二元一次方程的應(yīng)用案例分析

1、二元一次方程的案例分析【課堂實(shí)錄】 【案例評(píng)析】二元一次方程組的應(yīng)用是在學(xué)生學(xué)習(xí)了列一元一次方程解應(yīng)用題和二元一次方程組解法的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的一個(gè)新的內(nèi)容，它在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用。在本節(jié)課的教學(xué)中，老師重視引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，注意找出題目中的已知數(shù)、未知數(shù)和表示應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系。在教學(xué)中，注重轉(zhuǎn)化思想的滲透：實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，二元轉(zhuǎn)化為一元。在第一環(huán)節(jié)“引入新課”中， 老師首先演示學(xué)生上次春游的相片，“同學(xué)們還記得上次春游的歡樂(lè)時(shí)光吧！ 春天的腳步越來(lái)越近，同學(xué)們對(duì)春游的盼望也越來(lái)越急切，今天就讓我?guī)ьI(lǐng)大家提前走進(jìn)春游活動(dòng)，看看春游活動(dòng)中發(fā)生了什么有趣的事情吧！”此情境

2、的創(chuàng)設(shè)，引發(fā)學(xué)生的注意力，營(yíng)造學(xué)習(xí)氣氛，激發(fā)學(xué)生的探索熱情。在第二環(huán)節(jié)“探究新知”中， 老師以“租車”、“坐車途中講故事”、“到達(dá)歡樂(lè)谷后同學(xué)們自由活動(dòng)打撲克”、“買水果”、“買獎(jiǎng)品”等 5 個(gè)不同實(shí)際問(wèn)題為背景設(shè)置了 5 個(gè)例題， 引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地參與教學(xué)活動(dòng)，發(fā)揚(yáng)教學(xué)民主，讓學(xué)生在獨(dú)立思考、合作交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，培養(yǎng)合作互助意識(shí)，提高數(shù)學(xué)交流與數(shù)學(xué)表達(dá)能力，發(fā)展多角度思考問(wèn)題的能力 , 培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式和良好的學(xué)習(xí)氛圍。在學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功感，樹(shù)立自信心，并進(jìn)一步形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題和將二元方程組轉(zhuǎn)化為一元方程的過(guò)程。我認(rèn)為本節(jié)課有以下三

3、個(gè)特點(diǎn)：1. 教學(xué)目標(biāo)明確、具體，符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求和學(xué)生的實(shí)際水平本節(jié)課老師確定了三個(gè)教學(xué)目標(biāo)：（ 1 ）能正確分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立二元一次方程組模型并能解決實(shí)際問(wèn)題。（ 2 ）經(jīng)歷把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)方程組的過(guò)程，體會(huì)方程組是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意。（ 3 ）在探究學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索、勇于創(chuàng)新的精神，通過(guò)合作交流，養(yǎng)成學(xué)生的合作互助意識(shí)，提高數(shù)學(xué)交流和數(shù)學(xué)表達(dá)能力。教學(xué)目標(biāo)的確定體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生在知識(shí)與技能、過(guò)程與方法方面的要求，也體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)思考、解決問(wèn)題以及情感與態(tài)度等方面的要求。教學(xué)

4、目標(biāo)全面、具體、明確，符合課程標(biāo)準(zhǔn)、教材的要求和學(xué)生的實(shí)際。本節(jié)課的教學(xué)， 老師緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程， 緊密聯(lián)系生活實(shí)際，精心設(shè)計(jì)問(wèn)題情境， 以學(xué)生親身經(jīng)歷的學(xué)習(xí)生活中的實(shí)際問(wèn)題為背景編制應(yīng)用題，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，用學(xué)過(guò)的知識(shí)加以解決。 使所有學(xué)生既能參與，又有一定的拓展、探索的余地，全體學(xué)生在獲得必要發(fā)展的前提下，不同的學(xué)生獲得不同的體驗(yàn)。 整個(gè)教學(xué)過(guò)程圍繞教學(xué)目標(biāo)層層展開(kāi)，步步深入。從教學(xué)效果看，達(dá)到了預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)。2. 教師營(yíng)造了寬松和諧的學(xué)習(xí)氛圍，使學(xué)生得到了良好的學(xué)習(xí)和情感體驗(yàn)為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生

5、主動(dòng)愉快地學(xué)習(xí)，在教學(xué)方法上，老師采用了啟發(fā)講授、小組討論、合作探究相結(jié)合的教學(xué)方式。在課堂教學(xué)過(guò)程中努力貫徹“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、探究為主線、思維為核心”的教學(xué)思想。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析和動(dòng)手操作，使學(xué)生充分地動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，參與教學(xué)全過(guò)程。在教學(xué)手段方面，選擇多媒體課件輔助教學(xué)的方式，生動(dòng)、有趣的多媒體課件一方面為學(xué)生在課堂教學(xué)中進(jìn)行自主探究和發(fā)現(xiàn)新知提供了技術(shù)支持，另一方面為教師進(jìn)行教學(xué)演示提供了平臺(tái)，二者有機(jī)結(jié)合，協(xié)調(diào)發(fā)揮作用，使信息技術(shù)與教學(xué)內(nèi)容有機(jī)整合，真正為教學(xué)服務(wù)。3. 注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透本節(jié)課的教學(xué)，老師始終有意識(shí)地滲透轉(zhuǎn)化的思想方法，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)將“未

6、知”轉(zhuǎn)化為“已知”，將“實(shí)際問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的過(guò)程。在研究問(wèn)題時(shí)，從開(kāi)始就抓住問(wèn)題中的已知數(shù)和未知數(shù)，把未知數(shù)放在與已知數(shù)平等的地位去分析研究，通過(guò)列方程組、解方程組，使未知數(shù)轉(zhuǎn)化為已知數(shù)，這是列方程組解應(yīng)用題的意義。使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)列方程組解應(yīng)用題有時(shí)比列方程解應(yīng)用題更有優(yōu)越性。4. 注重學(xué)法指導(dǎo)圍繞本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，設(shè)置有現(xiàn)實(shí)意義的、具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生積極思考，引導(dǎo)學(xué)生自主探索與合作交流，既能在探索中獲取知識(shí)，又能不斷豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)探索，提高解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)一定的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。通過(guò)課堂小結(jié)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的反思意識(shí)，培養(yǎng)他們良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣?！窘?/p>

7、學(xué)設(shè)計(jì)】二元一次方程組的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：1. 能正確分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立二元一次方程組模型并能解決實(shí)際問(wèn)題。2. 經(jīng)歷把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)方程組的過(guò)程，體會(huì)方程組是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。3. 在探究學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探索、勇于創(chuàng)新的精神，通過(guò)合作交流，養(yǎng)成學(xué)生的合作互助意識(shí)，提高數(shù)學(xué)交流和數(shù)學(xué)表達(dá)能力。教學(xué) 重點(diǎn)：讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)用方程組解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，抓住實(shí)際問(wèn)題的等量關(guān)系建立方程組模型。教學(xué) 難點(diǎn)：在探究過(guò)程中分析題意，由相等關(guān)系正確地建立方程組；根據(jù)實(shí)際意義，確定分類的原則和未知數(shù)的取值范圍。教學(xué)過(guò)程：一、引入新

8、課（教師演示學(xué)生上次春游的相片）同學(xué)們還記得上次春游的歡樂(lè)時(shí)光吧！ 春天的腳步越來(lái)越近，同學(xué)們對(duì)春游的盼望也越來(lái)越急切，今天就讓我?guī)ьI(lǐng)大家提前走進(jìn)春游活動(dòng)，看看春游活動(dòng)中發(fā)生了什么有趣的事情吧！（情境創(chuàng)設(shè)，引發(fā)學(xué)生注意力，營(yíng)造學(xué)習(xí)氣氛，激發(fā)探索熱情。）二、探究新知例 1 初一年級(jí)準(zhǔn)備組織師生外出春游，現(xiàn)向某租車公司租車，這個(gè)出租公司有 42 座和 60 座兩種客車， 42 座客車的租金每輛為 320 元， 60 座客車的租金每輛為 460 元 . 若初一年級(jí)同時(shí)租用這兩種客車 9 輛，恰好 9 輛客車都坐滿了，共付租金 3720 元，請(qǐng)你幫助計(jì)算一下這次共有多少人參加春游活動(dòng)嗎？解法

9、 1 ： 設(shè) 42 座客車的有 x 輛，則 60 座客車的有（ 9-x ）輛 . 由題意，得320x+460(9-x)=3720解得 x=3初一師生總?cè)藬?shù)為 32*3+60*6=456 （人）答：這次共有 456 人參加春游。解法 2 ： 設(shè) 42 座客車的有 x 輛， 60 座客車的有 y 輛 . 由題意，得 ，解得 ，初一師生總?cè)藬?shù)為 32*3+60*6=456 （人）答：這次共有 456 人參加春游活動(dòng)。早上 8 點(diǎn)，初一全體師生快快樂(lè)樂(lè)的出發(fā)了，數(shù)學(xué)羅老師坐在初一（ 6 ）班的車上，同學(xué)們一路上歡歌笑語(yǔ)，大家正在輪流講故事，輪到羅老師了，她給大家講了這樣一個(gè)故事：例

10、 2 群鴉棲樹(shù)棲樹(shù)一群鴉，鴉樹(shù)不知數(shù)；三個(gè)坐一棵，五個(gè)地上落；五個(gè)坐一棵，閑了一棵樹(shù)；請(qǐng)你動(dòng)腦筋，鴉樹(shù)各幾何？大意是：一群烏鴉落在一片樹(shù)上，如果三個(gè)烏鴉落在一棵樹(shù)上，那么就有五個(gè)烏鴉沒(méi)有樹(shù)可落；如果五個(gè)烏鴉落在一棵樹(shù)上，那么就有一棵樹(shù)沒(méi)有落烏鴉。請(qǐng)問(wèn)烏鴉和樹(shù)各多少？解：設(shè)烏鴉有 x 只，樹(shù)有 y 棵 . 由題意，得 ，解得 .答：烏鴉有 20 只，樹(shù)有 5 棵。說(shuō)明：古今中外流傳著許多歌謠趣題，題目新穎別致，魅力無(wú)限，不僅內(nèi)容朗朗上口，而且需要具有一定的解題能力。1 個(gè)多小時(shí)后，大家終于到達(dá)了春游的目的地 - 歡樂(lè)谷。下車后班主任吳老師將同學(xué)們集合在一起，一是強(qiáng)調(diào)

11、安全問(wèn)題和集合時(shí)間，二是請(qǐng)大家把游玩中優(yōu)美的風(fēng)景和有趣的畫(huà)面用手中的數(shù)碼相機(jī)記錄下來(lái)，要進(jìn)行一個(gè)班級(jí)攝影比賽。同學(xué)們分成不同的小組開(kāi)始自由活動(dòng)，有一個(gè)小組玩累了在公園的石桌石椅上打起牌來(lái)，不會(huì)玩牌的一位同學(xué)拿著大家出過(guò)的牌在石桌擺起了圖形：例 3 八張撲克牌恰好可拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形 ( 圖 1) ，用同樣的這八張牌可拼成一個(gè)大正方形，但中間留下一個(gè)邊長(zhǎng)為 2cm 的小正方形 ( 圖 2)。你能算出每張撲克牌的長(zhǎng)和寬嗎？解法 1 ： 設(shè) 撲克牌的寬為 x 厘米，長(zhǎng)為 y 厘米。由題意，得 ，解得 .答： 撲克牌的寬為 6 厘米，長(zhǎng)為 10 厘米。解法 2 ： 面積法

12、： 設(shè) 撲克牌的寬為 x 厘米，長(zhǎng)為 y 厘米。由題意，得 由第二個(gè)方程得： 8xy=4x2 +4xy+y2 -4 ； 4x2 -4xy+y2 = 4 ； （ 2x-y ）2 =22 ，有圖中可知： 2x y ，所以 2x-y=2 ，下面的過(guò)程和解法 1 相同。初一學(xué)生目前還沒(méi)有學(xué)習(xí)一元二次方程的解法，教師可以引導(dǎo)學(xué)生列方程組，但不解方程組。說(shuō)明：通過(guò)三個(gè)例題的分析后，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組解決 . 同時(shí)請(qǐng)對(duì)比用二元一次方程組或一元一次方程解應(yīng)用題的區(qū)別和聯(lián)系。整整玩了一天，到了返回學(xué)校的

13、時(shí)間了 . 大家戀戀不舍的離開(kāi)了歡樂(lè)谷，回來(lái)的車上，我們班的生活委員李驥琪和雷明陽(yáng)開(kāi)始給同學(xué)們分發(fā)用班費(fèi)購(gòu)買的水果 - 香蕉，楊宏業(yè)同學(xué)還挺關(guān)心班級(jí)的事務(wù)，一邊吃一邊問(wèn)：“買了多少斤香蕉?。炕硕嗌侔噘M(fèi)??？” 生活委員一看提問(wèn)的是特喜歡數(shù)學(xué)的他，準(zhǔn)備考考他，就把購(gòu)買的經(jīng)過(guò)大致說(shuō)了一遍，要求楊宏業(yè)在 5 分鐘內(nèi)回答下面問(wèn)題：例 4 表格信息型：某水果批發(fā)市場(chǎng)香蕉的價(jià)格如下表：購(gòu)買香蕉數(shù)（千克）不超過(guò) 20 千克20 千克以上但不超過(guò) 40 千克40 千克以上每千克價(jià)格6 元5 元4 元 生活委員兩次共購(gòu)買香蕉 50 千克（第二次多于第一次），共付款 264 元，請(qǐng)問(wèn)生活委員第

14、一次、第二次分別購(gòu)買香蕉多少千克？解：設(shè)生活委員第一次購(gòu)買香蕉 x 千克，第二次購(gòu)買香蕉 y 千克 . 由題意可知 0 x 25。（ 1 ）當(dāng) 0 x 20 ， y 40 時(shí)，由題意得 ，解得 （ 2 ）當(dāng) 0 x 20 ， y 40 時(shí)，由題意得 解得 （不合題意，舍去）。（ 3 ）當(dāng) 20 x 25 ， 25 y 30 時(shí)，此時(shí)生活委員用去的款項(xiàng)為 5x+5y=5(x+y)=5 × 50=250 264. （不合題意，舍去）。綜合（ 1 ）、（ 2 ）、（ 3 ）可知生活委員第一次購(gòu)買香蕉 14 千克，第二次購(gòu)買香蕉 36 千克。說(shuō)明：本題

15、利用表格給出相關(guān)數(shù)據(jù)，代替了繁瑣的語(yǔ)言敘述，同學(xué)們可以簡(jiǎn)捷直觀地獲取信息，尋求等量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，建立方程組求解 . 通過(guò) 加深問(wèn)題難度，鞏固應(yīng)用一元一次不等式二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的方法，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想。香蕉吃完了、生活委員出的數(shù)學(xué)問(wèn)題也解決了，學(xué)校也快到了。班主任吳老師提醒大家回家把今天拍的照片整理整理，下個(gè)星期交上來(lái)進(jìn)行一個(gè)“歡樂(lè)春游行”的班級(jí)攝影評(píng)比活動(dòng)，獲獎(jiǎng)同學(xué)不但有獎(jiǎng)品，他們的作品還將推薦參加學(xué)校藝術(shù)節(jié)的攝影比賽 . 買獎(jiǎng)品的任務(wù)落在了班長(zhǎng)陳斯的身上：例 5 初一（ 6 ）班計(jì)劃用 100 元購(gòu)買單價(jià)分別為 4

16、 元、 3 元、 1 元的甲、乙、丙三種獎(jiǎng)品，作為“歡樂(lè)春游行”的班級(jí)攝影評(píng)比活動(dòng)的獎(jiǎng)品。如果甲種獎(jiǎng)品不得少于 10 件，乙種獎(jiǎng)品比甲種獎(jiǎng)品多 3 件，并且購(gòu)買甲種獎(jiǎng)品的總金額不得超過(guò) 50 元，那么適合以上要求的購(gòu)買方案有幾種？請(qǐng)你協(xié)助班長(zhǎng)陳斯制訂購(gòu)買獎(jiǎng)品的方案。提示：設(shè)甲 x 件，乙 y 件，丙 z 件，根據(jù)題意得，其中 x ， y ， z 為正整數(shù)。共有三種方案：方案 1 ：甲 10 件，乙 13 件，丙 21 件；方案 2 ：甲 11 件，乙 14 件，丙 14 件；方案 3 ：甲 12 件，乙 15 件，丙 7 件。通過(guò)設(shè)置統(tǒng)一情境下 5 個(gè)不同方面的實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地參與教學(xué)活動(dòng)，發(fā)揚(yáng)數(shù)學(xué)民主，讓學(xué)生在獨(dú)立思考、合作交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生合作互助意識(shí)，提高數(shù)學(xué)交流與數(shù)學(xué)表達(dá)能力，發(fā)展學(xué)生多角度思維能力, 培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式和良好的學(xué)習(xí)氛圍，在學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功感，樹(shù)立自信心，并進(jìn)一步形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。三、課堂小結(jié)本節(jié)課我學(xué)會(huì)了使我感觸最深的是我感到最困難的是學(xué)生各抒己見(jiàn)，談出自己本節(jié)課的收獲、感想。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中體會(huì)學(xué)習(xí)方法，體驗(yàn)成功，改進(jìn)不足，以便今后更