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1、 2015年高考廣東數(shù)學理科試題第20題解答 廣東佛山市三水區(qū)三水中學 吳超 2015年高考廣東數(shù)學理科試題第20題 過原點的動直線與圓:相交于不同的兩點、（1）求圓的圓心坐標；（2）求線段的中點的軌跡的方程；（3）是否存在實數(shù)，使得直線：與曲線只有一個交點，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由 分析：（1）由方程，得，所以圓心的坐標為，半徑； （2）解法一（“垂直”翻譯“斜率”） 當不是時，連，因為是的中點，所以，設，由，得，即，當是時，也適合方程，又因為方程表示圓，圓與圓的公共弦所在的直線方程為，由于點只能在圓的內部，所以線段的中點的軌跡方程是（） 解法二（“垂直”翻譯“勾股定理”）

2、 當不是時，連，因為是的中點，所以，設，由，得，即，當是時，也適合方程，所以線段的中點的軌跡方程是（） 解法三（“垂直”翻譯“向量數(shù)量積”） 當不是時，連，因為是的中點，所以，設，由，得，即，當是時，也適合方程，所以線段的中點的軌跡方程是（） 解法四（利用平面幾何知識確定點的軌跡名稱） 由平面幾何知識，知點在以為直徑的圓上運動，因為的中點坐標為，所以以為直徑的圓的方程為，從而線段的中點的軌跡方程是（） 解法五（“交軌法”）設，當不是時，設過原點的直線方程為 ，則的直線方程為 ， 得，即，當是時，也適合方程，所以線段的中點的軌跡方程是（） 解法六（“點差法”） 設、，則 由得 ， 由得 得， 即 將代入中，得，即，又因為，所以 將代入 得，即，所以線段的中點的軌跡方程是（） 解法七（一般意義上的參數(shù)法） 易知過原點的直線斜率存在，所以設直線方程為，、，由，得，因為直線與圓有兩個不同的交點，所以，從而，又因為是的中點，所以 得，并將它代入，得，又因為，所以，即，所以線段的中點的軌跡方程是（）（3）設圓的圓心為，則，設點為，設直線與圓的切點分別為、，連、，則軸，設的橫坐標為，在中，根據(jù)射影定理，得，即，解得，這說明切點、在軌跡上，又公共弦的端點、，直線的斜率為，直線

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