高數(shù)A下冊第八章第一節(jié)

1、第八章第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)幾何空間中的一些圖形與方程對應(yīng)起來幾何空間中的一些圖形與方程對應(yīng)起來,用代用代數(shù)方法研究了幾何問題數(shù)方法研究了幾何問題.討論如下幾個問題討論如下幾個問題:1. 向量、向量的一些運(yùn)算向量、向量的一些運(yùn)算;2. 空間中的平面與直線空間中的平面與直線;3. 空間中的一些曲面和曲線空間中的一些曲面和曲線;4. 二次曲面二次曲面.在平面解析幾何中在平面解析幾何中,本章把這種方法運(yùn)用到三維幾何空間本章把這種方法運(yùn)用到三維幾何空間,曾通過坐標(biāo)法把二維曾通過坐標(biāo)法把二維第一節(jié)第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算向量概念向量概念向量的向量的線性運(yùn)算線

2、性運(yùn)算空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)作向量的利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算線性運(yùn)算向量的模向量的模 方向角方向角 投影投影 向量向量既有既有向量表示向量表示a模長為模長為1的向量的向量.21mm00a零向量零向量 模長為模長為0的向量的向量.0|a21mm| |向量的模向量的模 向量的大小向量的大小.單位向量單位向量或或或或或或的量的量.又有又有大小大小方向方向以以1m為起點(diǎn)為起點(diǎn),2m為終點(diǎn)的為終點(diǎn)的有向線段有向線段.21mma1m 2m 一、向量概念一、向量概念零向量的方向任意零向量的方向任意.記為記為自由向量自由向量不考慮起點(diǎn)位置的向量不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量相等向量 大小相等大小

3、相等且且方向相同方向相同的向量的向量.負(fù)向量負(fù)向量 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.a aba ba 記作記作, 0 a0 bab ),(ba ),(ab )0( 特殊地特殊地, 當(dāng)兩個向量中有一個零向量時當(dāng)兩個向量中有一個零向量時, 規(guī)定規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在 與與0之間任意取值之間任意取值.向量向量a與向量與向量b的夾角的夾角. 記為記為向量的夾角向量的夾角規(guī)定，兩向量所成的不超過規(guī)定，兩向量所成的不超過 的角度稱為的角度稱為 兩向量平行兩向量平行兩向量共線兩向量共線 兩向量平行又稱兩向量平行又稱兩向量共線兩向量共線.向量共面向量共面k個向量的起點(diǎn)平移到一起，如

4、果其終個向量的起點(diǎn)平移到一起，如果其終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個平面上，稱為點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個平面上，稱為向向量共面量共面.特別的，零向量和任意向量平行特別的，零向量和任意向量平行,也和任意向量垂直也和任意向量垂直.兩向量所成的夾角為兩向量所成的夾角為0或或 . ba/記為記為兩向量垂直兩向量垂直ba 記為記為兩向量所成的夾角為兩向量所成的夾角為 .2 加法加法cba （平行四邊形法則）（平行四邊形法則）（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）(1)加法定義加法定義二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算1. 向量的加減法向量的加減法abba b (2) 向量的加法符合

5、下列運(yùn)算規(guī)律向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律交換律交換律 ba結(jié)合律結(jié)合律 cba);(cba ;ab cba)(n個向量的加法運(yùn)算：個向量的加法運(yùn)算：前一向量的終點(diǎn)為后一向量的起點(diǎn)，相繼作出前一向量的終點(diǎn)為后一向量的起點(diǎn)，相繼作出向量，向量，由第一個向量的起點(diǎn)指向最后一個向量的由第一個向量的起點(diǎn)指向最后一個向量的終點(diǎn)的向量，就是終點(diǎn)的向量，就是n個向量的和向量個向量的和向量. 0)( aa減法減法 baabb c(3) 減法定義減法定義)( b ac兩個不等式：兩個不等式：|baba 特別的特別的即：當(dāng)兩個向量的起點(diǎn)移在一起，即：當(dāng)兩個向量的起點(diǎn)移在一起，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)由減向量的

6、終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).可以看出，可以看出， 以兩向量為鄰邊的平行四邊形的以兩向量為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線，分別表示它們的和和差兩條對角線，分別表示它們的和和差., 0 |;|aa , 0 ; 0 a , 0 . |aa aa2a21 2. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 (簡稱數(shù)乘運(yùn)算簡稱數(shù)乘運(yùn)算)注注向量向量a a 向量的數(shù)乘其實(shí)就向量的數(shù)乘其實(shí)就是向量的是向量的“伸縮伸縮”,是一個數(shù)是一個數(shù)設(shè)設(shè) 向量向量 與與a的乘積的乘積a 規(guī)定為規(guī)定為向量向量，且，且aa與與 同向同向,aa與與 反向反向,為為向量向量.與數(shù)與數(shù)的乘積的乘積(2) 數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律數(shù)與向量的乘積符合

7、下列運(yùn)算規(guī)律結(jié)合律結(jié)合律 )(a ;)(a分配律分配律 a)( 第一分配律第一分配律 )(ba 第二分配律第二分配律 )( a ;aa .ba aaa就就是是與與| 同方向的同方向的單位向量單位向量.記為記為ea. 稱為稱為向量的單位化向量的單位化.注注由向量由向量 常用數(shù)乘運(yùn)算說明常用數(shù)乘運(yùn)算說明兩向量平行關(guān)系兩向量平行關(guān)系(兩向量共線的充要條件兩向量共線的充要條件)a a與與平行平行,定理定理1.ab 使使設(shè)向量設(shè)向量 ab則則存在唯一的實(shí)數(shù)存在唯一的實(shí)數(shù) , , 0 a證證由于兩向量有數(shù)乘關(guān)系，所以兩者平行由于兩向量有數(shù)乘關(guān)系，所以兩者平行.ab 即有即有.,|反向取負(fù)值反向取負(fù)值取正值

8、取正值同向同向，且，且取取 baab (為什么？為什么？).,abab 且且再設(shè)再設(shè)，）則（則（0 a ，即即0| a . 唯一性得證唯一性得證.定理定理1是建立數(shù)軸的理論根據(jù)是建立數(shù)軸的理論根據(jù).oip任給一個點(diǎn)和一個單位向量任給一個點(diǎn)和一個單位向量 ，即決定了一個數(shù)軸，即決定了一個數(shù)軸.i在數(shù)軸上任取一點(diǎn)在數(shù)軸上任取一點(diǎn)p，opi因?yàn)橐驗(yàn)?， 根據(jù)定理根據(jù)定理1，可知，可知 存在唯一的存在唯一的x，使得，使得 ，op= x i于是，在數(shù)軸上的點(diǎn)于是，在數(shù)軸上的點(diǎn)p和實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)x之間建立了一一對應(yīng)，之間建立了一一對應(yīng)，x就稱為點(diǎn)就稱為點(diǎn)p的坐標(biāo)的坐標(biāo).定理定理1.ab 使使設(shè)向量設(shè)向量 ab

9、則則存在唯一的實(shí)數(shù)存在唯一的實(shí)數(shù) , , 0 a定理定理1是建立數(shù)軸的理論根據(jù)是建立數(shù)軸的理論根據(jù).下列命題是否正確下列命題是否正確(1) ii 2. 1,0)2( aaa時時錯錯,錯錯, 沒有定義向量的除法沒有定義向量的除法.向量不能比較大小向量不能比較大小, 只有模才能比較大小只有模才能比較大小.例例 試用向量方法證明試用向量方法證明:對角線互相平分的四邊形對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形必是平行四邊形.證證abcd mammc bmmd ad am mdmc bmbc 結(jié)論得證結(jié)論得證.bcad且且bcad x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)點(diǎn)

10、o叫做坐標(biāo)原點(diǎn)叫做坐標(biāo)原點(diǎn)(或原點(diǎn)或原點(diǎn))三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系1.1.空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)ijkoxyz稱稱坐標(biāo)系坐標(biāo)系 或或,;kjio坐標(biāo)系坐標(biāo)系.x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o 三個坐標(biāo)軸的三個坐標(biāo)軸的正方向符合正方向符合右手系右手系即以右手握住即以右手握住 z 軸軸, 當(dāng)右手的四個手指當(dāng)右手的四個手指 從正向從正向x軸以軸以 2 角度角度轉(zhuǎn)向正向轉(zhuǎn)向正向y 軸時軸時, 大拇指的指向大拇指的指向就是就是z軸的正向軸的正向. 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系1.1.空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)空間點(diǎn)的直角坐標(biāo)ijkxyzo空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有

11、八個卦限八個卦限面面xoy面面yoz面面zox空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點(diǎn)的表示特殊點(diǎn)的表示:)0 , 0 , 0(o坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn),p,q,r坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn),a,b,coxyzb), 0(zyr), 0 , 0(za)0 ,(yxq)0 , 0(yp)0 , 0 ,(x ),(zyxm對應(yīng)點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)m.任給向量任給向量 ,r omr明顯明顯i x mr2.向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)pnqrxyzooppn nm oq or op kz j y 稱為向量的稱為向量的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式 x軸軸分向量分向量 y軸軸分向量分向量 z軸軸分向量分向量向量和有序

12、實(shí)數(shù)向量和有序?qū)崝?shù)x,y,z建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，稱建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，稱),(zyx為向量的坐標(biāo)，記為為向量的坐標(biāo)，記為向量的向量的坐標(biāo)表達(dá)式坐標(biāo)表達(dá)式),(zyxr 向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)和和點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)表示方式不同表示方式不同.向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)為為(x,y,z),則表示為則表示為 .),(zyxr 點(diǎn)點(diǎn)m的坐標(biāo)的坐標(biāo)為為(x,y,z),則表示為則表示為 .),(zyxm向徑向徑稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)m關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)o的向徑的向徑.omr mrxyzo解解222)6(76| a11 |aa 0akji116117116 或或0a|aa kji116117116 a所求向量有兩個所求

13、向量有兩個,一個與一個與同向同向,一個與一個與a反向反向.|aa oa求平行于向量求平行于向量的單位向量的單位向量kjia676 例例的分解式的分解式.利用向量的坐標(biāo)，可以對向量進(jìn)行加減和數(shù)乘運(yùn)算利用向量的坐標(biāo)，可以對向量進(jìn)行加減和數(shù)乘運(yùn)算.四、利用坐標(biāo)作向量的四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算線性運(yùn)算),(zyxaaaa 設(shè)設(shè)),(zyxbbbb )()(kbjbibkajaiabazyxzyx kbajbaibazzyyxx)()()( kbjbibbkajaiaazyxzyx ,即即同理同理),(zzyyxxbabababa 即：即：向量的加減就是其坐標(biāo)對應(yīng)的加減向量的加減就是其坐標(biāo)對應(yīng)的加減

14、.),(zzyyxxbababa ),(zyxaaaa 設(shè)設(shè).kajaiaazyx 即即即：即：數(shù)與向量相乘就是數(shù)與其坐標(biāo)分別相乘數(shù)與向量相乘就是數(shù)與其坐標(biāo)分別相乘.)(kajaiaazyx kajaiazyx)()()( ),(zyxaaa 按坐標(biāo)表達(dá)式即為按坐標(biāo)表達(dá)式即為: zzyyxxababab 即即定理定理1.ab 使使設(shè)向量設(shè)向量 ab則則存在唯一的實(shí)數(shù)存在唯一的實(shí)數(shù) , 0 a ),(zyxbbb),(zyxaaa ab 所以定理所以定理1也可以表述為：也可以表述為：向量平行的充要條件為其坐標(biāo)對應(yīng)成比例向量平行的充要條件為其坐標(biāo)對應(yīng)成比例.解解 am mb設(shè)設(shè)),(zyxm為直線

15、上的點(diǎn)為直線上的點(diǎn),oxyzab例例 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)),(),(222111zyxbzyxa和和以及實(shí)數(shù)以及實(shí)數(shù), 1 在直線在直線ab上求點(diǎn)上求點(diǎn)m, 使使mbam ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx ,121 xxx,121 yyy.121 zzz同理同理,得得的定比分點(diǎn)的定比分點(diǎn)為有向線段為有向線段abmm 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影1.向量的模向量的模 mrpnqrxyzo omr因?yàn)橐驗(yàn)閛poq or i x kz j y 所以所以 |r222|or|oq|op| 22

16、2zyx 向量模的坐標(biāo)表達(dá)式向量模的坐標(biāo)表達(dá)式.、設(shè)設(shè)),(1111zyxm),(2222zyxm為空間兩點(diǎn)為空間兩點(diǎn).2.空間兩點(diǎn)間點(diǎn)的距離空間兩點(diǎn)間點(diǎn)的距離 21221221221zzyyxxmm 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式因?yàn)橐驗(yàn)樗运?2mxyzo 1m21mm2om 1om ),(),(111222zyxzyx ),(121212zzyyxx 練習(xí)練習(xí)1 求證以求證以 為頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰的的三角形是等腰的.)3 , 2 , 5(),2 , 1 , 7(),1 , 3 , 4(321mmm練習(xí)練習(xí)2在在z軸上求一點(diǎn)，使其與軸上求一點(diǎn)，使其與距離相等距離相等.)2,

17、5 , 3(),7 , 1 , 4( ba練習(xí)練習(xí)3已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn))3 , 1 , 7(),5 , 0 , 4(ba求與求與ab同方向的單位向量同方向的單位向量.14(0,0,)9m1(3,1, 2)14e 3.方向角與方向余弦方向角與方向余弦非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱之為非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱之為非零向量非零向量 的的方向角方向角：a 、 、 ,0 ,0 .0 xyzoa 設(shè)設(shè)向量的方向余弦向量的方向余弦|cosomx xyzoa pqr因?yàn)橐驗(yàn)閤就是有向線段就是有向線段op的值，的值，),(zyxa m所以在直角三角形所以在直角三角形opm中，中，|ax |cosom

18、y |ay |cosomz |az 222coscoscos方向余弦的特征方向余弦的特征1 aa|1特別地特別地oa )cos,cos,(cos 即：即：以某向量的方向余弦為坐標(biāo)的向量是和以某向量的方向余弦為坐標(biāo)的向量是和原向量同方向的單位向量原向量同方向的單位向量.或者說：或者說：以某向量的方向余弦為坐標(biāo)的向量以某向量的方向余弦為坐標(biāo)的向量將原向量單位化將原向量單位化.解解,32 ,3 .43 ,21cos 例例 設(shè)有兩點(diǎn)設(shè)有兩點(diǎn) 計(jì)算計(jì)算的模、方向余弦與方向角的模、方向余弦與方向角.21mm),0 , 3 , 1(),2, 2 , 2(21mm21mm).2, 1 , 1( 21mm| |

19、. 2 ,21cos .22cos 解解,3 4 1coscoscos222 ,41cos2 22cos ,21cos 又因?yàn)辄c(diǎn)又因?yàn)辄c(diǎn)a在第一卦限，在第一卦限，例例oa, 6| oa與與x軸和軸和y軸的軸的夾角分別為夾角分別為,43 和和求求a的坐標(biāo)的坐標(biāo).0cos ,21cos 已知點(diǎn)已知點(diǎn)a在第一卦限，并且在第一卦限，并且所以所以oa | |oa)cos,cos,(cos ).3 , 23 , 3( 解解 、 、 ,3 4 1coscoscos222 21cos ,3 32 22cos ,21cos 設(shè)有向量設(shè)有向量例例,21pp已知已知, 2|21 pp它與它與x軸和軸和y軸的軸的夾角

20、分別為夾角分別為,43 和和如果如果p1的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1,0,3),求求p2的坐標(biāo)的坐標(biāo).設(shè)向量設(shè)向量21pp的方向角為的方向角為|)(cos2121pppp cos21 x21, 2 x cos20 y22 , 2 y23 z, 2, 4 zz).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 |121ppx ),3 , 0 , 1(1p2|21 pp設(shè)設(shè)p2的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為),(zyxx|021ppy cos|321ppz p2的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為這時稱點(diǎn)這時稱點(diǎn)p為為點(diǎn)點(diǎn)m在在x軸上的投影軸上的投影.記為記為xyzo mrpqr現(xiàn)在考慮向量現(xiàn)在考慮向量與與x軸的關(guān)系：軸的關(guān)系：r的分向量的

21、分向量ropi x 且且 cos|rx 稱稱 為為向量向量 在在x軸上的分向量軸上的分向量.opr稱實(shí)數(shù)稱實(shí)數(shù)x為為向量向量 在在x軸上的投影軸上的投影.rrjxprxr)(或或由此可見，由此可見，向量的坐標(biāo)就是向量在坐標(biāo)軸上的投影向量的坐標(biāo)就是向量在坐標(biāo)軸上的投影.4.向量在軸上的投影向量在軸上的投影abjupr cos| ab 在軸在軸u上的上的向量向量ab軸與向量的夾角的余弦：軸與向量的夾角的余弦：投影性質(zhì)投影性質(zhì)1 1投影等于向量的模乘以投影等于向量的模乘以 cos|)(ababu b abu )(pr21aaju（可推廣到有限多個）（可推廣到有限多個） )(praju 兩個向量的和在

22、軸上的投影等于兩個向量兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在該軸上的投影之和在該軸上的投影之和. 1praju2prajuajupr 投影性質(zhì)投影性質(zhì)2 2投影性質(zhì)投影性質(zhì)3 3證明作為課下練習(xí)證明作為課下練習(xí)解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji kji15713 ,742,853kjinkjim 設(shè)設(shè),45kjip 求向量求向量例例x軸上的軸上的pnma 34投影及在投影及在y軸上的分向量軸上的分向量.在在x軸上的投影為軸上的投影為,13 xa在在y軸上的分向量為軸上的分向量為.17 jjay kji15713 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,742,853kjinkjim 設(shè)設(shè),45kjip 求求例例pnma