一道高考測試題折射出的點到面的距離及二面角的多種解法

1、 一道高考測試題折射出的點到面的距離及二面角的多種解法 摘要：本文就一道高考測試題談論了一題多解的方法。從而使我們理解到以推動素質教育為宗旨的教育改革，以適合每年的高考，這就要求我們不但應著眼于對知識的深化與方法的拓展，而且要注重思想的探索過程的辨析及水平的提升。關鍵詞： 點到面的距離 向量在幾何問題上求點到面的距離及二面角問題不但是重點也是難點，更是多年來高考考查的熱點。尤其在綜合題里面，思維不同所用的方法就不同。這就要求教師在平時的教學與復習時，除了滲透基本方法之外，還應該引導學生去探究點到面的距離及二面角的其他求法。下面通過一道高考測試題我們談談關于點到面的距離及二面角的幾種求法。 題目

2、：如果，直三棱柱a的底面是等腰直角三角形, =, ,d是線段的中點.1 證明： 平面; 2 求點到平面的距離; <3> 求二面角的大小. 這里只研究問題2和3.由1知平面;一. 找出距離直接求：解法1：如圖1 過作,面就是點到面的距離.下面求： =·=·又=,=【評注】：這里通過輔助圖由一組線面垂直找出另一組線面垂直,從而找出點到面的距離,再利用等面積求距離.二.利用等體積法求距離：解法2：如圖1 =·=·=【評注】：利用同一四棱柱頂點不同,底面不同但體積相同的方式來求點到面的距離.三.利用向量法(法向量)求距離： 解法3： 如圖2 取為原點

3、,分別為x,y,z軸,建立直角坐標系,則(0,0,0), (1,0,0),(0,1,0),(1,0,)設面的法向量為= ()=(0,1,0), =(1,0, ), =(,0,) 即法向量 =(,0,1)又=, 又=(-1,1,0)=【評注】：如果建立空間直角坐標系,利用向量坐標及過平面的向量與該平面的法向量的關系把距離求解問題簡單化. 一個數(shù)學問題,往往因思考角度不同而有多種解法,但不論哪種解法都源于課本上的基本知識點,是把基本知識融會貫通,綜合使用,在此立體幾何題中,通過2的方法我們利用轉化的思想,同樣能找出對應的3的幾種解法.一.作出二面角利用定義法求二面角：解法1： 由2中找距離所對應的

4、方法,不妨利用2作出-的二面角的平面角. 如圖1 過作, 連接ef, 即為所求的二面角的平面角=1, 設二面角的平面角為=， 由此得： =解法2. 如圖2 過作,連接 為的中點, 即為所求的二面角=,=設二面角的平面角為=【評注】：這里通過補形找出二面角的平面角使之在易求解的三角形中從而回歸定義求解.二.利用面積射影定理求二面角： 由方法一中所作輔助線的不同在此方法中我們能夠得到與之對應的轉化.解法3： 如圖1,當面時,連接,e為在面上的射影.故在面上的射影為設所求二面角的平面角為則易求： =解法4： 如圖2, 當時, 連接,為在面上的射影.故在面上的射影為設所求二面角的平面角為則易求 =【評

5、注】：如果能求得二面角一個面內的幾何圖形的面積及它在另一個面內的射影面積利用面積射影定理,進而化難為易.三. 利用向量(法向量)求二面角： 設兩平面與間的二面角用來表示,而兩平面的法向量與的夾角記為則有=或 -通過2中三的解法,如圖2, 已知=同理,設面的法向量 , 設與的夾角為,而二面角的平面角為則, 由此題得=【評注】：向量是一種重要的運算工具,高考中常出現(xiàn)它和高中數(shù)學中其它知識點交匯的試題,這里利用向量來求二面角問題,數(shù)形結合,相得益彰.另外向量除了能夠處理二面角問題之外,還能夠解決立體幾何中的距離和其他角問題.通過對上述實例的分析與說明,我認為,教師在講解習題時只給出準確答案是遠遠不夠的,它還需要勤積累,多思考,善總結,只有這樣才能在課堂上保持高度的靈活性,多變性,同時使學生的知識網絡得以持續(xù)優(yōu)化與完善,使學生的思維水平得到持續(xù)的發(fā)展與提升,以期達到舉一反三,開拓思路,融會貫通之目的.參考文獻：1 費新慧 中學數(shù)學教育 中