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1、對于“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值”的幾點教學(xué)建議課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的主要途徑,在高中數(shù)學(xué)中融入數(shù)學(xué)史的教育體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)理念中的”體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值”。以下是我對融入數(shù)學(xué)史教學(xué)的幾點建議?!窘ㄗh 1】復(fù)數(shù)概念學(xué)習(xí)中介紹復(fù)數(shù)的發(fā)展史復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)是數(shù)的概念的又一次擴充,由于剛剛接觸復(fù)數(shù),很多學(xué)生感覺不易理解、無法接受,這時他們往往把原因歸咎于自身的智力,甚至對自己的學(xué)習(xí)能力產(chǎn)生懷疑。如果能讓學(xué)生了解他們遇到的困難也正是在 18 世紀(jì)困擾著當(dāng)時的數(shù)學(xué)界的難題,他們遇到的困惑也曾經(jīng)同樣困擾著很多偉大的數(shù)學(xué)家,那么通過還原歷史的原貌,就可以使他們更加親近數(shù)學(xué),增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。在復(fù)數(shù)的教學(xué)中,老師可以指導(dǎo)學(xué)
2、生利用圖書館、互聯(lián)網(wǎng)搜集信息,了解數(shù)的發(fā)展歷史,如:數(shù)學(xué)史上的三次危機、數(shù)的發(fā)展、數(shù)學(xué)家的故事等,在課外查找資料的過程本身就是學(xué)生的一個學(xué)習(xí)的過程,在課堂教學(xué)中可以先讓學(xué)生用一、兩分鐘來講歷史上關(guān)于復(fù)數(shù)故事。下面是具體的設(shè)計內(nèi)容:1545 年,意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在所著的重要的藝術(shù)的第 37 章中,列出并解出了把 10 分成兩部分,使其乘積為 40 的問題,方程是 x (10-x) = 40 ,他求得根為5-和5,然后說,“不管會受到多大的良心責(zé)備”,把5-和5 相乘得乘積為25-(-15),即 40??柕ぴ诮馊畏匠虝r,又一次運用了負(fù)數(shù)的平方根??柕た隙素?fù)數(shù)的平方根的用處。數(shù)學(xué)家為此創(chuàng)造
3、了“虛數(shù)”,以符號表示,并規(guī)定,1 的平方根當(dāng)然就是 了。這樣一來,負(fù)數(shù)開平方的難題就迎刃而解。這就是科學(xué)的創(chuàng)新精神。然而,用表示虛數(shù)的單位,卻是直到 18 世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)家歐拉提出的,這看似簡單的符號卻經(jīng)歷了兩百多年才出現(xiàn),這就是數(shù)學(xué)發(fā)展的艱辛歷程?!皩崝?shù)”、“虛數(shù)”這兩個詞是由法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在 1637 年率先提出來的。后人在這兩個成果的基礎(chǔ)上,把實數(shù)和虛數(shù)結(jié)合起來,記為a +b表的形式,稱為復(fù)數(shù)。在虛數(shù)剛進入數(shù)的領(lǐng)域時,人們對它的用處一無所知。實際生活中也沒有用復(fù)數(shù)來表示的量,因而,最初人們對虛數(shù)產(chǎn)生懷疑和不接受的態(tài)度。18 世紀(jì)對于“虛數(shù)”的爭論讓很多數(shù)學(xué)家非常困惑,到 19 世紀(jì)仍
4、然對此爭論不休。對于 ,柯西說:“我們可以毫無遺憾地完全否定和拋棄一個我們不知道它表示什么,也不知道應(yīng)該讓它表示什么的數(shù)”;哈密爾頓也置疑“在這樣一種基礎(chǔ)上,哪里有什么科學(xué)可言”;大數(shù)學(xué)家歐拉對于虛數(shù)概念也是不甚了了。在代數(shù)學(xué)引論中,他寫道:“因為所有可以想象的數(shù)要么大于零,要么小于零,要么等于零,所以負(fù)數(shù)的平方根顯然是不能包含在這些數(shù)之中的 ,因此我們必須說 ,它們是不可能的數(shù)它們通常被稱為想象的數(shù),因為它們只存在于想象之中。有趣的是,對此抱否定態(tài)度的愛因斯坦,卻恰恰是他先把復(fù)數(shù)運用到了物理學(xué)領(lǐng)域。讓學(xué)生了解這些史實,可以增進他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與信心。【建議2】古題新用,培養(yǎng)創(chuàng)新意識對于已經(jīng)
5、掌握了一定數(shù)學(xué)知識的學(xué)生來說,數(shù)學(xué)史上的古題仍然能使他們引起興趣 ,激發(fā)求知欲。古題新用,在挖掘數(shù)學(xué)史中古題的思想方法的基礎(chǔ)上,將之用于新的數(shù)學(xué)問題思考中,可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。【古題】阿拉伯分羊故事:有個牧羊人,在臨終前要把他所有的財產(chǎn)17 只羊,分給他的三個兒子,要求大兒子得羊總數(shù)的一半,二兒子得羊總數(shù)的三分之一,小兒子得羊總數(shù)的九分之一,但羊不能殺死或賣掉,三個兒子絞盡腦汁,也想不出分羊的辦法,于是他們只好求助于一位草原上眾所周知的智者。智者帶來了他自己的一只羊,再讓三兄弟重新分,于是大兒子牽了 18 只羊的一半九只,二兒子拉了 18 只羊的三分之一六只,小兒子領(lǐng)走 18 只羊的九分之
6、一 兩只,剩下一只歸還給聰明人,問題終于解決了。這分羊問題在實際上能行得通,但不合常理,而在數(shù)學(xué)上是完全合理的,但這一借一還的巧妙思維,卻給我們解決一些真正的數(shù)學(xué)問題有很大的啟發(fā)和幫助作用。【新用】在求無窮等比數(shù)列前 n 項和的教學(xué)中,有這樣一題,某汽水商店有個規(guī)定,3 個空汽水瓶可以換一瓶汽水喝。有位顧客買了 10 瓶汽水,問題是他最多能喝幾瓶汽水?我們不妨這樣想:這位顧客先喝 10 瓶汽水,得到 10 個空汽水瓶,可以再換三瓶汽水又余一只空瓶,喝完這 3 瓶汽水后,他手上又有 4 只空瓶,可以再換一瓶汽水,余兩個空瓶。于是這個人最多能喝 14 瓶汽水而余兩個空瓶,那么 ,余下的兩個空瓶不是
7、浪費了嗎?受分羊問題的啟發(fā),我們不妨讓顧客先借一個空瓶,這樣又可以換來一瓶汽水,喝罷再還別人一只瓶子,如此,就發(fā)揮了最大的效益,不浪費一只瓶子,共喝了15 瓶汽水。于是,15 瓶才是正確答案。有人說這一思維問題方式和分羊問題一樣,在情理上還講得過去,但在數(shù)學(xué)理論上卻是行不通的。而事實上,如果運用無窮等比數(shù)列前幾項的求和理論,這種思維的正確性是不難證明的。我們知道,在無窮等比數(shù)列中,當(dāng)公比 |q| <1 時,這個無窮等比數(shù)列(n=1,2,3)前 n 項和就為:結(jié)合汽水問題,有,q = ,于是這一數(shù)列為 10, 10×,10所以,某人最多可喝到汽水的瓶數(shù),正是數(shù)列各項和 s,從而s
8、=10+10×+10+=因此,最多喝 15 瓶是有理論根據(jù)的,理論上也是可以行得通的,這一思維方式不但合情,而且也合理?!窘ㄗh3】極坐標(biāo)的建立,增加學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識數(shù)學(xué)的本意在于描述世界,是人類在認(rèn)識和改造世界過程中獲得進展的一種工具,數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史本身就是一部數(shù)學(xué)應(yīng)用的歷史。數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)端的原動力是應(yīng)用,終極目標(biāo)也是應(yīng)用。在教學(xué)過程中強調(diào)應(yīng)用意識,能增強學(xué)生對知識的理解。比如,在學(xué)習(xí)建立極坐標(biāo)系時,習(xí)慣了直角坐標(biāo)系的學(xué)生表現(xiàn)出較大的不適應(yīng)性,所以在教學(xué)時不妨引用數(shù)學(xué)史中笛卡兒的解析幾何思想的最初一閃念。據(jù)說是在他注視一只蒼蠅在天花板的一角爬行時,想到只要知道蒼蠅與相鄰兩墻的距離之間的關(guān)系,就能描述蒼蠅爬行的路線,這個故事讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)的直覺來源于實際生活。接下來,我們可以創(chuàng)設(shè)問題環(huán)境:一艘軍艦行駛在海上,發(fā)現(xiàn)敵艦在某個方向,問你如何向炮手下達命令使之迅速瞄準(zhǔn)并開火?問題的實質(zhì)仍是在一個平面上如何去確定一個點的位置。通常學(xué)生想到建立直角坐標(biāo)系,然后由橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)確定目標(biāo)的方向和距離,提示
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