概率論邊緣分布PPT課件

1、FY(y)F (+, y) PYy 稱為二維隨機(jī)變量(X, Y)關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù). )y,x(Flimy )y,x(Flimx 2.5.邊緣分布與獨(dú)立性一、邊緣分布函數(shù)FX(x)F (x, +) PXx稱為二維隨機(jī)變量(X, Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)；邊緣分布實(shí)際上是高維隨機(jī)變量的某個(gè)(某些)低維分量的分布。第1頁(yè)/共20頁(yè)例1.已知(X,Y)的分布函數(shù)為 其它00101),(xyyeeyxxeeyxFyyyx求FX(x)與FY(y)。解：FX(x)=F(x,)=0001xxexFY(y)=F(,y)= 0001yyyeeyy第2頁(yè)/共20頁(yè)二、邊緣分布律若隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為 (

2、p80) (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 則稱 PXxipi. ，i1, 2, 為(X, Y)關(guān)于X的邊緣分布律； 1jijp 1iijpPY yjp.j ，j1, 2, 為(X, Y)關(guān)于Y的邊緣分布律。 邊緣分布律自然也滿足分布律的性質(zhì)。第3頁(yè)/共20頁(yè)例例2 2. .已知已知(X,Y)(X,Y)的分布律如下的分布律如下, ,求求X X、Y Y的邊緣分布律。的邊緣分布律。xy10 11/10 3/100 3/10 3/10解：xy10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故關(guān)于X和Y的分布律分別為： X10Y10 P 2/53/5P2/

3、53/52/53/52/53/5第4頁(yè)/共20頁(yè)三、邊緣密度函數(shù)為(X, Y)關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。 dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(設(shè)(X, Y)f (x, y), (x, y) R2, 則稱 為(X, Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)； 同理，稱易知N( 1, 2, 12, 22, )的邊緣密度函數(shù)fX(x)是N( 1, 12)的密度函數(shù)，而fY(y)是N( 2, 22)的密度函數(shù)，故二維正態(tài)分布的邊緣分布也是正態(tài)分布。第5頁(yè)/共20頁(yè)例例3.3.設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)的概率密度為的概率密度為othersxyxcyxf0),(2（1 1）求常數(shù)求常數(shù)c;(2)c;(2)求關(guān)于

4、求關(guān)于X X的邊緣概率密度的邊緣概率密度解解:(1)由歸一性由歸一性 1021xxcdydx6 c dyyxfxfX),()()2(100 xorx10)(6622 xxxdyxx第6頁(yè)/共20頁(yè)設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)服從如圖區(qū)域服從如圖區(qū)域D D上上的均勻分布，的均勻分布，求關(guān)于求關(guān)于X X的和關(guān)于的和關(guān)于Y Y的邊緣的邊緣概率密度概率密度x=yx=-y othersxdyxdyxfxxX01001)(11 othersydxyfyyY010)(第7頁(yè)/共20頁(yè)設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)的概率密度為的概率密度為(1)(1)求常數(shù)求常數(shù)c.(2)c.(2)求關(guān)于求關(guān)于X X的和關(guān)于的和關(guān)于Y

5、Y的邊緣概率密度的邊緣概率密度. .01,0( , )0cyxyxf x yothers20166301( )066 (1)01( )0 xXYycydyxxfxothersydxyyyfyothers答：第8頁(yè)/共20頁(yè)四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性四、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性定義定義 稱隨機(jī)變量稱隨機(jī)變量X X與與Y Y獨(dú)立獨(dú)立，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)ab,cdab,cd，有，有paXpaX b,cYb,cY d=paXd=paX bpcYbpcY d d 即即事件事件aXaX bb與事件與事件cYcY dd獨(dú)立，則稱隨機(jī)變獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量量X X與與Y Y獨(dú)立。獨(dú)立。定理定理：隨機(jī)變量：

6、隨機(jī)變量X X與與Y Y獨(dú)立的充分必要條件獨(dú)立的充分必要條件是是F(x,y)=FX(x)FY(y) 第9頁(yè)/共20頁(yè)定理定理: :設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)是二維是二維連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，X X與與Y Y獨(dú)立獨(dú)立的充分必要條件的充分必要條件是是f(x,y)=f(x,y)=f fX X(x)f(x)fY Y(y (y) )定理定理. . 設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y)是二維是二維離散型離散型隨機(jī)變量，其分布律隨機(jī)變量，其分布律為為P Pi,j i,j=PX=PX=x xi, i,Y Y= =y yj j,i,j,i,j=1,2,.=1,2,.，則，則X X與與Y Y獨(dú)立的充分獨(dú)立的充分必要條

7、件必要條件是對(duì)任意是對(duì)任意i,j i,j，P Pi,j i,j=P=Pi i . .P P j j。由上述定理可知，要判斷兩個(gè)隨機(jī)變量由上述定理可知，要判斷兩個(gè)隨機(jī)變量X X與與Y Y的獨(dú)立性，只需求出它們各自的邊緣的獨(dú)立性，只需求出它們各自的邊緣分布，再看是否對(duì)分布，再看是否對(duì)(X,Y)(X,Y)的每一對(duì)可能取值的每一對(duì)可能取值點(diǎn)點(diǎn), ,邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可第10頁(yè)/共20頁(yè)EXEX：判斷例判斷例1 1、例、例2 2、例、例3 3中的中的X X與與Y Y是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立例4.已知隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為x1200.15 0.151ab且

8、知X與Y獨(dú)立，求a、b的值。解:由歸一性0.150.151ab0.7ab由獨(dú)立性0.15(0.15) 0.3a0.35,0.35ab第11頁(yè)/共20頁(yè)例例5 5. .甲乙約定甲乙約定8:008:00 9:009:00在某地在某地會(huì)面。設(shè)兩人都隨機(jī)地在這期會(huì)面。設(shè)兩人都隨機(jī)地在這期間的任一時(shí)刻到達(dá)，先到者最間的任一時(shí)刻到達(dá)，先到者最多等待多等待1515分鐘過(guò)時(shí)不候。求兩分鐘過(guò)時(shí)不候。求兩人能見(jiàn)面的概率人能見(jiàn)面的概率。解解: :221156060GGSP XYdxdy2216024515752GS 21575150.437560P XY第12頁(yè)/共20頁(yè)定義. 設(shè)n維隨機(jī)變量(X1,X2,.,Xn

9、)的分布函數(shù)為F(x1,x2,.,xn), (X1,X2,.,Xn)的k（1 kn)維邊緣分布函數(shù)就隨之確定，如關(guān)于(X1, X2）的邊緣分布函數(shù)是FX1,X2（x1,x2,)=F(x1,x2, . )若Xk 的邊緣分布函數(shù)為FXk(xk),k=1,2,n, )().()(),.(21121nXXXnxFxFxFxxFn 五n維隨機(jī)變量的邊緣分布與獨(dú)立性則稱X1,X2,.Xn 相互獨(dú)立，或稱(X1,X2,.Xn)是獨(dú)立的。第13頁(yè)/共20頁(yè)對(duì)于離散型隨機(jī)變量的情形，若對(duì)任意整數(shù)i1, i2, , in及實(shí)數(shù)有則稱離散型隨機(jī)變量X1, X2, , Xn相互獨(dú)立。niii,.,x,xx211111

10、nnnniiiiiiiixX.PxXPx,.,XxPX 設(shè)X1，X2，Xn為n 個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，若對(duì)任意的(x1, x2, , xn) Rn， f (x1, x2, , xn)fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn)幾乎處處成立，則稱X1，X2，Xn相互獨(dú)立。 第14頁(yè)/共20頁(yè)定義定義 設(shè)設(shè)n n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X(X1,1,X X2 2,.,.X Xn n) )的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F FX X(x(x1 1,x,x2 2,.,.x xn n) )；m m維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(Y(Y1,1,Y Y2 2, ,Y Ym m) )的的分布函數(shù)為分布函數(shù)為F FY Y(y(y1,1,

11、y y2 2, ,y ym m), X), X1,1,X X2 2,.,.X Xn n ,Y ,Y1,1,Y Y2 2, ,Y Ym m組成的組成的n+mn+m維隨機(jī)變量（維隨機(jī)變量（X X1,1,X X2 2,.,.X Xn n ,Y ,Y1,1,Y Y2 2, ,Y Ym m) )的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F F（x x1 1,x,x2 2,.,.x xn n, y, y1,1,y y2 2, ,y ym m).).如果如果F F（x x1 1,x,x2 2,.,.x xn n, y, y1,1,y y2 2, ,y ym m) )= F= FX X(x(x1 1,x,x2 2,.,.x x

12、n n) F) FY Y(y(y1,1,y y2 2, ,y ym m) )則稱則稱n n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(X(X1,1,X X2 2,.,.X Xn n) )與與m m維隨機(jī)維隨機(jī)變量變量(Y(Y1,1,Y Y2 2, ,Y Ym m) )獨(dú)立。獨(dú)立。第15頁(yè)/共20頁(yè)定理定理 設(shè)設(shè)(X(X1 1, , ,X X2 2, , , , X Xn n) )與與(Y(Y1 1, Y, Y2 2, ,， Y Ym m) )相互相互獨(dú)立，則獨(dú)立，則X Xi i (i=1, 2, (i=1, 2, , n), n)與與Y Yi i (i=1, 2, (i=1, 2, , , m)m)相互獨(dú)立；又若相

13、互獨(dú)立；又若h, gh, g是連續(xù)函數(shù)，則是連續(xù)函數(shù)，則h(Xh(X1 1, , ,X X2 2, , , , X Xn n) )與與g(Yg(Y1 1, Y, Y2 2, ,， Y Ym m) )相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .第16頁(yè)/共20頁(yè)2.7(續(xù)續(xù)) 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 則 Zg(X, Y)PZzk pk , k1, 2, kjizyxgkiijp),(:,(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp11p12pijZ=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或或第17頁(yè)/共20頁(yè) EXEX 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X與與Y Y獨(dú)立，且均服從獨(dú)立，且均服從0-1 0-1 分分布，其分布律均為布，其分布律均為 X 0 1 P q p (1) (1) 求求WWX XY Y的分布律的分布律; ;(2) (2) 求求V Vmax(X, Y)max(X, Y)的分布律；的分布律；(3) (3