一道高考測(cè)試題折射出的點(diǎn)到面的距離及二面角的多種解法

1、 一道高考測(cè)試題折射出的點(diǎn)到面的距離及二面角的多種解法 摘要：本文就一道高考測(cè)試題談?wù)摿艘活}多解的方法。從而使我們理解到以推動(dòng)素質(zhì)教育為宗旨的教育改革，以適合每年的高考，這就要求我們不但應(yīng)著眼于對(duì)知識(shí)的深化與方法的拓展，而且要注重思想的探索過程的辨析及水平的提升。關(guān)鍵詞： 點(diǎn)到面的距離 向量在幾何問題上求點(diǎn)到面的距離及二面角問題不但是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，更是多年來(lái)高考考查的熱點(diǎn)。尤其在綜合題里面，思維不同所用的方法就不同。這就要求教師在平時(shí)的教學(xué)與復(fù)習(xí)時(shí)，除了滲透基本方法之外，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去探究點(diǎn)到面的距離及二面角的其他求法。下面通過一道高考測(cè)試題我們談?wù)勱P(guān)于點(diǎn)到面的距離及二面角的幾種求法。 題目

2、：如果，直三棱柱a的底面是等腰直角三角形, =, ,d是線段的中點(diǎn).1 證明： 平面; 2 求點(diǎn)到平面的距離; <3> 求二面角的大小. 這里只研究問題2和3.由1知平面;一. 找出距離直接求：解法1：如圖1 過作,面就是點(diǎn)到面的距離.下面求： =·=·又=,=【評(píng)注】：這里通過輔助圖由一組線面垂直找出另一組線面垂直,從而找出點(diǎn)到面的距離,再利用等面積求距離.二.利用等體積法求距離：解法2：如圖1 =·=·=【評(píng)注】：利用同一四棱柱頂點(diǎn)不同,底面不同但體積相同的方式來(lái)求點(diǎn)到面的距離.三.利用向量法(法向量)求距離： 解法3： 如圖2 取為原點(diǎn)

3、,分別為x,y,z軸,建立直角坐標(biāo)系,則(0,0,0), (1,0,0),(0,1,0),(1,0,)設(shè)面的法向量為= ()=(0,1,0), =(1,0, ), =(,0,) 即法向量 =(,0,1)又=, 又=(-1,1,0)=【評(píng)注】：如果建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量坐標(biāo)及過平面的向量與該平面的法向量的關(guān)系把距離求解問題簡(jiǎn)單化. 一個(gè)數(shù)學(xué)問題,往往因思考角度不同而有多種解法,但不論哪種解法都源于課本上的基本知識(shí)點(diǎn),是把基本知識(shí)融會(huì)貫通,綜合使用,在此立體幾何題中,通過2的方法我們利用轉(zhuǎn)化的思想,同樣能找出對(duì)應(yīng)的3的幾種解法.一.作出二面角利用定義法求二面角：解法1： 由2中找距離所對(duì)應(yīng)的

4、方法,不妨利用2作出-的二面角的平面角. 如圖1 過作, 連接ef, 即為所求的二面角的平面角=1, 設(shè)二面角的平面角為=， 由此得： =解法2. 如圖2 過作,連接 為的中點(diǎn), 即為所求的二面角=,=設(shè)二面角的平面角為=【評(píng)注】：這里通過補(bǔ)形找出二面角的平面角使之在易求解的三角形中從而回歸定義求解.二.利用面積射影定理求二面角： 由方法一中所作輔助線的不同在此方法中我們能夠得到與之對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)化.解法3： 如圖1,當(dāng)面時(shí),連接,e為在面上的射影.故在面上的射影為設(shè)所求二面角的平面角為則易求： =解法4： 如圖2, 當(dāng)時(shí), 連接,為在面上的射影.故在面上的射影為設(shè)所求二面角的平面角為則易求 =【評(píng)

5、注】：如果能求得二面角一個(gè)面內(nèi)的幾何圖形的面積及它在另一個(gè)面內(nèi)的射影面積利用面積射影定理,進(jìn)而化難為易.三. 利用向量(法向量)求二面角： 設(shè)兩平面與間的二面角用來(lái)表示,而兩平面的法向量與的夾角記為則有=或 -通過2中三的解法,如圖2, 已知=同理,設(shè)面的法向量 , 設(shè)與的夾角為,而二面角的平面角為則, 由此題得=【評(píng)注】：向量是一種重要的運(yùn)算工具,高考中常出現(xiàn)它和高中數(shù)學(xué)中其它知識(shí)點(diǎn)交匯的試題,這里利用向量來(lái)求二面角問題,數(shù)形結(jié)合,相得益彰.另外向量除了能夠處理二面角問題之外,還能夠解決立體幾何中的距離和其他角問題.通過對(duì)上述實(shí)例的分析與說(shuō)明,我認(rèn)為,教師在講解習(xí)題時(shí)只給出準(zhǔn)確答案是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,它還需要勤積累,多思考,善總結(jié),只有這樣才能在課堂上保持高度的靈活性,多變性,同時(shí)使學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)得以持續(xù)優(yōu)化與完善,使學(xué)生的思維水平得到持續(xù)的發(fā)展與提升,以期達(dá)到舉一反三,開拓思路,融會(huì)貫通之目的.參考文獻(xiàn)：1 費(fèi)新慧 中學(xué)數(shù)學(xué)教育 中