多元函數求導經典實用

1、多元函數求導1第三節(jié)第三節(jié) 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則一元復合函數一元復合函數)(),(xuufy求導法則求導法則xdududydxdyd推廣推廣（1）多元復合函數求導的鏈式法則）多元復合函數求導的鏈式法則（2）多元復合函數的全微分）多元復合函數的全微分dxxufduufdy)()()(多元函數求導2一一. 復合函數求導的鏈式法則復合函數求導的鏈式法則定理定理 如果函數如果函數 都在點都在點 可導可導,函數函數)(, )(tvtut),(vufz 在點在點 處可微處可微, ),(vu)(),(ttfz在點在點ttdvdvztduduztdzdvuz則復合函數則復合函數tt證證

2、: 設設 t 取增量取增量, tvu ,vvzuuzz)()(22vutvvztuuztzto)()(o則相應中間變量有增量則相應中間變量有增量可導可導, 且有鏈式法則且有鏈式法則多元函數求導3令令 , ,則有則有0 t,0,0vuto)(tdvdvztduduztdzd( 全導數公式全導數公式 )tvvztuuztzto)(0t（vuztt)()(22vu )(o )()(22tvtu0時時, ,根式前加根式前加“”號號) )tdvdtvtdudtu,多元函數求導4推廣推廣:1）中間變量多于兩個的情形。例如）中間變量多于兩個的情形。例如)(, )(, )(,),(twtvtuwvufz則則在

3、它們都可微的條件下在它們都可微的條件下tdzd321fff2）中間變量是多元函數的情形。例如）中間變量是多元函數的情形。例如),(, ),(,),(yxvyxuvufz則則在它們都可微的條件下在它們都可微的條件下xz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttduduztdvdvztdwdwzxuuzxvvzyuuzyvvz多元函數求導5又如又如),(, ),(yxvvxfz當它們都具有可微條件時，則有當它們都具有可微條件時，則有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 這里這里xzxfxz表示表示固定固定 y 對對 x 求導求導xf表示表示固定固定 v 對對 x 求導求

4、導口訣口訣 : 連線相乘連線相乘, 分線相加分線相加。xfxvvfyvvf與與不同不同v多元函數求導6例例1. 設設yxvyxuvezu,sin求 . yzxz,解解：xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx多元函數求導7例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyx求yuxu,解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2

5、xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2多元函數求導8例例 3. 設 ,sintvuz.dtdzztvutttdzdtevtttetcos)sin(costduduztdvdvztz求全導數,teu tvcos解解:tusintcos多元函數求導9 例例 4 4 設設),(xyzzyxfw ，f具有二階具有二階 連續(xù)偏導數，求連續(xù)偏導數，求xw 和和zxw 2. . 解解 令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf ),(vufw

6、wvuzyxzyx多元函數求導10 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 21ff,vuzyxzyx多元函數求導11.,),(522yxzfxyxyfxz 求求具有二階連續(xù)偏導具有二階連續(xù)偏導其中其中設設例例:解解,xyvxyu令令),(vufxz2fvuxyxyxzxf22xxvvfxuufyfxxyfxxfvu 2222)(多元函數求導12vuf yxf y

7、xf22yxz2)()()(vuf yyxf yyfyx22)(vuffuvxyxyyvvfyuufx 2yvvfyuufyfuuuyvvfyuufyxfxvvv22vvuuvuf yxfxyfxf 323多元函數求導13。求求具具有有連連續(xù)續(xù)導導數數，、，且且，設設例例dxdzgfxgyxyfz)()(6 解解zxyxxzdxdzdxdyyzyxyf)()()(xgxxyfgfxf y 多元函數求導14例例7: 已知二階連續(xù)可導二階連續(xù)可導其中其中gfxygyxyxfz,),( xyz2求解解:1fxyz 22fyx gx1xyz2 x12111fyfy 221fy 2yx22211fyf

8、y gx21gxy 3111fyxf 221fy 223fyx gx21gxy 31f 多元函數求導15二二. 復合函數的全微分復合函數的全微分設函數),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分為ydyzxdxzzdxdxvvzxuuz)(ydyvvzyuuz)(uzvzuz這說明,無論 u , v 是自變量還是中間變量, 其全微分表達式一樣, 這性質叫做全微分形式不變性全微分形式不變性 . )(ydyuxdxu)(ydyvxdxv則復合函數) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 多元函數求導16例例8.解解:) (dzdudveusin )cos( )sin(yxyxeyxdxyxyxyeyx)cos()sin()cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvdveucos )cos( )sin(yxyxeyx)( yxd)(yxdydyxyxxeyx )cos()sin()(ydxdxy)(ydxd.,si