的體積等于它的底面積s和高h(yuǎn)的積。 v長(zhǎng)方體= sh 引入新課：如何快速算出模型塔的體積？預(yù)設(shè)答案通過(guò)計(jì)算一個(gè)骨牌的體積，乘于60后即可得到模型的體積。預(yù)設(shè)理由結(jié)合上一節(jié)課計(jì)算人行道的面積問(wèn)題，（數(shù)據(jù)及如左下圖所示）結(jié)合右上圖，由于點(diǎn)構(gòu)成線，線構(gòu)成面。 用平行于 底邊的任意直線去截圖形，截得的兩條線段始終相等，那么這些相等線段組成的面積也相等。類比到幾何體，面構(gòu)成體。等底等高的兩幾何體在同一高處用平行于底面的任意平面去截兩幾何體，截得的兩

6、截面面積始終相等 那么這兩幾何體的體積相等。思考問(wèn)題：1、改變了模型的形狀，它的體積有沒(méi)有改變? 2、同時(shí)還有哪些量不變？ 3、是不是等底等高兩個(gè)幾何體的體積就相等？預(yù)設(shè)答案1、沒(méi)有改變；2、紙張數(shù)、底面積、高也不變；3、例如等底等高的棱柱和棱錐體積不等。概括總結(jié)：什么樣的兩個(gè)幾何體的體積相等？預(yù)設(shè)答案 等高、等底，同一高度處用任意平行底的面去截，截面面積總是相等。 引出祖暅原理內(nèi)容：“冪勢(shì)既同 ，則積不容異”預(yù)設(shè)答案“冪”原是動(dòng)詞，表示覆蓋的意思，放在句首，這里作名詞使用，表示為覆蓋區(qū)域的面積，“勢(shì)”是高的意思；“積”是指“體積”；“不容異”是指“不得不相等”，雙重否定加強(qiáng)語(yǔ)氣，便是肯定的意

7、思“相等”。 祖暅原理的提出要比其他國(guó)家的數(shù)學(xué)家早一千多年。在歐洲直到17世紀(jì)，才有意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里提出上述結(jié)論。問(wèn)題2：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，它們的形狀可不可以不同？預(yù)設(shè)答案可以。pq問(wèn)題3：利用祖暅原理求幾何體的體積時(shí)，需要滿足哪些條件? 預(yù)設(shè)答案1）需要構(gòu)造與之等底等高的常見(jiàn)幾何體；2）用一個(gè)平行于底面的平面去截這兩個(gè)幾何體，截面面積總是相等；3）常見(jiàn)幾何體的體積公式。柱體體積公式：設(shè)有底面積都等于s，高都等于h 的任意一個(gè)棱柱、一個(gè)圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，使得它的下底面在同一平面。根據(jù)祖暅原理，它們的體積相等。由于長(zhǎng)方體的體積等于它的底面積乘于高，于是得的柱體的體積公式為：v柱

8、體= sh 思考： 底面半徑為r，高為h圓柱體積公式的表示？v圓柱= r2h 小結(jié)：柱體體積=橫截面面積×高三：拓展延伸，小組討論問(wèn)題1：上圖幾何體是不是柱體？問(wèn)題2：使用公式計(jì)算時(shí)它的底和高在哪里？預(yù)設(shè)答案五棱柱；公式中底和高如下圖：探究案例一：關(guān)于傍晚學(xué)校洗澡時(shí)間是否足夠的問(wèn)題？數(shù)據(jù)處理：據(jù)資料顯示，男生洗一次澡約需要20升水，連接管長(zhǎng)度約為150cm，直徑約為0.5cm，從開閘到噴水的時(shí)間約為1s。問(wèn)題：1）由圓柱體積公式v=sh=r²h得連接管體積約為？2） 每秒的流速？ 3）每分鐘的流速？4）每個(gè)男生用20升水要花掉的時(shí)間約為？ 5）每一個(gè)男生穿好衣服，整理裝容約

9、2min,則一個(gè)男生洗完澡需要多長(zhǎng)時(shí)間？預(yù)設(shè)答案0.03升；0.03升/s；1.8升/min；11min;13min。因有兩個(gè)花灑，10個(gè)人分為兩組，則每5個(gè)男生洗澡所需時(shí)間一共約為65min，而下午放學(xué)時(shí)間約為1.5小時(shí)能滿足男生洗澡需求。探究案例二：學(xué)校飲水機(jī)是否滿足學(xué)生課間的打水？數(shù)據(jù)采集：出水口管的半徑為1cm，流度為17.5cm/s問(wèn)題：計(jì)算出熱飲水機(jī)工作1s時(shí)對(duì)應(yīng)的水柱體的體積？預(yù)設(shè)答案v圓柱= r2h=3.14×12×17.5=54.95(cm3 )55(ml)計(jì)算出熱飲水機(jī)流1s對(duì)應(yīng)水柱體的體積約為55ml。進(jìn)一步問(wèn)題：已知學(xué)校每樓層冷水龍頭有14個(gè) ，溫水

10、水龍頭有3個(gè)，熱水水龍頭有3個(gè)。熱水需要的總流速為165ml/s=9900ml/min同理可計(jì)算：（四成學(xué)生選擇冷水）冷水總用水速度為1190ml/s=71400ml/min(四成的學(xué)生選擇溫水）溫水總流速為135ml/s=8100ml/min根據(jù)測(cè)量學(xué)生用水速度（高峰期）學(xué)生人流流速：50人/min持續(xù)時(shí)間：5min每人約需要用水：500ml 1min中內(nèi) 5min中內(nèi)20人需要冷水量 10000ml 50000ml20人需要溫水量 10000ml 50000ml10人需要熱水量 5000ml 25000ml結(jié)論：1、正常情況：所有同學(xué)都不需要排隊(duì)，不存在擁堵。2、高峰期：冷水機(jī)和熱水機(jī)不會(huì)

11、發(fā)生擁堵，溫水機(jī)會(huì)持續(xù)1-2min的擁堵情況。為了避免在高峰期發(fā)生擁堵，學(xué)校應(yīng)該取消2-3個(gè)冷水機(jī)的位置，改裝溫水機(jī)。微課平臺(tái)展示學(xué)生問(wèn)題觀察學(xué)生并記錄學(xué)生探究過(guò)程的問(wèn)題及解決問(wèn)題的方案提出新的問(wèn)題，展示ppt現(xiàn)場(chǎng)擺書引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)深入分析，并完善分析過(guò)程展示幾何畫板動(dòng)畫引導(dǎo)學(xué)生朗讀祖暅原理展示幾何畫板引導(dǎo)學(xué)生探究寫出柱體的體積利用ppt展示圖片，并提出問(wèn)題觀察學(xué)生，并記錄及解答問(wèn)題微課平臺(tái)提交問(wèn)題展示視頻、ppt，學(xué)生回答問(wèn)題展示視頻，觀看圖片，分小組實(shí)踐操作提出計(jì)算物體體積的方案投影儀展示解決問(wèn)題的方案，小組合作探究問(wèn)題朗讀祖暅原理內(nèi)容展示ppt參與解讀，學(xué)習(xí)古代數(shù)學(xué)家對(duì)幾何體體積研

12、究的成果的數(shù)學(xué)歷史小組交流回答問(wèn)題自主探究寫出柱體的體積公式展示視頻、ppt，使用投影儀展示探究結(jié)果展示視頻實(shí)踐操作探究回答問(wèn)題展示視頻、圖片微信平臺(tái)展示答案，討論結(jié)論網(wǎng)路評(píng)價(jià)學(xué)生是否完成課前預(yù)習(xí)內(nèi)容及了解學(xué)生的學(xué)習(xí)困難觀察學(xué)生時(shí)候認(rèn)真思考并很快進(jìn)入主題學(xué)習(xí)觀察學(xué)生能否理解體積相等的條件，考察學(xué)生的歸納總結(jié)問(wèn)題的能力通過(guò)課本的內(nèi)容的再次解讀，考查學(xué)生查閱資料及小組合整理知識(shí)的能力考查學(xué)生的歸納整理能力考查學(xué)生對(duì)已掌握的知識(shí)和方法的遷移能力考查學(xué)生能否將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的建模能力，是否具有量化計(jì)算，數(shù)形結(jié)合的答題能力環(huán)節(jié)五：總結(jié)5通過(guò)片斷小結(jié)，進(jìn)一步完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)探究過(guò)程的體驗(yàn)分享

13、加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想、方法的理解。體積概念祖暅原理長(zhǎng)方體的體積判斷兩個(gè)幾何體積相等根 據(jù)轉(zhuǎn) 化柱的體積柱體體積=底面積×高=橫截面面積×高 v柱體= sh（弄清楚幾何體的底面與高）v圓柱= r2h引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合研究過(guò)程進(jìn)行小結(jié)進(jìn)行小結(jié)體會(huì)、分享、感悟考查學(xué)生的歸納整理能力六：（網(wǎng)絡(luò)完成）布置作業(yè)1利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)網(wǎng)絡(luò)作業(yè)詳見(jiàn)微課平臺(tái)微課平臺(tái)發(fā)布作業(yè)學(xué)生通過(guò)網(wǎng)絡(luò)自主落實(shí)作業(yè)了解學(xué)生對(duì)已掌握知識(shí)的情況，為教學(xué)做出進(jìn)一步引導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)反思：“為學(xué)而教，自主高效，促可持續(xù)發(fā)展”是本課的設(shè)計(jì)理念，從學(xué)生獲取知識(shí)遵循“從特殊到一般，由淺入深，由易到難，循序漸進(jìn)”的原則出發(fā)，本片段設(shè)計(jì)符合

14、學(xué)生的認(rèn)知水平和接受能力的問(wèn)題，認(rèn)真研究教材及相關(guān)數(shù)學(xué)史，并巧設(shè)“問(wèn)題”，學(xué)生的問(wèn)題才是真正的問(wèn)題，引學(xué)學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，這是我這節(jié)課的最大的體會(huì)。下面本人對(duì)教學(xué)過(guò)程、設(shè)計(jì)的形式等方面對(duì)本人片段教學(xué)進(jìn)行總結(jié)反思：縱觀本教案的設(shè)計(jì)：（1）發(fā)揮學(xué)生的積極能動(dòng)性，善于挖掘課本的素材。本問(wèn)題是學(xué)生掌握了幾何體體積概念、長(zhǎng)方體體積公式、求解幾何體體積的一般辦法的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)二維問(wèn)題到三維問(wèn)題的探究，為了幫助學(xué)生在三維問(wèn)題的探究，作者使用幾何畫板，主要圍繞兩等高等底的幾何體，在等高處的橫截面相等，完成對(duì)兩個(gè)幾何體體積相等的探究。（2）突出以學(xué)生為本，教師為主導(dǎo)的主線。本課不僅檢測(cè)學(xué)生對(duì)舊知識(shí)的學(xué)習(xí)的掌握，更是體現(xiàn)學(xué)生對(duì)舊知識(shí)的駕馭能力。本片段研究以在模型操作體驗(yàn)、利用幾何畫板展示輔助學(xué)生理解祖暅原理的正確性；師生解讀