高考廣東數(shù)學(xué)理科試題第20題解答

1、 2015年高考廣東數(shù)學(xué)理科試題第20題解答 廣東佛山市三水區(qū)三水中學(xué) 吳超 2015年高考廣東數(shù)學(xué)理科試題第20題 過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓:相交于不同的兩點(diǎn)、（1）求圓的圓心坐標(biāo)；（2）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線：與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由 分析：（1）由方程，得，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑； （2）解法一（“垂直”翻譯“斜率”） 當(dāng)不是時(shí)，連，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，設(shè)，由，得，即，當(dāng)是時(shí)，也適合方程，又因?yàn)榉匠瘫硎緢A，圓與圓的公共弦所在的直線方程為，由于點(diǎn)只能在圓的內(nèi)部，所以線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（） 解法二（“垂直”翻譯“勾股定理”）

2、 當(dāng)不是時(shí)，連，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，設(shè)，由，得，即，當(dāng)是時(shí)，也適合方程，所以線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（） 解法三（“垂直”翻譯“向量數(shù)量積”） 當(dāng)不是時(shí)，連，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，設(shè)，由，得，即，當(dāng)是時(shí)，也適合方程，所以線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（） 解法四（利用平面幾何知識(shí)確定點(diǎn)的軌跡名稱） 由平面幾何知識(shí)，知點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以以為直徑的圓的方程為，從而線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（） 解法五（“交軌法”）設(shè)，當(dāng)不是時(shí)，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線方程為 ，則的直線方程為 ， 得，即，當(dāng)是時(shí)，也適合方程，所以線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（） 解法六（“點(diǎn)差法”） 設(shè)、，則 由得 ， 由得 得， 即 將代入中，得，即，又因?yàn)椋?將代入 得，即，所以線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（） 解法七（一般意義上的參數(shù)法） 易知過(guò)原點(diǎn)的直線斜率存在，所以設(shè)直線方程為，、，由，得，因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，從而，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以 得，并將它代入，得，又因?yàn)椋?，即，所以線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（）（3）設(shè)圓的圓心為，則，設(shè)點(diǎn)為，設(shè)直線與圓的切點(diǎn)分別為、，連、，則軸，設(shè)的橫坐標(biāo)為，在中，根據(jù)射影定理，得，即，解得，這說(shuō)明切點(diǎn)、在軌跡上，又公共弦的端點(diǎn)、，直線的斜率為，直線