一個(gè)簡(jiǎn)單非線性問題的求解

1、一個(gè)簡(jiǎn)單非線性問題的求解1、非線性概述環(huán)顧一下身邊的自然界，會(huì)驚奇的發(fā)現(xiàn)我們根本不能夠找到任何一樣形狀筆直而又非人造的東西，我們頓悟：自然界的本質(zhì)就是非線性，而以前所用的線性數(shù)學(xué)僅是對(duì)大自然真實(shí)的一種近似。非線性動(dòng)力學(xué)的崛起，主要是在20世紀(jì)后半葉混沌運(yùn)動(dòng)的發(fā)現(xiàn)，目前其影響不僅涉及數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)也涉及了所有自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會(huì)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,成為一門極其重要的新學(xué)科。因此，研究非線性動(dòng)力學(xué)中的混純運(yùn)動(dòng)和分岔現(xiàn)象是非常重要的事情，它們幫助我們更深刻的認(rèn)識(shí)自然界的非線性本質(zhì)。隨著人類社會(huì)的進(jìn)步,社會(huì)、工程系統(tǒng)越來越復(fù)雜,且整個(gè)受控系統(tǒng)往往呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性和不確定性,如飛行器控制系統(tǒng)、電力系

2、統(tǒng)、水電站系統(tǒng)等。與之相矛盾的是人們不斷期望提高系統(tǒng)的可靠性、安全性、且提高生產(chǎn)效率和經(jīng)濟(jì)效益。因此,對(duì)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，如何設(shè)計(jì)出不但要保證系統(tǒng)本身不確定性和外界擾動(dòng)時(shí)快速穩(wěn)定且獲得較好控制性能；同時(shí)，也要保證系統(tǒng)發(fā)生故障時(shí)，在利益最大化的前提下，保持系統(tǒng)穩(wěn)定,已成為當(dāng)前控制理論與控制工程的主要研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)。自從1963年美國(guó)氣象學(xué)家lorenz (1963)提出洛倫茲方程，并指出在三階非線性系統(tǒng)中可能會(huì)出現(xiàn)混亂解。直到1975年,混沌(chaos)作為一個(gè)名詞首次在科學(xué)文獻(xiàn)中出現(xiàn)，它以前所未有的速度迅速發(fā)展成為有豐富的非線性物理背景和深刻數(shù)學(xué)內(nèi)涵的現(xiàn)代科學(xué)。因此，著名物理學(xué)家j.ford

3、認(rèn)為混純是20世紀(jì)物理學(xué)第三次大革命（前兩次是量子力學(xué)和相對(duì)論）。當(dāng)然，理論發(fā)展到一定程度后，存在于自然界和工程中的混純現(xiàn)象及其發(fā)現(xiàn)顯得更有實(shí)踐意義。綜上所述,研究非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)、動(dòng)力學(xué)特征之間的內(nèi)在聯(lián)系、混沌運(yùn)動(dòng)特征等，并嘗試改進(jìn)或提出新的控制理論和控制方法來控制一類非線性系統(tǒng)，這是一個(gè)既有理論研究?jī)r(jià)值又具有工程實(shí)踐意義的科學(xué)問題。2、問題的簡(jiǎn)單描述奇點(diǎn)是相平面上速度以及加速度都為零的點(diǎn)。在奇點(diǎn)上，因?yàn)樗俣龋瑫r(shí)加速度，所以有。所以，奇點(diǎn)是相平面上的平衡點(diǎn)。在相平面上，除了奇點(diǎn)以外的點(diǎn)都是尋常點(diǎn)，根據(jù)奇點(diǎn)的形態(tài)又可以分為中心點(diǎn)、焦點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)以及鞍點(diǎn)。比如，一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為，試求它的奇點(diǎn)。

4、3、問題求解由運(yùn)動(dòng)方程可以知道，。 1）、當(dāng)時(shí)，滿足，所以可以知道，點(diǎn)（0,0）為奇點(diǎn)。方程的解為：。2）、當(dāng)時(shí)，由積分，可以得到：。、當(dāng)時(shí)，在時(shí)，。此時(shí)我們借助matlab軟件畫出它的圖形（如圖a，此時(shí)選取，分別取）。由圖a可以看出，出y軸之外的所有積分都是沿著x軸趨近奇點(diǎn)的，而且極限方向都是x軸，所以認(rèn)為點(diǎn)（0,0）是節(jié)點(diǎn)，而且是穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。、當(dāng)時(shí)，也是拋物線，在時(shí)，。此時(shí)我們借助matlab軟件畫出它的圖形（如圖b，此時(shí)選取，分別取）。由圖b可以看出，出x軸之外的所有積分都是沿著y軸趨近奇點(diǎn)的，而且極限方向都是y軸，所以也認(rèn)為點(diǎn)（0,0）是節(jié)點(diǎn)，而且是穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。、當(dāng)時(shí)，是射線，。此時(shí)我

5、們借助matlab軟件畫出它的圖形（如圖c，此時(shí)選取，分別取）。顯然，由圖d可以看出，此時(shí)的點(diǎn)（0,0）是一個(gè)穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。、當(dāng)時(shí)，是雙曲線，此時(shí)我們借助matlab軟件畫出它的圖形（如圖d，此時(shí)選取，分別取）。由圖d可以看出，點(diǎn)（0,0）已經(jīng)是鞍點(diǎn)，而且是不穩(wěn)定的。4、matlab編程計(jì)算1）、當(dāng)（）時(shí)，編程如下：x=(-2:0.05:2)'t=-3:2:3;y=abs(x).2*t;plot(x,y)2）、當(dāng)（）時(shí)，編程如下：x=(-2:0.05:2)'t=-3:2:3;y=abs(x).0.5*t;plot(x,y)3）、當(dāng)時(shí)，編程如下：x=(-2:0.05:2)'t=-3:6:3;y=abs(x).1*t;plot(x,y)4）、當(dāng)時(shí)，編程如下：x=(-2:0.05:2)'t=-3:2:3;y=abs(x).（-1）*t;plot(x,y)5、小結(jié) 非線性動(dòng)力學(xué)是涉及力學(xué)、數(shù)學(xué)、物理科學(xué)、機(jī)械工程乃至控制工程和電氣工程等眾多學(xué)科的新興交叉學(xué)科，也是分析復(fù)雜系統(tǒng)