與三角形有關(guān)的向量問題

1、與三角形有關(guān)的向量問題三角形有關(guān)的問題可以很好體現(xiàn)向量的核心問題如和差、數(shù)乘、數(shù)量積。在與三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心等問題的聯(lián)系上特別值得重視。一、 三角形基本問題例1. 如圖abc中，= c，= a，= b， 則下列推導(dǎo)不正確的是（d） a若a ×b < 0，則abc為鈍角三角形。 b若a ×b = 0，則abc為直角三角形。 c若a ×b = b×c，則abc為等腰三角形。d若c×(a + b + c) = 0，則abc為正三角形。 解：aa×b = |a|b| < 0，則 < 0，q為鈍角 b顯然成立 c由

2、題設(shè)：|a|cosc = |c|cosa，即a、c在b上的投影相等 da + b + c = 0, 上式必為0，不能說明abc為正三角形abcnm例2. 如圖：已知mn是abc的中位線，求證：mn=bc, 且mnbc證：mn是abc的中位線，, mn=bc, 且mnbc 例 3. 已知：平面上三點(diǎn)o、a、b不共線，求證：平面上任一點(diǎn)c與a、b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)和，使=+ ，且+ = 1。證：必要性：設(shè)a,b,c三點(diǎn)共線，則可設(shè)= t (tÎr)則=+=+ t=+ t(-) = (1-t)+ t令1-t =，t = ，則有：=+ ，且+ = 1充分性：=-=+ -= (-1)+

3、= -+ = (-) = 三點(diǎn)a、b、c共線例4.（04浙江） 已知平面上三點(diǎn)滿足，則的值等于 一般地對(duì)于的結(jié)論是例 . 某人騎車以每小時(shí)a公里的速度向東行駛，感到風(fēng)從正東方向吹來，而當(dāng)速度為2a時(shí)，感到風(fēng)從東北方向吹來，試求實(shí)際風(fēng)速和方向。 p b a ovv-2a解：設(shè)a表示此人以每小時(shí)a公里的速度向東行駛的向量，無風(fēng)時(shí)此人感到風(fēng)速為-a，設(shè)實(shí)際風(fēng)速為v，那么此時(shí)人感到的風(fēng)速為v - a，設(shè)= -a，= -2a+= = v - a，這就是感到由正北方向吹來的風(fēng)速，+= = v -2a，于是當(dāng)此人的速度是原來的2倍時(shí)所感受到由東北方向吹來的風(fēng)速就是，由題意：Ðpbo = 45

4、76;, pabo, ba = ao 從而，pob為等腰直角三角形，po = pb =a 即：|v | =a實(shí)際風(fēng)速是a的西北風(fēng)二、 三角形重心問題例1 . 已知是內(nèi)一點(diǎn)，+=，則是的a. 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 內(nèi)心例1.1 已知是內(nèi)一點(diǎn)， +2+3=，則問的面積與的面積的比是多少？解：（一）平行四邊形法：設(shè)分別是的中點(diǎn)，則，故可得： ，即， 故，則（二）化歸法：延長(zhǎng)使，延長(zhǎng)使，則是的重心， ，例2. 已知是平面內(nèi)一點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的a. 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 內(nèi)心例3. 已知是平面內(nèi)一點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)

5、點(diǎn)的軌跡一定通過的a. 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 內(nèi)心例4. 證明：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍。 a b c e f d g證：設(shè)= b，= a，則=+= b+a, =a, g, d共線，b, g, e共線可設(shè)=，= ,則=(b+a)=b+a,= = (b+a)=b+a, 即：b + (b+a) =b+a(-)a + (-+)b = 0 a, b不平行，即：ag = 2gd 同理可化：ag = 2gd , cg = 2gf三、 三角形垂心問題例1. 中，為其外心，為平面內(nèi)一點(diǎn)， ，則是的a. 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 內(nèi)心例2. 已知是平面內(nèi)一點(diǎn)，是

6、平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的a. 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 內(nèi)心解：，且例3. 已知是所在平面上一點(diǎn)，若，則是 a. 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 內(nèi)心例4. 如圖，ad、be、cf是abc的三條高，abcdefh求證：ad、be、cf相交于一點(diǎn)。證：設(shè)be、cf交于一點(diǎn)h，= a, = b, = h,則= h - a , = h - b , = b - a , 又點(diǎn)d在ah的延長(zhǎng)線上，ad、be、cf相交于一點(diǎn)例 4. 已知o為abc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足bco|2 + |2 = |2 + |2 = |2 + |2，則是三角形的a. 重心 b. 垂心

7、c. 外心 d. 內(nèi)心解：設(shè)= a, = b, = c,則= c - b, = a - c, = b - a由題設(shè)：2 +2 =2 +2 =2 +2，化簡(jiǎn)：a2 + (c - b)2 = b2 + (a - c)2 = c2 + (b - a)2 得： cb = ac = ba從而= (b - a)c = bc - ac = 0 同理：, 四、 三角形外心問題例1. 已知是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的a. 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 內(nèi)心例2. 已知是平面內(nèi)一點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的a. 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 內(nèi)心解：點(diǎn)在的垂直平分線上五、 三角形內(nèi)心問題例1. 已知是平面內(nèi)一點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的a. 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 內(nèi)心例2. 是所在平面上一點(diǎn)，所對(duì)的邊分別是，若，則是的a. 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 內(nèi)心解：因?yàn)?，又，所以，即?. 三個(gè)不共線向量滿足=則是的a. 重心 b. 垂心 c. 外心 d. 內(nèi)心例4. 若是的內(nèi)心，所對(duì)的邊分別是，為所在平面上一點(diǎn)，求證：六、 三角形心心關(guān)系在中，分別