高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例題講解

1、如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!第1章 函數(shù)的極限與連續(xù)例1求解：當(dāng)時，當(dāng)時，由極限定義可知，不存在（如圖）例2求（是非零常數(shù)）解：令，顯然當(dāng)時，于是 例3求解：令，當(dāng)時，有，原式例4求解：例5求解：令，則，時，于是第2章 一元函數(shù)微分及其應(yīng)用例1討論函數(shù)在處的可導(dǎo)性與連續(xù)性解：為初等函數(shù)，在其定義域上連續(xù)，所以在處連續(xù)又1 / 12如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!不存在所以函數(shù)在處連續(xù)，但不可導(dǎo)事實上，曲線在點的切線斜率趨于無窮大，在原點處具有垂直于軸的切線（如圖）例2求的各階導(dǎo)數(shù)解：，.，所以：例3求的導(dǎo)數(shù)解：此函數(shù)直接求導(dǎo)比較復(fù)雜，先取對數(shù)再求導(dǎo)可簡化運算此函數(shù)的定義

2、域為當(dāng)時，函數(shù)式兩邊取對數(shù)得： 因此上式兩邊對x求導(dǎo)，得 整理后得，當(dāng)時可得同樣結(jié)論例4解：這是“”型，通分即可化為“”型例5求內(nèi)接于半徑為的球內(nèi)的圓柱體的最大體積解：設(shè)圓柱的底半徑為，高為則體積，而2 / 12如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!故（），問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值由得駐點（負值不合題意舍去）根據(jù)實際問題，圓柱體的體積不能超過球的體積，因而是有最大值的，而最大值顯然不能在端點，處取得，故只在唯一駐點處取得即當(dāng)，時圓柱體的體積最大，最大體積第3章 一元函數(shù)的積分學(xué)例1（）解：當(dāng)時，設(shè)()，代入有：原式為將變量還原為，借助如圖的直角三角形（或利用三角恒等式）有，從而：當(dāng)時，令，

3、則，由上，我們有：綜合以上結(jié)論得， 例2求解：3 / 12如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!例3討論積分的收斂性解：當(dāng)時，發(fā)散；當(dāng)時，；當(dāng)時，有，所以，廣義積分收斂；當(dāng)時，有，從而是發(fā)散的例4求曲線和圍成的圖形的面積圖3-14解：由得交點，選為積分變量，把面積分成兩部分另解：選為積分變量，積分區(qū)間，顯然選為積分變量計算較簡單例5計算曲線，從到的弧長解：第4章 常微分方程例1求齊次方程的通解解：原方程變形為，設(shè)，則，代入方程有：4 / 12如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!，分離變量積分有：，即：（這里），所以，原方程的通解為例2求解微分方程解：對應(yīng)齊次方程為：，分離變量后積分，

4、可得其通解為：；設(shè)，代入方程有：解得：，所以原方程的通解為：例3求微分方程的通解解法一：原方程化為：，對應(yīng)齊次方程為：0，分離變量積分得對應(yīng)齊次方程的通解為：；設(shè)，代入方程有：解得：，所以原方程的通解為：解法二：直接利用一階線性非齊次微分方程的通解公式求解，有：5 / 12如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!例4求的通解解：連續(xù)積分三次得：，一般將通解寫成：例5求微分方程的通解解：這是一個不顯含的二階微分方程，令，則，代入原方程得：，這是一個可分離變量方程，分離變量：，積分得：（這里），所以原方程的通解為：，一般寫成：故原方程的通解為：第5章 空間解析幾何例1設(shè)點，的方向角，求：（1）的

5、值；（2）點的坐標解：（1）由有，所以或；（2）設(shè)，有，（或），則點的坐標為或例2證明三角形的三條高線交于一點.證明：如圖，設(shè)在邊，上的高交于點，且令，有，再由，有，兩式相加有，從而有，所以，的三條高線交于一點. 例3平面過三個定點，（，6 / 12如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!，均不為零），求該平面的方程解：如圖，設(shè)所求平面方程為：，由所求平面過三點，有：，代入所設(shè)平面方程得：例4已知點和直線：，求過點并且與直線垂直相交的直線方程解法一：過點且與直線：垂直的平面方程為：，即，再設(shè)直線與此平面的交點為，則將直線代入上面的平面方程得：解得，從而有交點，所以取所求直線的方向向量，則所求

6、直線方程為解法二：設(shè)垂足為，其在直線l上對應(yīng)的參數(shù)為，則：，由，解得，從而有垂足，所以 取垂線的方向向量，則所求垂直相交的直線方程為從此例我們也順便得到了點p到直線l的距離為：例5設(shè)圓柱面上有一質(zhì)點，它一方面繞軸以等角速度旋轉(zhuǎn)，另一方面同時以等速度平行于軸的正方向移動，開始時（），質(zhì)點在處，求質(zhì)點運動的方程7 / 12如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!解：如圖，設(shè)時間時，質(zhì)點在點，是在平面上的投影，則， 所以質(zhì)點運動的方程為此方程稱為螺旋線的參數(shù)方程第6章 多元函數(shù)微分學(xué)例1求解：當(dāng)沿直線趨于時有：但仍不能說函數(shù)在存在極限實際上，當(dāng)沿曲線趨于時有：所以不存在例2求函數(shù)在點處沿其梯度方向

7、的方向?qū)?shù)解：，其方向余弦，所以，函數(shù)在點沿其梯度方向的方向?qū)?shù)為例3設(shè)，求其二階偏導(dǎo)數(shù)解：，8 / 12如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!， 例4設(shè)，求，解：由公式（1）得：例5要修建一容積為的長方體水池，問其長、寬、高怎樣選取才能使用料最省？解：設(shè)水池的長、寬、高分別為，表面積為，則有從而： （）根據(jù)實際情況，水池表面積的最小值一定存在，并在函數(shù)定義域內(nèi)取得，現(xiàn)在函數(shù)在內(nèi)只有唯一駐點，故可判斷當(dāng)長和寬等于時，水池的表面積最小第7章 多元函數(shù)積分學(xué)例1計算，其中是由直線，及所圍成的閉區(qū)域解法一：如圖，積分區(qū)域可看成型區(qū)域，則解法二：積分區(qū)域亦可看成型區(qū)域，則例2計算，其中9 / 12

8、如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!解：在極坐標系下，積分區(qū)域可表示為所以例3求拋物面在平面下面那部分的面積解：如圖，在面上的投影區(qū)域為，因為，所以例4設(shè)曲線為橢圓在第一象限的那段弧，求解：的方程為（），例5計算，其中為曲面被割下的有限部分解：在面上的投影區(qū)域，所以第8章 級數(shù)10 / 12如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!例1判斷級數(shù)（，）的收斂性解：由于，所以原級數(shù)與具有相同的斂散性，而，可知當(dāng)時，收斂；當(dāng)時，發(fā)散例2討論級數(shù)（）的斂散性解：，利用比值判別法則 當(dāng)時，絕對收斂當(dāng)時，發(fā)散當(dāng)時，是一個級數(shù)當(dāng)時，絕對收斂當(dāng)時，是發(fā)散的，但利用萊布尼茲定理可判斷收斂所以為絕對收斂級數(shù) 發(fā)散級數(shù) 絕對收斂級數(shù) ，條件收斂級數(shù) ，所以條件收斂例3求級數(shù)的收斂半徑和收斂域解： ；11 / 12如果您需要使用本文檔，請點擊下載按鈕下載!當(dāng)時，收斂；當(dāng)時，