矩陣的分解經(jīng)典實(shí)用

1、矩陣的分解矩矩 陣陣 論論 電電 子子 教教 程程department of mathematics矩陣的分解 矩陣的分解矩陣的分解department of mathematics矩陣的分解定理定理2: 設(shè)設(shè) ，那么，那么 可唯一地分解為可唯一地分解為 其中：其中： ， 為正線上三角陣為正線上三角陣aurrnrca arnruu r4.2 矩陣的矩陣的qr分解分解定理定理1： 是次酉陣當(dāng)且僅當(dāng)是次酉陣當(dāng)且僅當(dāng) 的列（行）為標(biāo)的列（行）為標(biāo) 準(zhǔn)正交向量組。準(zhǔn)正交向量組。aa定義定義1: 設(shè)設(shè) ,若若 則稱則稱 為為次酉陣，次酉陣，全體列滿秩（行滿秩）的次全體列滿秩（行滿秩）的次 酉陣的集合記為

2、：酉陣的集合記為： a)(nrrrnrcca )( iaaiaahh )(nrrrnruu )(nrrrnrcca )(nrrrnruu 稱為稱為a的的ur分解分解department of mathematics矩陣的分解a證明：證明：先證明分解的存在性。將矩陣先證明分解的存在性。將矩陣 按列分按列分塊塊 得到得到由于由于 ，所以，所以 是線性無關(guān)的。是線性無關(guān)的。 利用利用schmidt正交化與單位化方法，先得到正交化與單位化方法，先得到一組正交向量組再單位化，這樣得到一組標(biāo)準(zhǔn)正一組正交向量組再單位化，這樣得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組交向量組),(21ra rnrca r ,21r ,21由前面

3、學(xué)的定理有：由前面學(xué)的定理有：rar),(21 其中其中: 為正線上三角陣為正線上三角陣. 設(shè)設(shè) 歐氏歐氏(酉酉)空間空間 的線性無關(guān)組的線性無關(guān)組,則則 中存在標(biāo)準(zhǔn)正交向量組中存在標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 ,使得使得12,m vvm ,21rmm,2121 )(mmmmmmrcr 記記: ,則則于是于是: ,下面證明分解是唯一的下面證明分解是唯一的),(21ru iuuh rnruuura , department of mathematics矩陣的分解 假設(shè)假設(shè): ,: ,那么有那么有:ruura11rruu 注意到注意到 仍是酉矩陣，而仍是酉矩陣，而 是一個(gè)正線是一個(gè)正線上三角矩陣，因此有上三角矩

4、陣，因此有:uu11rr于是于是: ,從而從而iuu1irr1rruu,iuuuuuuuuuuhhh 11111)()()(推論推論1: 設(shè)設(shè) ，那么，那么 可唯一地分解為可唯一地分解為 其中：其中： ， 為正線下三角陣為正線下三角陣nrrca anrruu lua l證明證明:因?yàn)橐驗(yàn)?,則則所以所以,rnrtuuura , nrrtttuuura , ,nrrtca 推論推論2: 設(shè)設(shè) ，那么，那么 可唯一地分解為可唯一地分解為 其中：其中： ， 為正線上三角陣為正線上三角陣aurnnnca annnuu rdepartment of mathematics矩陣的分解例例 1 求下列矩陣的

5、正交三角分解求下列矩陣的正交三角分解 100010001111a解答解答:容易判斷出容易判斷出 即即 是一個(gè)列滿秩矩是一個(gè)列滿秩矩陣。按照定理的證明過程，陣。按照定理的證明過程，4 33aca將將 的三個(gè)列向量正交化與單位化的三個(gè)列向量正交化與單位化先得到一個(gè)正交向量組先得到一個(gè)正交向量組:123adepartment of mathematics矩陣的分解112122121113132231211223121 100(,)1(,)2111022(,)(,)(,)(,)11111123333ttt department of mathematics矩陣的分解再將其單位化，得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組

6、再將其單位化，得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組111222333122002216660663133336662tttdepartment of mathematics矩陣的分解這樣，原來的向量組與標(biāo)準(zhǔn)正交向量之間的關(guān)系這樣，原來的向量組與標(biāo)準(zhǔn)正交向量之間的關(guān)系可表示成可表示成112213321262222 362362department of mathematics矩陣的分解將上面的式子矩陣化，即為將上面的式子矩陣化，即為123123222226602623003aurdepartment of mathematics矩陣的分解解答解答:首先判斷出首先判斷出 ,由定理可知必存在由定理可知必存在 以及三階正線上三角矩陣以及三階正線上三角矩陣 使得使得3 33ac3 3uuraur 212220122a練習(xí)練習(xí): 求下列矩陣的正交三角分解求下列矩陣的正交三角分解 重復(fù)例題的步驟重復(fù)例題的步驟,即得結(jié)果即得結(jié)果department of mathemat