課題學(xué)習(xí)最短路徑問題

1、13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題一、教學(xué)設(shè)計理念 最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到，初中階段主要以“兩點之間線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎(chǔ)，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變化進行研究。 本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的兩個經(jīng)典問題“將軍飲馬”“造橋選址”為載體展開對“最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用軸對稱、平移等變化再把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題，并運用“兩點之間線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化的過程和轉(zhuǎn)化思想。最短路徑問題從本質(zhì)上說是最值問題，作為初中生，此前很少在幾何中接觸最值問題，解決此類

2、問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手解答“當(dāng)點a、b在直線 l的同側(cè)時，如何在直線l上找到點c，使 ac與cb的和最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為“在直線 l異側(cè)兩點的線段和最小值問題”，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化、怎樣通過軸對稱、平移變化實 現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生在理解和操作上存在困難在證明作法的合理性時，需要在直線上任取點(與所求作的點不重合)，證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路、方法，一些學(xué)生想不到所以在課堂上特別對這幾個問題進行了針對性的設(shè)計。二、教學(xué)對象分析 八年級的學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)研究過一些“兩點之間，線段最短”、“垂線段最短”等問題。一直以來，學(xué)生對多媒體

3、環(huán)境下的幾何探究都十分感興趣，有較強的好奇心，在學(xué)習(xí)上有較強的求知欲望，學(xué)習(xí)投入程度大。他們觀察、操作、猜想能力較強，但演繹推理、歸納、運用數(shù)學(xué)意識的思想比較薄弱，思維的廣闊性、敏捷性、靈活性比較欠缺，自主探究和合作學(xué)習(xí)能力也需要在課堂教學(xué)中進一步加強和引導(dǎo)。學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的提出和解決上有一定的方法，但不夠深入和全面，需要教師的引導(dǎo)和幫助，學(xué)生本身具有一定的探究精神和合作意識，能在親身的經(jīng)歷體驗中獲取一定的數(shù)學(xué)新知識，但在數(shù)學(xué)的說理上還不規(guī)范，幾何演繹推理能力有待加強。(1)最短路徑問題從本質(zhì)上說是最值問題，作為初中生，此前很少在幾何中接觸最值問題，解決此類問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗尚顯不足，特別是面對具

4、有實際背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手。 (2)解答“當(dāng)點a、b在直線 l的同側(cè)時，如何在直線l上找到點c，使 ac與cb的和最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為“在直線 l異側(cè)兩點的線段和最小值問題”，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化、怎樣通過軸對稱、平移變化實 現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生在理解和操作上存在困難。 (3)在證明作法的合理性時，需要在直線上任取點(與所求作的點不重合)。證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路、方法，一些學(xué)生會想不到。三、教學(xué)目標(biāo) 1、了解解決最短路徑問題的基本策略和基本原理。 2、能將實際問題中的“地點”“河”“橋”等抽象為數(shù)學(xué)中的“點”“線”，使實際問題數(shù)學(xué)化。 3、能運用軸對稱、平移變

5、化解決簡單的最短路徑問題，體會幾何變化在解決最值問題中的重要作用。 4、在探索最短路徑的過程中，感悟、運用轉(zhuǎn)化思想。進一步培養(yǎng)好奇心和探究心理，更進一步體會到數(shù)學(xué)知識在生活中的應(yīng)用。四，教學(xué)重點將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，運用軸對稱平移解決生活中路徑最短的問題，確定出最短路徑的方法。    五， 教學(xué)難點：探索發(fā)現(xiàn)“最短路徑”的方案，確定最短路徑的作圖及原理。六、教學(xué)實施1最短路徑問題(1)求直線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求如圖所示，點a，b分別是直線l異側(cè)的兩個點，在l上找一個點c，使cacb最短，這時點c是直

6、線l與ab的交點(2) 問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的a 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到b 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？你能用自己的語言說明這個問題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ 【例1】 在圖中直線l上找到一點m，使它到a，b兩點的距離和最小分析：求直線同側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關(guān)于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求先確定其中一個點關(guān)于直線l的對稱點，然后連接對稱點和另一個點，與直線l的交點m即

7、為所求的點解：如圖所示：(1)作點b關(guān)于直線l的對稱點b；(2)連接ab交直線l于點m.(3)則點m即為所求的點點撥：運用軸對稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上，然后用“兩點之間線段最短”解決問題.為了證明點c的位置即為所求，我們不妨在直線上另外任取一點c，連接ac，bc，bc，證明accbaccb.如下：證明：由作圖可知，點b和b關(guān)于直線l對稱，所以直線l是線段bb的垂直平分線因為點c與c在直線l上，所以bcbc，bcbc.在abc中，abacbc，所以acbcacbc，所以acbcaccb.2.運用軸對稱解決距離最短問題運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和

8、轉(zhuǎn)化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運用時要抓住直線同旁有兩點，這兩點到直線上某點的距離和最小這個核心，所有作法都相同警誤區(qū) 利用軸對稱解決最值問題應(yīng)注意題目要求根據(jù)軸對稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過比較來說明最值問題是常用的一種方法解決這類最值問題時，要認(rèn)真審題，不要只注意圖形而忽略題意要求，審題不清導(dǎo)致答非所問【例2】 如圖，從a地到b地經(jīng)過一條小河(河岸平行)，今欲在河上建一座與兩岸垂直的橋，應(yīng)如何選擇橋的位置才能使從a地到b地的路程最短？問題：如圖a和b兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋mn，橋造在何處才能使從a到b的路徑amnb最短？（假

9、設(shè)河兩岸平行,橋mn 與河岸垂直,a到 的距離大于河寬.） 方法探究：讀懂題意后發(fā)現(xiàn)，這個問題要求的“路徑amnb最短”實際是就是“am+bn”最短，因為本題中附加條件是“橋要與河垂直”，也就是說橋的長度就是河兩岸的距離了（題中假定了河的兩岸是平行的直線） 怎樣保證“am+bn”最短呢？如果不是中間有條河隔著，直接連接ab就可以了！由于河兩岸平行, 故橋長mn是一個定值,無論橋架在何處,mn是必經(jīng)路線,要使從a到b的折線最短,只需am+bn最短即可. 為此我們不妨將橋mn平移到處,且m與a重合,則n與 重合,由平移性質(zhì)知am=cn .由“兩點之間,線段最短”的性質(zhì)知,要使am+bn最短(即 +bn最短),只要點n在線段上即可為了更為清楚的表達這種方法，我們構(gòu)造出如圖2的作圖后，再加以說明圖2的操作步驟是，過點a作ac 河和于點c， 在線段ac上截取 ac=橋長，然后連接cb 交 于點n，最后過點n作mn河于點m.則mn即為所求的架設(shè)橋的地點.作法：從a到b要走的路線是amnb，如圖所示，而mn是定值，于是要使路程最短，只要ambn最短即可此時兩線段應(yīng)在同一平行方向上，平移mn到ac，從c到b應(yīng)是余下的路程，連接bc的線段即為最短的，此時不難說明點n即為建橋位置，mn即為所建的橋解：(1)如圖2，過點a作ac垂直于河岸，且使ac等于河