大地測量學基礎-8

1、幻燈片1第八章 橢球面元素歸算到高斯平面 高斯投影控制測量學§8-1 高斯投影概述 1、投影與變形 地圖投影：就是將橢球面各元素（包括坐標、方向和長度）按一定的數(shù)學法則投影到平面上。研究這個問題的專門學科叫地圖投影學?？捎孟旅鎯蓚€方程式（坐標投影公式）表示： 式中L、B是橢球面上某點的大地坐標，而x、y是該點投影后的平面直角坐標。 幻燈片2 投影變形：橢球面是一個凸起的、不可展平的曲面。將這個曲面上的元素（距離、角度、圖形）投影到平面上，就會和原來的距離、角度、圖形呈現(xiàn)差異，這一差異稱為投影變形。 投影變形的形式：角度變形、長度變形和面積變形。 地圖投影的方式： （1）等角投影投影前

2、后的角度相等，但長度和面積有變形； （2）等距投影投影前后的長度相等，但角度和面積有變形； （3）等積投影投影前后的面積相等，但角度和長度有變形?？刂茰y量學幻燈片3 2、控制測量對地圖投影的要求 （1）應當采用等角投影（又稱為正形投影）采用正形投影時，在三角測量中大量的角度觀測元素在投影前后保持不變；在測制的地圖時，采用等角投影可以保證在有限的范圍內使得地圖上圖形同橢球上原形保持相似。 （2）在采用的正形投影中，要求長度和面積變形不大，并能夠應用簡單公式計算由于這些變形而帶來的改正數(shù)。 （3）能按分帶投影 3、高斯投影的基本概念 （1）基本概念：控制測量學幻燈片4 如圖1所示，假想有一個橢圓柱

3、面橫套在地球橢球體外面，并與某一條子午線（此子午線稱為中央子午線或軸子午線）相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后用一定投影方法，將中央子午線兩側各一定經(jīng)差范圍內的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將此柱面展開即成為投影面，如圖2所示，此投影稱為高斯投影。高斯投影是正形投影的一種。控制測量學圖1圖2幻燈片5（2）分帶投影 高斯投影6º帶：自0º子午線起每隔經(jīng)差6º自西向東分帶，依次編號1,2,3,。我國6º帶中央子午線的經(jīng)度，由75º起每隔6º而至135º，共計11帶（1323帶），帶號用表示n，中央子午線的經(jīng)度用L0 示，它們的關

4、系是L0=6n-3， 如圖所示。 高斯投影3º帶：它的中央子午線一部分同6º帶中央子午線重合，一部分同6º帶的分界子午線重合，如用n´表示3º帶的帶號，L表示3º帶中央子午線經(jīng)度，它們的關系 圖8-4所示。我國3º帶共計22帶（2445帶）?？刂茰y量學幻燈片6控制測量學（3）高斯平面直角坐標系 在投影面上，中央子午線和赤道的投影都是直線，并且以中央子午線和赤道的交點O作為坐標原點，以中央子午線的投影為縱坐標x軸，以赤道的投影為橫坐標y軸?；脽羝?控制測量學 在我國X坐標都是正的，Y坐標的最大值（在赤道上）約為330km。為了

5、避免出現(xiàn)負的橫坐標，可在橫坐標上加上500Km。此外還應在坐標前面再冠以帶號。這種坐標稱為國家統(tǒng)一坐標。例如，有一點Y =19 123 456.789m，該點位在19º帶內，其相對于中央子午線而言的橫坐標則是：首先去掉帶號，再減去500000m，最后得 =-376 543.211m?；脽羝?（4）高斯平面投影的特點 中央子午線無變形； 無角度變形，圖形保持相似； 離中央子午線越遠，變形越大。4 橢球面三角系化算到高斯投影面 將橢球面三角系歸算到高斯投影面的主要內容是： （1）將起始點P的大地坐標（L，B）歸算為高斯平面直角坐標x，y；為了檢核還應進行反算，亦即根據(jù)x、y反算L、B 。

6、 （2）通過計算該點的子午線收斂角及方向改正 ，將橢球面上起算邊大地方位角APK歸算到高斯平面上相應邊P'K'的坐標方位角 P'K' 。 控制測量學幻燈片9控制測量學 （3）通過計算各方向的曲率改正和方向改正，將橢球面上各三角形內角歸算到高斯平面上的由相應直線組成的三角形內角。 （4）通過計算距離改正S，將橢球面上起算邊PK的長度S歸算到高斯平面上的直線長度 。 （5）當控制網(wǎng)跨越兩個相鄰投影帶，需要進行平面坐標的鄰帶換算?；脽羝?0§8-2 正形投影的一般條件 高斯投影首先必須滿足正形投影的一般條件。圖1為橢球面，圖2為它在平面上的投影。在橢球面上有

7、無限接近的兩點P1和P2，投影后為P'1和 P'2 ，其坐標均已注在圖上，dS為大地線的微分弧長，其方位角為A。在投影面上，建立如圖2所示的坐標系，dS 的投影弧長為ds ?？刂茰y量學幻燈片11 橢球面到平面的正形投影一般公式稱柯西-黎曼條件：控制測量學平面正形投影到橢球面上的一般條件：幻燈片12§8-3 高斯投影坐標正反算公式1、高斯投影坐標正算公式 （1）高斯投影正算：已知橢球面上某點的大地坐標 L、B，求該點在高斯投影平面上的直角坐標 x、y，即 的坐標變換。 （2）投影變換必須滿足的條件 中央子午線投影后為直線；中央子午線投影后長度不變；投影具有正形性質，即正

8、形投影條件。 （3）投影過程 在橢球面上有對稱于中央子午線的兩點P1和P2 ,它們的大地坐標分別為（L，B）及（l，B），式中 l為橢球面上P點的經(jīng)度與中央子午線 L0的經(jīng)度差：l=L-L0 , P點在中央子午線之東, 控制測量學幻燈片13l為正，在西則為負，則投影后的平面坐標一定為 和 。 （4）計算公式控制測量學當要求轉換精度精確至0.00lm時，用下式計算：幻燈片142、高斯投影坐標反算公式 （1）高斯投影反算： 已知某點的高斯投影平面上直角坐標 x、y ，求該點在橢球面上的大地坐標 L、B ，即 的坐標變換。 （2）投影變換必須滿足的條件 x坐標軸投影成中央子午線，是投影的對稱軸；x軸

9、上的長度投影保持不變；投影具有正形性質，即正形投影條件。 （3）投影過程 根據(jù)x計算縱坐標在橢球面上的投影的底點緯度Bf ，接著按 Bf計算（ Bf -B）及經(jīng)差l ，最后得到 、 。 （4）計算公式控制測量學幻燈片15控制測量學當要求轉換精度至 時，可簡化為下式：幻燈片163、高斯投影正反算公式的幾何解釋 正算公式實際上是在中央子午線上P'點展開l的冪級數(shù)，而反算公式實際上則是在中央子午線上P點展開y的冪級數(shù)。 高斯投影坐標正、反算公式是在高斯投影必須遵循的三個條件下導出的，因此這些公式也必然完備地表現(xiàn)出高斯投影的特點。比如對正算公式(873)式的分析，可知具有如下特點(參見圖8-1

10、6)： (1)當l等于常數(shù)時，隨著B的增加x值增大，y值減??；又因cos(-B)=cosB，所以無論B值為正或負，y值不變。這就是說，橢球面上除中央子午線外，其他子午線投影后，均向中央子午線彎曲，并向兩極收斂，同時還對稱于中央子午線和赤道?？刂茰y量學幻燈片17 （2）當B等于常數(shù)時，隨著l的增加，z值和y值都增大。所以在橢球面上對稱于赤道的緯圈，投影后仍成為對稱的曲線，同時與子午線的投影曲線互相垂直凹向兩極。 (3)距中央子午線愈遠的子午線，投影后彎曲愈厲害，長度變形也愈大?？刂茰y量學幻燈片18§8-4 平面子午線收斂角公式控制測量學一、子午線收斂角的概念 如圖所示，p 、pN 及p

11、Q 分別為橢球面p點、過p點的子午線pN及平行圈pQ在高斯平面上的描寫。由圖可知，所謂點p子午線收斂角就是pN在p上的切線pn與pt坐標北之間的夾角，用表示。 在橢球面上，因為子午線同平行圈正交，又由于投影具有正形性質，因此它們的描寫線pN及 pQ也必正交，由圖可見，平面子午線收斂角也就是等于pQ在p點上的切線pq同平面坐標系橫軸 的傾角?；脽羝?9二、由大地坐標(L,B) 計算平面子午線收斂角公式控制測量學三、由平面坐標 計算平面子午線收斂角 的公式 上式計算精度可達1"。如果要達到0.001"計算精度，可用下式計算：四、實用公式 1、克氏橢球 已知大地坐標（L，B）計算

12、子午線收斂角幻燈片20控制測量學 已知平面坐標（x，y）計算子午線收斂角2、1975年國際橢球元素計算公式幻燈片21§8-4 橢球面上觀測成果歸化到高斯平面上計算一、概述 由于高斯投影是正形投影，橢球面上大地線間的夾角與它們在高斯平面上的投影曲線之間的夾角相等。為了在平面上利用平面三角學公式進行計算，須把大地線的投影曲線用其弦線來代替?？刂凭W(wǎng)歸算到高斯平面上的內容包括：控制測量學幻燈片22 （1）起算點大地坐標的歸算將起算點大地坐標 歸算為高斯平面直角坐標 。 （2）起算方向角的歸算。 （3）距離改化計算橢球面上已知的大地線邊長（或觀測的大地線邊長）歸算至平面上相應的弦線長度。 （4

13、）方向改計算橢球面上各大地線的方向值歸算為平面上相應的弦線方向值。二、方向改化 1、概念 如圖所示，若將橢球面上的大地線AB方向改化為平面上的弦線ab方向，其相差一個角值 ,即稱為方向改化值。控制測量學幻燈片23控制測量學 2、方向改化的過程 若將大地線AB方向改化為弦線ab方向。過A,B 點，在球面上各作一大圓弧與軸子午線正交，其交點分別為D、E，它們在投影面上的投影分別為 ad和be 。由于是把地球近似看成球，故ad和be都是垂直于x軸的直線。在a,b點上的方向改化分別為 和 。當大地線長度不大于10km， 坐標不大于l00km時，二者之差不大于0.05"，因而可近似認為 = 。

14、幻燈片24 3、計算公式 球面角超公式為：控制測量學 適用于三、四等三角測量的方向改正的計算公式： 式中 ，為a、b兩點的y坐標的自然的平均值?；脽羝?5三、距離改化 1、概念如圖所示，設橢球體上有兩點P1、P2及其大地線S，在高斯投影面上的投影為P1 、 P2及S。 S是一條曲線，而連接P1 P2兩點的直線為D，如前所述由S化至D所加的改正，即為距離改正S 。 2、長度比和長度變形 長度比m : 指橢球面上某點的一微分元素 dS，其投影面上的相應微分元素ds，則 稱為該點的長度比。 長度變形:由于長度比m恒大于1，故稱m-1為長度變形。 3、長度比 的計算公式控制測量學幻燈片26式中：Rm表

15、示按大地線始末兩端點的平均緯度計算的橢球的平均曲率半徑。 為投影線兩端點的平均橫坐標值?？刂茰y量學 4、長度比和長度變形的特點 1）長度比m隨點的位置而異，但在同一點上與方向無關； 2）當y=0(或l=0)時，m=1，即中央子午線投影后長度不變； 3）當y0(或l0)時，即離開中央子午線時，長度設形（m-1）恒為正，離開中央子午線的邊長經(jīng)投影后變長。 4）長度變形（m-1）與 y2（或 l2）成比例地增大，對于在橢球面上等長的子午線來說，離開中央子午線愈遠的那條，其長度變形愈大。幻燈片27 5、距離改化計算公式控制測量學或幻燈片28§8-5高斯投影的鄰帶坐標換算以下情況需要進行鄰帶換

16、算： 1、如圖1所示，該控制網(wǎng)跨越兩個投影帶。 2、在分界子午線附近地區(qū)測圖時，往往需要用到另一帶的三角點作為控制，因此必須將這些點的坐標換算到同一帶中。 3、當大比例尺測圖時，要求采用3°帶、1.5 °帶或任意帶，而國家控制點通常只有6 °帶坐標，這時就產(chǎn)生了6 °帶同3 °帶只見的相互換算問題?？刂茰y量學幻燈片29一、應用高斯投影正反算公式間接換帶1、換帶的基本原理或思路 1）把某投影帶（比如帶）內有關點的平面坐標（x，y），利用高斯投影反算公式，換算成橢球面上的大地坐標（B，L），進而得到 。 2）由大地坐標（B，L），利用投影正算公式換

17、算成相鄰帶的（如第帶）的平面坐標（x，y），但在計算時，要根據(jù)第帶的中央子午線計算經(jīng)差l，即2、算例 某點中央子午線經(jīng)度L0= 123°，該點坐標x1=5728374.726，y1=210198.193，要求將該點坐標換算到鄰帶，中央子午線經(jīng)度129 °。計算過程見表。（B1,L1）可以利用前面所學知識計算得到。B1=51°3843。9024，L1= 126°0213.1362控制測量學幻燈片30控制測量學幻燈片31二、應用換帶表直接進行換帶計算 1、基本原理 問題的提出控制測量學 1）“對稱點”的選擇和作用：如圖，在橢球面上選取P2，使P2與P1對稱于

18、分帶子午線幻燈片32§8-5 工程測量投影面與投影帶選擇1、概述 對于工程測量，其中包括城市測量，既有測繪大比例尺圖的任務，又有滿足各種工程建設和市政建設施工放樣工作的要求。如何根據(jù)這些目的和要求合適地選擇投影面和投影帶，經(jīng)濟合理地確立工程平面控制網(wǎng)的坐標系，在工程測量是一個重要的課題?？刂茰y量學幻燈片332、工程測量中選擇投影面和投影帶的原因 （1）有關投影變形的基本概念 平面控制測量投影面和投影帶的選擇，主要是解決長度變形問題。這種投影變形主要是由于以下兩種因素引起的： 實測邊長歸算到參考橢球面上的變形影響，其值為 ：控制測量學式中：Hm 為歸算邊高出參考橢球面的平均高程， s為

19、歸算邊的長度，R為歸算邊方向參考橢球法截弧的曲率半徑。歸算邊長的相對變形：幻燈片34 值是負值，表明將地面實量長度歸算到參考橢球面上，總是縮短的； 值與 Hm 成正比，隨 Hm 增大而增大。 將參考橢球面上的邊長歸算到高斯投影面上的變形影響，其值為 ：控制測量學式中： ，即為投影歸算邊長, 為歸算邊兩端點橫坐標平均值， 為參考橢球面平均曲率半徑。投影邊長的相對投影變形為幻燈片35 值總是正值，表明將橢球面上長度投影到高斯面上，總是增大的； 值隨著 平方成正比而增大，離中央子午線愈遠，其變形愈大?？刂茰y量學 （2）工程測量平面控制網(wǎng)的精度要求 工程測量控制網(wǎng)不但應作為測繪大比例尺圖的控制基礎，還

20、應作為城市建設和各種工程建設施工放樣測設數(shù)據(jù)的依據(jù)。為了便于施工放樣工作的順利進行，要求由控制點坐標直接反算的邊長與實地量得的邊長，在長度上應該相等，這就是說由上述兩項歸算投影改正而帶來的長度變形或者改正數(shù)，不得大于施工放樣的精度要求。一般來說，施工放樣的方格網(wǎng)和建筑軸線的測量精度為1/5 0001/20 000。因此，由投影歸算引起的控制網(wǎng)長度變形應小于施工放樣允許誤差的1/2，幻燈片36即相對誤差為1/10 0001/40 000，也就是說，每公里的長度改正數(shù)不應該大于102.5cm。3、投影變形的處理方法 （1）通過改變 從而選擇合適的高程參考面，將抵償分帶投影變形，這種方法通常稱為抵償

21、投影面的高斯正形投影； （2）通過改變 ，從而對中央子午線作適當移動，來抵償由高程面的邊長歸算到參考橢球面上的投影變形，這就是通常所說的任意帶高斯正形投影； （3）通過既改變 （選擇高程參考面），又改變 （移動中央子午線），來共同抵償兩項歸算改正變形，這就是所謂的具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影。控制測量學幻燈片374、工程測量中幾種可能采用的直角坐標系 （1）國家3º帶高斯正形投影平面直角坐標系 當測區(qū)平均高程在l00m以下，且 值不大于40km時，其投影變形值 及 均小于2.5cm，可以滿足大比例尺測圖和工程放樣的精度要求。在偏離中央子午線不遠和地面平均高程不大的地區(qū)，不需考慮

22、投影變形問題，直接采用國家統(tǒng)一的3º 帶高斯正形投影平面直角坐標系作為工程測量的坐標系。 （2）抵償投影面的3º帶高斯正形投影平面直角坐標系 在這種坐標系中，依然采用國家3º帶高斯投影，但投影的高程面不是參考橢球面而是依據(jù)補償高斯投影長度變形而選擇的高程參考面。在這個高程參考面上，長度變形為零?？刂茰y量學幻燈片38控制測量學于是，當 一定時，可求得：則投影面高為：算例：某測區(qū)海拔 =2 000（m），最邊緣中央子午線100（km），當s =1000（m）時，則有幻燈片39而 ，超過允許值（102.5cm）。這時為不改變中央子午線位置，而選擇一個合適的高程參考面，經(jīng)計算得高差： 將地面實測距離歸算到： 控制測量學 （3）任意帶高斯正形投影平面直角坐標系 在這種坐標系中，仍把地面觀測結果歸算到參考橢球面上，但投影帶的中央子午線不按國家 帶的劃分方法，而是依據(jù)補償高程面歸算長度變形而選擇的某一條子午線作為中央子午線。這就是說，在（8-272）式中， 保持不變，于是求得算例：某測區(qū)相對參考橢球面的高程 =500m，為抵償?shù)孛嬗^測值向參考橢球面上歸算的改正值，依上式算得幻燈片40控制測量學 即選擇與該測區(qū)相距80km處的子午線。此時在 =80km處，兩項改正項得到完全