數(shù)理方程課件：2_1有界弦的自由振動

1、1 1預備知識：預備知識：二階常系數(shù)線性齊次常微分方程二階常系數(shù)線性齊次常微分方程0 qypyyqp ,02qprr, 042qp, 042qp, 042qp.21xrxrBeAey.)(rxeBxAy).sincos(xBxAeyx,2, 1irBA ,的的通解公式通解公式。其中。其中為常數(shù)。為常數(shù)。( (* *) )方程方程( (* *) )對應的特征方程為對應的特征方程為1.1.方程方程( (* *) )的通解為的通解為2.2.方程方程( (* *) )的通解為的通解為3.3.方程方程( (* *) )的通解為的通解為為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。以上以上2 2第二章第二章 分離變量法分離變量

2、法),()0 ,(),()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(2xxuxxutlututlxuautxxtt )(x2.1 2.1 有界弦的自由振動有界弦的自由振動考察兩端固定的弦的自由振動問題：考察兩端固定的弦的自由振動問題：)(x(1)(1)(2)(2)(3)(3)其中其中與與均為已知函數(shù)。均為已知函數(shù)。這個定解問題的這個定解問題的特點：特點：方程方程(1)(1)是線性齊次的，是線性齊次的，因此，各個特解的和也是這個方程的解。因此，各個特解的和也是這個方程的解。3 3如果能夠找到方程如果能夠找到方程(1)(1)足夠個數(shù)的特解，則可以足夠個數(shù)的特解，則可以試用它們的線性組合去求所

3、求定解問題的解。試用它們的線性組合去求所求定解問題的解。, t,sin)(),(xtctxu),(txuxt為了求解定解問題為了求解定解問題(1)-(3)(1)-(3)，我們首先對物理，我們首先對物理模型進行考察。模型進行考察。從物理上知道，樂器發(fā)出的聲音從物理上知道，樂器發(fā)出的聲音可以分解成各種不同頻率的單音，每種單音振動可以分解成各種不同頻率的單音，每種單音振動時形成正弦曲線，其振幅依賴于時間時形成正弦曲線，其振幅依賴于時間也就是說也就是說每個單音總可以表示成每個單音總可以表示成這種形式的這種形式的特點特點是：是：是只含變量是只含變量的函數(shù)的函數(shù)與只含變量與只含變量的函數(shù)之乘積，的函數(shù)之乘

4、積，即它具有即它具有變量分離變量分離的形式。的形式。4 4),0,0(2tlxuauxxtt , 0),(, 0), 0(tlutu),()(),(tTxXtxu現(xiàn)在，我們就來現(xiàn)在，我們就來試求試求方程方程(1)(1)的的非平凡解非平凡解（即不恒等于（即不恒等于0 0），），)(xXxt)(tT, 2TXaXT使它滿足使它滿足齊次齊次邊界條件邊界條件而且可以表示成下列乘積而且可以表示成下列乘積(1)(1)(2)(2)(4)(4)此處，此處，只是變量只是變量的函數(shù)，的函數(shù)，只是變量只是變量的函數(shù)。的函數(shù)?，F(xiàn)在把假定具有變量分離形式的解現(xiàn)在把假定具有變量分離形式的解(4)(4)帶入方程帶入方程(1

5、)(1)可得可得5 5XXTaT 2, 0)()( xXxX, 0)()( 2tTatT)(tT),(xX)()(),(tTxXtxu變形得變形得(5)(5)由于等式由于等式(5)(5)的左右兩邊當它的自變量變化時的左右兩邊當它的自變量變化時保持常值，保持常值，記此常數(shù)為記此常數(shù)為從而可得兩個常微從而可得兩個常微分方程分方程(6)(6)(7)(7)我們可以通過求解這兩個常微分方程來決定我們可以通過求解這兩個常微分方程來決定及及從而得到方程從而得到方程(1)(1)的特解的特解(4)(4)6 6. 0)(, 0)0(lXX )()(),(tTxXtxu , 0),(, 0), 0(tlutu. 0

6、)()(, 0)0()(lXtTXtT , 0)(tT, 0),(txu),(xX. 0)()0(, 0)()( lXXxXxX 為了使為了使?jié)M足齊次邊界條件滿足齊次邊界條件(2)(2)則得則得若若則則不是非平凡解。不是非平凡解。因此，只可能是因此，只可能是(8)(8)為了求函數(shù)為了求函數(shù)我們只需求解下列常微分方程我們只需求解下列常微分方程的邊值問題：的邊值問題：(9)(9)7 7. 0)()0(, 0)()( lXXxXxX (9)(9)(xX若對于若對于 的某些值，問題的某些值，問題(9)(9)的非平凡解存在，的非平凡解存在，則稱這種則稱這種值為值為特征值特征值( (或固有值或固有值) )

7、，試求此值；，試求此值；同時，稱相應的非平凡解同時，稱相應的非平凡解為為特征函數(shù)特征函數(shù)( (或或固有函數(shù)固有函數(shù)) ), ,并求出它。并求出它。這樣敘述的問題，通常這樣敘述的問題，通常叫做叫做施圖姆施圖姆- -劉維爾劉維爾(Sturm-(Sturm-LiouvilleLiouville) )問題問題. .下面我們對下面我們對分三種情形加以討論：分三種情形加以討論：. 00; 0 ; 8 80,)(xxBeAexX, 0 BA. 0llBeAe, 0 BA. 0)(xX. 0)()0(, 0)()( lXXxXxX (9)(9)0.)()(BAxeBAxxXx, 0 BA(1)(1)當當時，問

8、題時，問題(9)(9)沒有非平凡解沒有非平凡解。事實上。事實上由邊界條件得由邊界條件得方程通解為方程通解為(2)(2)當當時，問題時，問題(9)(9)沒有非平凡解沒有非平凡解。事實上。事實上方程通解為方程通解為由邊界條件得由邊界條件得只有恒等于只有恒等于0 0的解。的解。9 90.sincos)(xBxAxX. 0)0( AX. 0)()0(, 0)()( lXXxXxX (3)(3)當當時，方程的通解具有如下形式時，方程的通解具有如下形式由邊界條件得由邊界條件得(9)(9). 0sin)(lBlX)(xX, 0B, 0sinl). ,2, 1()(2nlnn)., 2, 1(sin)( nl

9、xnBxXnn假設假設不恒等于不恒等于0 0， 則則于是得于是得從而找到一族非零解從而找到一族非零解(10)(10)(11)(11)特征值特征值特征函數(shù)特征函數(shù)1010, 0)()( 2tTatT(6)(6). ,2, 1()(2nlnn(10)(10), 0)()()( 2tTlantT)., 2, 1(sincos)( nlatnDlatnCtTnnn)()(),(tTxXtxunnn現(xiàn)在考慮現(xiàn)在考慮將特征值將特征值代入方程代入方程(6)(6)得得其通解為其通解為這樣就得到方程這樣就得到方程(1)(1)的滿足齊次邊界條件的滿足齊次邊界條件(2)(2)的的變量分離形式的特解變量分離形式的特解

10、(12)(12)1111), 2, 1(sinsincos(),( )nlxnlatnblatnatxunnn,nnnCBa nnnDBb )(x)(x(13)(13)其中其中是任意常數(shù)。是任意常數(shù)。注意初始條件注意初始條件)()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)中的中的和和是任意給定的，一般說來，特解是任意給定的，一般說來，特解(13)(13)中的任意一個不滿足給定的初始條件。中的任意一個不滿足給定的初始條件。1212 )1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxunnba ,由于方程由于方程(1)(1)是線性齊次的，由是線性齊次的，由疊加原理疊加原理

11、知，級數(shù)知，級數(shù)), 2, 1(sinsincos(),( )nlxnlatnblatnatxunnn(13)(13)(14)(14)仍是方程仍是方程(1)(1)的解，并且同時滿足邊界條件的解，并且同時滿足邊界條件(2).(2). 0),(, 0), 0(,2tlutuuauxxtt )()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)問題：問題：當當滿足什么條件時，滿足什么條件時，(14)(14)式也滿足式也滿足初值條件初值條件1313 )1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(14)為此，由于為此，由于(14)(14)式關于式關于t, 0t),(s

12、in1xlxnann).(sin1xlxnlanbnn )1sincossin(),(nnntlxnlatnblatnalantxu的導數(shù)式為的導數(shù)式為在在(14)(14)式及其相應的導數(shù)式中，令式及其相應的導數(shù)式中，令)()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)初值條件初值條件且結合且結合可得可得1414)(),(xx , 0lna)(xlanbn)(x),(sin1xlxnann).(sin1xlxnlanbnn,sin)(20dxlxnxlaln,sin)(dxlxnxllanbln02因為因為是定義在是定義在上的函數(shù)，所以當上的函數(shù)，所以當是是的傅里葉的傅里葉正弦級數(shù)正弦

13、級數(shù)展開式的系數(shù)，展開式的系數(shù)，是是的傅里葉的傅里葉正弦級數(shù)正弦級數(shù)展開式的系數(shù)展開式的系數(shù)時，即時，即時，則級數(shù)時，則級數(shù)(14)(14)能滿足初值條件能滿足初值條件(15)(15)()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)1515)(),(xx , 0lna)(xlanbn)(x),(sin1xlxnann).(sin1xlxnlanbnn,sin)(20dxlxnxlaln,sin)(20dxlxnxanbln因為因為是定義在是定義在上的函數(shù)，所以當上的函數(shù)，所以當是是的傅里葉的傅里葉正弦級數(shù)正弦級數(shù)展開式的系數(shù)，展開式的系數(shù)，是是的傅里葉的傅里葉正弦級數(shù)正弦級數(shù)展開式的系

14、數(shù)展開式的系數(shù)時，即時，即時，則級數(shù)時，則級數(shù)(14)(14)能滿足初值條件能滿足初值條件(15)(15)()0 ,(),()0 ,(xxuxxut (3)(3)1616nnba ,代入代入(14)(14)式，即得式，即得將將(15)(15)所確定的所確定的混合問題混合問題(1)-(3)(1)-(3)的解。的解。 )1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(14),sin)(20dxlxnxlaln,sin)(20dxlxnxanbln(15)(15)其中其中這種得到解的方法就稱為這種得到解的方法就稱為分離變量法分離變量法。1717 )1sinsincos()

15、,(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(14)說明：說明： 1. 1. 級數(shù)形式的解級數(shù)形式的解(14)(14)式不一定收斂，因式不一定收斂，因此有時被成為形式解。此有時被成為形式解。但是但是存在性定理存在性定理中的條件可以保證中的條件可以保證(14)(14)式確實是式確實是定解問題定解問題(1)-(3)(1)-(3)的古典解。的古典解。),()0 ,(),()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(2xxuxxutlututlxuautxxtt (1)(1)(2)(2)(3)(3), 0)(4lCx , 0)(3lCx ,lx , 0存在性定理存在性定理* *若若( (四

16、次導數(shù)連續(xù)的函數(shù)四次導數(shù)連續(xù)的函數(shù)) )，并且并且在在處取值處取值為為0 0，則初邊值問題，則初邊值問題(1)-(3)(1)-(3)的的古典解古典解存在，且存在，且可表示為級數(shù)可表示為級數(shù)(14)(14)，其中的系數(shù)由，其中的系數(shù)由(15)(15)確定。確定。),()0 ,(),()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(2xxuxxutlututlxuautxxtt (1)(1)(2)(2)(3)(3) )1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(14)19192. 2. 定解問題定解問題(1)-(3)(1)-(3)的級數(shù)解的級數(shù)解(14)(14)的

17、物理意義。的物理意義。 )1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(14)取級數(shù)取級數(shù)(14)(14)的一般項，并作如下變形：的一般項，并作如下變形：lxnlatnblatnatxunnnsinsincos(),(),sin)sin(lxntNnnn;,arctan,22lanbabaNnnnnnnn nn(16)(16)其中其中稱為稱為初相初相，稱為稱為頻率頻率。2020,sin)sin(),(lxntNtxunnnn(16)(16), t0tt ,sin),(0lxnNtxunn)sin(0nnnntNN),(0txun0t研究研究(16)(16)式物理意

18、義的方法是，先固定時間式物理意義的方法是，先固定時間看看在這時刻振動波呈什么形狀；爾后再固定看看在這時刻振動波呈什么形狀；爾后再固定弦上一點，看看該點的振動規(guī)律。弦上一點，看看該點的振動規(guī)律。當當時，有時，有其中其中是一個定值，這說明在是一個定值，這說明在任何時刻任何時刻的波形都是一條的波形都是一條正弦曲線正弦曲線，其振幅與時刻其振幅與時刻有關。有關。21210 xx ),sin( ),(0nnnntNtxulxnNNnn0sin 0 x.sin0lxnNn,lann.n當當時，有時，有其中其中是一個定值，這說明弦上是一個定值，這說明弦上每一點每一點是在作簡諧振動，其是在作簡諧振動，其振幅振幅

19、為為頻率頻率為為初相初相為為若取另外一個點，若取另外一個點，情況也一樣，只是振幅不同而已。情況也一樣，只是振幅不同而已。),(txun由上所述知，由上所述知，表示這樣一個振動波，在表示這樣一個振動波，在考察的弦上各點以考察的弦上各點以同樣的頻率同樣的頻率作簡諧振動，各點作簡諧振動，各點的的初相也相同初相也相同，其振幅跟點的位置有關，此振動，其振幅跟點的位置有關，此振動波在任一時刻的波在任一時刻的外形是一條正弦曲線外形是一條正弦曲線。2222,sin)sin(),(lxntNtxunnnn(16)(16) ( n,mnmlxm,210, 0),(txunnu),(txun, 0l), 2, 1(

20、2) 12(nknlkxk 當當時，時，這表明這些點在整個振動過程中始終保持不動，這表明這些點在整個振動過程中始終保持不動，這樣的點在物理上稱為這樣的點在物理上稱為的的節(jié)點節(jié)點。這就說明。這就說明的振動是在的振動是在上的分段振動，人們把上的分段振動，人們把這種這種包含節(jié)點的振動波稱為駐波包含節(jié)點的振動波稱為駐波。當當時，駐波的振幅時，駐波的振幅達到最大值，這樣的點叫做達到最大值，這樣的點叫做腹點腹點。2323 ,21nuuun因此我們知道因此我們知道是一系列駐波，它是一系列駐波，它們的頻率、初相和振幅都隨們的頻率、初相和振幅都隨而異。因此，可以而異。因此，可以說解說解 )1sinsincos(

21、),(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(14)是由一系列頻率不同，初相不同和振幅不同的駐是由一系列頻率不同，初相不同和振幅不同的駐波疊加而成的，因此，人們又把波疊加而成的，因此，人們又把分離變量法分離變量法叫做叫做駐波法駐波法。2424例例1 1考察兩端固定的弦的自由振動問題考察兩端固定的弦的自由振動問題).1 ()0 ,(,2sin)0 ,(, 0), 1 (, 0), 0(),0, 10(2xxxuxxutututxuautxxtt )1,sinsincos(),(nnnxnatnbatnatxu )1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(

22、14)解解利用公式利用公式, 1l由于由于則該定解問題的解為則該定解問題的解為2525例例1 1考察兩端固定的弦的自由振動問題考察兩端固定的弦的自由振動問題).1 ()0 ,(,2sin)0 ,(, 0), 1 (, 0), 0(),0, 10(2xxxuxxutututxuautxxtt ,sin)(20dxlxnxlaln,sin)(20dxlxnxanbln(15)(15)再利用公式再利用公式則有則有10sin2sin2xdxnxan10sin)1 (2xdxnxxanbn2626由于由于10sin2sin2xdxnxan. 2, 1, 2, 0nn10sin)1 (2xdxnxxanb

23、n1010cos)21 (1cos)1 (12xdxnxnxnxxnan 10102sin2sin)21 (1)(2xdxnnxnxnan .) 1(1)(44nan104cos)(4xxxnan2727因此，所求定解問題的解為因此，所求定解問題的解為10sin2sin2xdxnxan. 2, 1, 2, 0nnxattxu2sin2cos),(.sinsin) 1(1 )(414xnatnannn.) 1(1)(44nnanb )1,sinsincos(),(nnnxnatnbatnatxu即有即有其中其中2828例例2 2考察一端固定另一端自由移動的弦的自由考察一端固定另一端自由移動的弦的

24、自由振動問題振動問題.sin),(,),(,),(,),(),(lxtxxxttxulxxxutlututlxuau232230 20 0 00 0 0 解解由于這個問題的邊界條件與由于這個問題的邊界條件與(2)(2)不同，不同，. 0),(, 0), 0(tlutu 因此不能直接應用公式因此不能直接應用公式 )1sinsincos(),(nnnlxnlatnblatnatxu(14)(14)但是我們可以但是我們可以借助分離變量法借助分離變量法的思想求解。的思想求解。2929例例2 2考察一端固定另一端自由移動的弦的自由考察一端固定另一端自由移動的弦的自由振動問題振動問題.sin3)0 ,(,

25、2)0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(2322lxtxxxttxulxxxutlututlxuau 解解令令),()(),(tTxXtxu, 0)()( xXxX, 0)()( 2tTatT. 0)( , 0)0(lXX 代入方程分離變量得兩個常微分方程代入方程分離變量得兩個常微分方程由邊界條件易得由邊界條件易得3030例例2 2考察一端固定另一端自由移動的弦的自由考察一端固定另一端自由移動的弦的自由振動問題振動問題.sin3)0 ,(,2)0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(2322lxtxxxttxulxxxutlututlxuau 解解. 0)( )0(, 0)

26、()( lXXxXxX 求邊值問題求邊值問題的的非非0 0解解。下面我們對下面我們對分三種情形加以討論：分三種情形加以討論：. 00; 0 ; 310,)(xxBeAexX, 0 BA. 0llBeAe, 0 BA. 0)(xX. 0)( )0( , 0)()( lXXxXxX0.)()(BAxeBAxxXx, 0 BA(1)(1)當當時，該問題時，該問題沒有非平凡解沒有非平凡解。事實上。事實上由邊界條件得由邊界條件得方程通解為方程通解為(2)(2)當當時，該問題時，該問題沒有非平凡解沒有非平凡解。事實上。事實上方程通解為方程通解為由邊界條件得由邊界條件得只有恒等于只有恒等于0 0的解。的解。

27、32320.sincos)(xBxAxX. 0)0( AX(3)(3)當當時，方程的通解具有如下形式時，方程的通解具有如下形式由邊界條件得由邊界條件得. 0cos)( lBlX)(xX, 0B, 0cosl). ,2, 1()2)12(2 nlnn)., 2, 1(2)12(sin)( nlxnBxXnn假設假設不恒等于不恒等于0 0， 則則于是得于是得從而找到一族非零解從而找到一族非零解特征值特征值特征函數(shù)特征函數(shù). 0)( )0(, 0)()( lXXxXxX 3333, 0)()( 2tTatT, 0)()2)12()( 2 tTlantT)., 2, 1(2)12(sin2)12(co

28、s)( nlatnDlatnCtTnnn現(xiàn)在考慮現(xiàn)在考慮將特征值將特征值代入方程得代入方程得其通解為其通解為于是所求定解問題的解可表示為于是所求定解問題的解可表示為). ,2, 1()2)12(2 nlnn,2)12(sin2)12(sin2)12(cos),(1lxnlatnblatnatxunnn ,nnnCBa nnnDBb 其中其中是任意常數(shù)。是任意常數(shù)。3434, 0t,22)12(sin21lxxlxnann .23sin32)12(sin2)12(1lxlxnlanbnn 在上式及其相應的導數(shù)式中，令在上式及其相應的導數(shù)式中，令.23sin3)0 ,(,2)0 ,(2lxxulx

29、xxut 初值條件初值條件且結合且結合可得可得,2)12(sin2)12(sin2)12(cos),(1lxnlatnblatnatxunnn dxlxnlxxlaln2)12(sin)2(202 dxlxnlxllanbln2)12(sin23sin322)12(0 3535, 0t在上式及其相應的導數(shù)式中，令在上式及其相應的導數(shù)式中，令.23sin3)0 ,(,2)0 ,(2lxxulxxxut 初值條件初值條件且結合且結合可得可得,2)12(sin2)12(sin2)12(cos),(1lxnlatnblatnatxunnn dxlxnlxxlaln2)12(sin)2(202 dxlx

30、nlxanbln2)12(sin23sin3)12(40 ,22)12(sin21lxxlxnann .23sin32)12(sin2)12(1lxlxnlanbnn 3636dxlxnlxxlaln2)12(sin)2(202 dxlxnlxanbln2)12(sin23sin3)12(40 即即,)12(32332 nl , 1,2, 1, 0naln 13322)12(sin2)12(cos)12(32),(nlxnlatnnltxu于是，所求問題的解為于是，所求問題的解為.23sin23sin2lxlatal ,2)12(sin2)12(sin2)12(cos),(1lxnlatnbl

31、atnatxunnn 3737小結：小結： 分離變量法基本步驟分離變量法基本步驟1.1.令令),()(),(tTxXtxu)(xXn, 0)()( xXxX, 0)()( 2tTatT將其代入方程分離變量得兩個常微分方程將其代入方程分離變量得兩個常微分方程2.2.利用利用邊界條件邊界條件求求3.3.所對應的施圖姆所對應的施圖姆- -劉劉維爾問題維爾問題( (即即求非求非0 0解解) )，得到相應的，得到相應的特征值特征值)(xXn)(tT)(tTnnnba ,),(txu和和特征函數(shù)特征函數(shù)n將所求的特征值將所求的特征值4.4.代入代入所滿足的方程，所滿足的方程，從而求得其通解從而求得其通解寫

32、出定解問題的級數(shù)解的表達式寫出定解問題的級數(shù)解的表達式5.5.并利用并利用初值條件初值條件和傅里葉正弦或余弦級數(shù)和傅里葉正弦或余弦級數(shù)所對應的所對應的系數(shù)公式系數(shù)公式求出求出3838補充補充 考察考察兩端都自由移動的弦的自由振動問題兩端都自由移動的弦的自由振動問題).()0 ,(),()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(2xxuxxutlututlxuautxxxxtt 解解令令),()(),(tTxXtxu, 0)()( xXxX, 0)()( 2tTatT. 0)( , 0)0( lXX . 0)( )0( , 0)()( lXXxXxX 代入方程分離變量得兩個常微分方程代入

33、方程分離變量得兩個常微分方程由邊界條件易得由邊界條件易得求邊值問題求邊值問題的的非非0 0解解。3939解解0(1)(1)當當時，該問題時，該問題沒有非平凡解沒有非平凡解。.)( )( ,)()( 00 0lXXxXxX求邊值問題求邊值問題的的非非0 0解解。).()0 ,(),()0 ,(, 0),(, 0), 0(),0,0(2xxuxxutlututlxuautxxxxtt 補充補充 考察考察兩端都自由移動的弦的自由振動問題兩端都自由移動的弦的自由振動問題40400(2)(2)當當時，方程通解為時，方程通解為. 0)( )0( , 0)()( lXXxXxX ,)(000BxAxX. 0)( )0( 00