八上幾何部分拔高練習(xí)冊(共188頁)

1、1 目錄P1 - P14 全等三角形 50 例難題P15-P42 全等三角形 50 例難題答案P43-P50 全等三角形輔助線作法 1P51-P74 全等三角形輔助線作法 2P75-P78 全等三角形試題 1P79-P98 全等三角形試題 1 答案P99-P109 第十一章三角形 綜合 1 及答案P110-P130 第十一章三角形 難題（無答案）P131-P138 第十一章尖子測試題P139-P144 第十一章尖子測試題（答案）P145-P148 第十一章三角形 綜合 2P149-P159 第十一章三角形 綜合 2（答案）P160-P168 第十三章軸對稱測試題P169-P192 第十三章軸對

2、稱答案21.已知：AB=4，AC=2，D 是 BC 中點(diǎn)，AD 是整數(shù)，求 ADADBC2.已知：D 是 AB 中點(diǎn)，ACB=90，求證：12CDABDABC3.已知：BC=DE，B=E，C=D，F(xiàn) 是 CD 中點(diǎn)，求證：1=2ABCDEF214.已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求證：EF=ACBACDF21E35.已知：AD 平分BAC，AC=AB+BD，求證：B=2CCDB6.已知：AC 平分BAD，CEAB，B+D=180，求證：AE=AD+BE7.已知：AB=4，AC=2，D 是 BC 中點(diǎn)，AD 是整數(shù)，求 ADADBC8.已知：D 是 AB 中點(diǎn)，ACB=90，求證：12CD

3、ABA4DABC9.已知：BC=DE，B=E，C=D，F(xiàn) 是 CD 中點(diǎn)，求證：1=2ABCDEF2110. 已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求證：EF=ACBACDF21E11. 已知：AD 平分BAC，AC=AB+BD，求證：B=2CCDB12. 已知：AC 平分BAD，CEAB，B+D=180，求證：AE=AD+BEA512. 如圖，四邊形 ABCD 中，ABDC，BE、CE 分別平分ABC、BCD，且點(diǎn) E 在 AD上。求證：BC=AB+DC。13.已知：AB/ED，EAB=BDE，AF=CD，EF=BC，求證：F=CDCBAFE14. 已知：AB=CD，A=D，求證：B=CAB

4、CD15. P 是BAC 平分線 AD 上一點(diǎn)，ACAB，求證：PC-PBAC-AB6PDACB16. 已知ABC=3C，1=2，BEAE，求證：AC-AB=2BE17. 已知，E 是 AB 中點(diǎn)，AF=BD，BD=5，AC=7，求 DCFAEDCB18 （5 分）如圖，在ABC 中，BD=DC，1=2，求證：ADBC19 （5 分）如圖，OM 平分POQ，MAOP,MBOQ，A、B 為垂足，AB 交 OM 于點(diǎn)N求證：OAB=OBA20 （5 分）如圖，已知 ADBC，PAB 的平分線與CBA 的平分線相交于 E，CE 的連線交 AP 于 D求證：AD+BC=ABPEDCBA721 （6 分

5、）如圖，ABC 中，AD 是CAB 的平分線，且 AB=AC+CD，求證：C=2B22 （6 分）如圖，E、F 分別為線段 AC 上的兩個(gè)動點(diǎn)，且 DEAC 于 E，BFAC 于F，若 AB=CD，AF=CE，BD 交 AC 于點(diǎn) M（1）求證：MB=MD，ME=MF（2）當(dāng) E、F 兩點(diǎn)移動到如圖的位置時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由 23 （7 分）已知：如圖，DCAB，且 DC=AE，E 為 AB 的中點(diǎn)，（1）求證：AEDEBC（2）觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除EBC 外，請?jiān)賹懗鰞蓚€(gè)與AED 的面積相等的三角形 （直接寫出結(jié)果，不要求證明

6、）：24 （7 分）如圖，ABC 中，BAC=90 度，AB=AC，BD 是ABC 的平分線，BD 的延長線垂直于過 C 點(diǎn)的直線于 E，直線 CE 交 BA 的延長線于 F求證：BD=2CEOEDCBAFEDCBADCBA825、 （10 分）如圖：DF=CE，AD=BC，D=C。求證：AEDBFC26、 （10 分）如圖：AE、BC 交于點(diǎn) M，F(xiàn) 點(diǎn)在 AM 上，BECF，BE=CF。求證：AM 是ABC 的中線。 27、 （10 分）如圖：在ABC 中，BA=BC，D 是 AC 的中點(diǎn)。求證：BDAC。 28、 （10 分）AB=AC，DB=DC，F(xiàn) 是 AD 的延長線上的一點(diǎn)。求證：

7、BF=CF29、 （12 分）如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。MFECBADCBAFDCBAFEDCBAFEDCBA930.公園里有一條“Z”字形道路 ABCD，如圖所示，其中 ABCD，在 AB，CD，BC 三段路旁各有一只小石凳 E，F(xiàn)，M，且 BECF，M 在 BC 的中點(diǎn)，試說明三只石凳 E，F(xiàn)，M恰好在一條直線上.31已知：點(diǎn)A、F、E、C在同一條直線上， AFCE，BEDF，BEDF求證：ABECDF32.已知：如圖所示，ABAD，BCDC，E、F 分別是 DC、BC 的中點(diǎn)，求證： AEAF。 33如圖，在四邊形 ABCD 中，E 是 AC 上的一點(diǎn)，

8、1=2，3=4，求證: 5=6 34已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求證： ABCDEFDBCcAFE6 65 54 43 32 21 1E ED DC CB BA A10DCBAE35已知：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為 D、E，BD、CE 相交于點(diǎn) F，求證：BE=CD36.如圖，在ABC 中，AD 為BAC 的平分線，DEAB 于 E，DFAC 于 F。求證：DE=DF37.已知：如圖, ACBC 于 C , DEAC 于 E , ADAB 于 A , BC =AE若 AB = 5 ,求 AD 的長？38如圖：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分別

9、為 E、F，ME=MF。求證：MB=MCACBDEFAEBDCFBCMAFE1139.如圖，給出五個(gè)等量關(guān)系： ADBCACBDCEDEDC 請你以其中兩個(gè)為條件，另三個(gè)中的一個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確的結(jié)DABCBA 論（只需寫出一種情況） ，并加以證明已知：求證：證明：40在ABC 中，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，90ACBBCAC MNCMNAD D于.(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖 1 的位置時(shí)，求證： MNBE EMNCADC；CEBBEADDE(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖 2 的位置時(shí)， （1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證MNC明；若不成立，說明理由.41如圖所示，已知 AEAB，AFAC，AE=A

10、B，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）ECBFABCAEBMCF1242如圖：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AMAN。43如圖,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BCEF44如圖,已知 ACBD，EA、EB 分別平分CAB 和DBA，CD 過點(diǎn) E，則 AB 與AC+BD 相等嗎？請說明理由45、 （10 分） 如圖,已知: AD 是 BC 上的中線 ,且 DF=DE求證:BECFFBCAMNE12341346、(10 分)已知：如圖，ABCD，DEAC，BFAC，E，F(xiàn) 是垂足，DEBF求證：ABCD47、(10 分)如

11、圖，已知1=2，3=4，求證：AB=CD 48、 (10 分)如圖，已知 ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，試猜想線段 CE 與 DE的大小與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 49、 (10 分)如圖，已知 ABDC，ACDB，BECE，求證：AEDE.ACEDBADECBFABECD.3421DCBA1450、如圖 9 所示，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，AD 是 BC 邊上的中線，過C 作 AD 的垂線，交 AB 于點(diǎn) E，交 AD 于點(diǎn) F，求證：ADCBDE ABCDEF圖 915答案答案1.已知：AB=4，AC=2，D 是 BC 中點(diǎn)，AD 是整數(shù)，求 ADADBC解：延長

12、AD 到 E,使 AD=DED 是 BC 中點(diǎn)BD=DC 在ACD 和BDE 中AD=DEBDE=ADCBD=DCACDBDEAC=BE=2在ABE 中 AB-BEAEAB+BEAB=4即 4-22AD4+21AD3AD=21.已知：D 是 AB 中點(diǎn)，ACB=90，求證：12CDABDABC16延長 CD 與 P，使 D 為 CP 中點(diǎn)。連接 AP,BPDP=DC,DA=DBACBP 為平行四邊形又ACB=90平行四邊形 ACBP 為矩形AB=CP=1/2AB2.已知：BC=DE，B=E，C=D，F(xiàn) 是 CD 中點(diǎn)，求證：1=2ABCDEF21證明：連接 BF 和 EF BC=ED,CF=D

13、F,BCF=EDF 三角形 BCF 全等于三角形 EDF(邊角邊) BF=EF,CBF=DEF連接 BE在三角形 BEF 中,BF=EF EBF=BEF。 ABC=AED。 ABE=AEB。 AB=AE。在三角形 ABF 和三角形 AEF 中AB=AE,BF=EF,ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF 三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。 BAF=EAF (1=2)。3.已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求證：EF=ACBACDF21E17過 C 作 CGEF 交 AD 的延長線于點(diǎn) GCGEF，可得，EFDCGDDEDCFDEGDC（對頂角）EFDCGDEFCGCGDEFD

14、又，EFAB，EFD11=2CGD2AGC 為等腰三角形，ACCG又 EFCGEFAC4.已知：AD 平分BAC，AC=AB+BD，求證：B=2C證明：延長 AB 取點(diǎn) E，使 AEAC，連接 DEAD 平分BACEADCADAEAC，ADADAEDACD （SAS）ECACAB+BDAEAB+BDAEAB+BEBDBEBDEEABCE+BDEABC2EABC2CA185.已知：AC 平分BAD，CEAB，B+D=180，求證：AE=AD+BE證明： 在 AE 上取 F，使 EFEB，連接 CF CEAB CEBCEF90 EBEF，CECE， CEBCEF BCFE BD180，CFECFA

15、180 DCFA AC 平分BAD DACFAC ACAC ADCAFC（SAS） ADAF AEAFFEADBE6.已知：AB=4，AC=2，D 是 BC 中點(diǎn)，AD 是整數(shù)，求 ADADBC解：延長 AD 到 E,使 AD=DED 是 BC 中點(diǎn)BD=DC在ACD 和BDE 中19AD=DEBDE=ADCBD=DCACDBDEAC=BE=2在ABE 中 AB-BEAEAB+BEAB=4即4-22AD4+21AD3AD=27.已知：D 是 AB 中點(diǎn)，ACB=90，求證：12CDABDABC解：延長 AD 到 E,使 AD=DED 是 BC 中點(diǎn)BD=DC在ACD 和BDE 中AD=DEBD

16、E=ADCBD=DCACDBDEAC=BE=2在ABE 中 AB-BEAEAB+BEAB=4即4-22AD4+21AD3AD=2208.已知：BC=DE，B=E，C=D，F(xiàn) 是 CD 中點(diǎn)，求證：1=2ABCDEF21證明：連接 BF 和 EF。 BC=ED,CF=DF,BCF=EDF。 三角形 BCF 全等于三角形 EDF(邊角邊)。 BF=EF,CBF=DEF。連接 BE。在三角形 BEF 中,BF=EF。 EBF=BEF。又 ABC=AED。 ABE=AEB。 AB=AE。在三角形 ABF 和三角形 AEF 中，AB=AE,BF=EF,ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF。 三

17、角形 ABF 和三角形 AEF 全等。 BAF=EAF (1=2)。9.已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求證：EF=ACBACDF21E過 C 作 CGEF 交 AD 的延長線于點(diǎn) GCGEF，可得，EFDCGDDEDCFDEGDC（對頂角）EFDCGD21EFCGCGDEFD又 EFABEFD11=2CGD2AGC 為等腰三角形，ACCG又 EFCGEFAC10. 已知：AD 平分BAC，AC=AB+BD，求證：B=2CCDB證明：延長 AB 取點(diǎn) E，使 AEAC，連接 DEAD 平分BACEADCADAEAC，ADADAEDACD （SAS）ECACAB+BDAEAB+BDAEAB

18、+BEBDBEBDEEABCE+BDEABC2EABC2C11. 已知：AC 平分BAD，CEAB，B+D=180，求證：AE=AD+BEA22在 AE 上取 F，使 EFEB，連接 CF CEAB CEBCEF90 EBEF，CECE， CEBCEF BCFE BD180，CFECFA180 DCFA AC 平分BAD DACFAC 又ACAC ADCAFC（SAS） ADAF AEAFFEADBE12. 如圖，四邊形 ABCD 中，ABDC，BE、CE 分別平分ABC、BCD，且點(diǎn) E 在 AD上。求證：BC=AB+DC。在 BC 上截取 BF=AB，連接 EFBE 平分ABCABE=FB

19、E又BE=BEABEFBE（SAS）A=BFE23AB/CDA+D=180BFE+CFE=180D=CFE又DCE=FCE CE 平分BCD CE=CEDCEFCE（AAS）CD=CFBC=BF+CF=AB+CD13.已知：AB/ED，EAB=BDE，AF=CD，EF=BC，求證：F=CDCBAFEABED，得：EAB+AED=BDE+ABD=180 度，EAB=BDE，AED=ABD，四邊形 ABDE 是平行四邊形。得：AE=BD，AF=CD,EF=BC，三角形 AEF 全等于三角形 DBC，F(xiàn)=C。14. 已知：AB=CD，A=D，求證：B=CABCD證明：設(shè)線段 AB,CD 所在的直線交

20、于 E， （當(dāng) ADBC 時(shí)，E 點(diǎn)是射線 AB,DC 的交點(diǎn)） 。則：AED 是等腰三角形。AE=DE而 AB=CDBE=CE (等量加等量，或等量減等量）BEC 是等腰三角形B=C.2415. P 是BAC 平分線 AD 上一點(diǎn)，ACAB，求證：PC-PBDE。當(dāng)AEB 越小，則 DE 越小。證明：過 D 作 AE 平行線與 AC 交于 F，連接 FB由已知條件知 AFDE 為平行四邊形，ABEC 為矩形 ，且DFB 為等腰三角形。RTBAE 中，AEB 為銳角，即AEB90DF/AE FDB=AEB45RTAFB 中，F(xiàn)BA=90-DBF 45ABAFAB=CE AF=DECEDEACE

21、DB4249、 (10 分)如圖，已知 ABDC，ACDB，BECE，求證：AEDE.AB=DC,AC=DB，BC=BCABCDCB，ABC=DCB又BE=CE，AB=DCABEDCEAE=DE50如圖 9 所示，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，AD 是 BC 邊上的中線，過C 作 AD 的垂線，交 AB 于點(diǎn) E，交 AD 于點(diǎn) F，求證：ADCBDEABCDEF圖 9作 CGAB,交 AD 于 H,則ACH=45,BCH=45CAH=90-CDA, BCE=90-CDA CAH=BCE又AC=CB, ACH=B=45ACHCBE, CH=BE又DCH=B=45, CD=DBCFDBE

22、DADC=BDE ABECD43全等三角形中的常見輔助線的添加方法舉例全等三角形中的常見輔助線的添加方法舉例一一有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖：已知如圖：已知 ADAD 為為ABCABC 的中線，且的中線，且112,32,34,4,求證：求證：BEBECFCFEFEF。分析：要證 BECFEF ，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把 BE，CF，EF 移到同一個(gè)三角形中，而由已知12，34， 可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把 EN，F(xiàn)N，EF 移到同一個(gè)三角形中。N4321FEDCBA44EDFCBAOEDCBA練習(xí)：如圖，已知在AB

23、C 中，B=60，ABC 的角平分線 AD,CE 相交于點(diǎn) O，求證：OE=OD二、二、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖：AD 為ABC 的中線，且12，34，求證：BECFEF練習(xí)：如圖，ABC 中，E、F 分別在 AB、AC 上，DEDF，D 是 BC 中點(diǎn)，試比較 BE+CF 與EF 的大小.M4321FEDCBA45DCBA三、三、有三角形中線時(shí)，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例：如圖例：如圖 3 3：ADAD 為為 ABCABC 的中線，求證：的中線，求證：ABABACAC2AD2AD。分析：要證 ABAC2AD，由圖想到： ABBDAD,AC

24、CDAD，所以有ABAC BDCDADAD2AD，左邊比要證結(jié)論多 BDCD，故不能直接證出此題，而由 2AD 想到要構(gòu)造 2AD，即加倍中線， 把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。 圖圖 3 3練習(xí)：1、已知，如圖ABC 中，AB=5，AC=3，則中線 AD 的取值范圍是_.2、已知ABC，AD 是 BC 邊上的中線，分別以 AB 邊、AC 邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖 4， 求證 EF2AD。 ABCDE46DCBA四、截長補(bǔ)短法作輔助線。例如：已知如圖例如：已知如圖 5 5：在：在ABCABC 中，中，ABABACAC，1122，P P 為為 ADAD 上任一點(diǎn)。上任一點(diǎn)。

25、求證：求證：ABABACACPBPBPCPC。分析：要證：ABACPBPC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之， 因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊 ABAC，故可在 AB 上截取 AN 等于 AC，得ABACBN， 再連接 PN，則 PCPN，又在PNB 中，PBPNBN，即：AB ACPBPC。練習(xí)：如圖，在四邊形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分，ABC求證： 0180CA ABCDEF4圖ABCDNMP5圖1247五、五、延長已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖例如：如圖 6 6：已知：已知 ACACBDBD，CAD=CBDCAD=CBD，求證：求證：AD

26、ADBCBC分析：欲證 ADBC，先證分別含有 AD，BC 的三角形全等，有幾種 方案：ADC 與BCD，AOD 與BOC，ABD 與BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。六、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來六、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。解決。例如：如圖例如：如圖 7 7：ABCDABCD，ADBCADBC 求證：求證：AB=CDAB=CD。分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。七、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長。七、有和角平分線垂

27、直的線段時(shí)，通常把這條線段延長。例如：如圖 8：在 RtABC 中，ABAC，BAC90，12，CEBD 的延長于 E 。求證：BD2CE 分析：要證 BD2CE，想到要構(gòu)造線段 2CE，同時(shí) CE 與ABC 的 平分線垂直，想到要將其延長。ABCDE6圖OABCD123421EDCBA48 八、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖例如：已知：如圖 9 9；ACAC、BDBD 相交于相交于 O O 點(diǎn)，且點(diǎn)，且 ABABDCDC，ACACBDBD，求證：，求證：AADD。分析：要證AD，可證它們所在的三角形ABO 和DCO 全等，而只有ABDC 和對頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件， ，難以證

28、其全等，只有另尋其它的三角形全等，由 ABDC，ACBD，若連接 BC，則ABC 和DCB 全等，所以，證得AD。九、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。九、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖例如：如圖 1010：ABABDCDC，AADD 求證：求證：ABCABCDCBDCB。分析：由 ABDC，AD，想到如取 AD 的中點(diǎn) N，連接 NB，NC，再由 SAS公理有ABNDCN，故 BNCN，ABNDCN。下面只需證NBCNCB，再取 BC 的中點(diǎn) M，連接 MN，則由 SSS 公理有NBMNCM，所以NBCNCB。問題得證。DCBA圖9O10圖DCBAMN49FEDCBA十、旋轉(zhuǎn)十、旋轉(zhuǎn)例 1 正

29、方形 ABCD 中，E 為 BC 上的一點(diǎn)，F(xiàn) 為 CD 上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF 的度數(shù). 例 2 如圖，是邊長為 3 的等邊三角形，是等腰三角形，且，ABCBDC0120BDC以 D 為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交 AB 于點(diǎn) M，交 AC 于點(diǎn) N，連接 MN，則060的周長為 ；AMN應(yīng)用：應(yīng)用：1、已知四邊形中，ABCDABADBCCDABBC120ABC ，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）60MBN MBNBADDC，于EF，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖 1） ，易證MBNBAECFAECFEF當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖 2 和圖 3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否成MBNBA

30、ECF立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出AECF，EF你的猜想，不需證明BCDNMA（圖 1）ABCDEFMN（圖 2）ABCDEFMN（圖 3）ABCDEFMN502、在等邊的兩邊 AB、AC 所在直線上分別有兩點(diǎn) M、N，D 為外一點(diǎn)，且ABCABC,BD=DC. 探究：當(dāng) M、N 分別在直線 AB、AC 上移動時(shí)，60MDN120BDCBM、NC、MN 之間的數(shù)量關(guān)系及的周長 Q 與等邊的周長 L 的關(guān)系A(chǔ)MNABC圖 1 圖 2 圖 3（I）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) M、N 邊 AB、AC 上，且 DM=DN 時(shí)，BM、NC、MN 之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ；

31、LQ（II）如圖 2，點(diǎn) M、N 邊 AB、AC 上，且當(dāng) DMDN 時(shí)，猜想（I）問的兩個(gè)結(jié)論51還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖 3，當(dāng) M、N 分別在邊 AB、CA 的延長線上時(shí)，若 AN=，則 Q= （用、L 表示） xx全等三角形問題中常見的輔助線的作法全等三角形問題中常見的輔助線的作法( (有答案有答案) )總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個(gè)角總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個(gè)角之間的相等之間的相等【三角形輔助線做法三角形輔助線做法】圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對折

32、看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。 角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)。 三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長中線等中線。1.1.等腰三角形等腰三角形“三線合一三線合一”法：法：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三52線合一”的性質(zhì)解題2.2.倍長中線：倍長中線：倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形3.3.角平分線在三種添輔助線角平分線在三種添輔助線4.4.垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端5.5.用用“截長法截長法”或或“補(bǔ)短法補(bǔ)短法”： 遇到有二條線段長之和等于第三

33、條線段的長，遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長，6.6.圖形補(bǔ)全法：圖形補(bǔ)全法：有一個(gè)角為有一個(gè)角為 6060 度或度或 120120 度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7.7.角度數(shù)為角度數(shù)為 3030、6060 度的作垂線法：度的作垂線法：遇到三角形中的一個(gè)角為遇到三角形中的一個(gè)角為 3030 度或度或 6060 度，度，可以從角一邊上一點(diǎn)向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成可以從角一邊上一點(diǎn)向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成 30-60-9030-60-90 的特殊直角三角形，然后的特殊直角三角形，然后計(jì)算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角。

34、從而為證明全計(jì)算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角。從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。8.8.計(jì)算數(shù)值法：計(jì)算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形，正方形時(shí)，或遇到等腰直角三角形，正方形時(shí)，或 30-60-9030-60-90 的特殊直角三角形，的特殊直角三角形，或或 40-60-8040-60-80 的特殊直角三角形的特殊直角三角形, ,常計(jì)算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等常計(jì)算邊的長度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角，從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。的二條邊或二個(gè)角，從而為證明全等

35、三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個(gè)角之間的相等。個(gè)角之間的相等。1)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”法構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形2)遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 法構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形3)遇到角平分線在三種添輔助線的方法， （1）可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等

36、變換中的“對折” ，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理 （2）可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對全等三角形。 （3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點(diǎn)相等長度的位置上截取二點(diǎn)，然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線，構(gòu)造一對全等三角形。4)過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的53DCBAEDFCBA“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5)截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目6)已知某

37、線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線，出一對全等三角形。特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答一、倍長中線（線段）造全等一、倍長中線（線段）造全等例 1、 （“希望杯”試題）已知，如圖ABC 中，AB=5，AC=3，則中線 AD 的取值范圍是_.例2、如圖，ABC 中，E、F 分別在 AB、AC 上，DEDF，D 是中點(diǎn)，試比較 BE+CF 與 EF 的大小.例 3、如圖，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中點(diǎn)，求證：AD 平分BAE.EDCBA54應(yīng)用：應(yīng)用：1、 （09崇文二

38、模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰RtABCABD，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與DEACE90 ,BADCAE 的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是 ，ABC線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(0AD+AE.EDCBA57OEDCBA四、借助角平分線造全等四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分線 AD,CE 相交于點(diǎn) O，求證：OE=OD2、如圖，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）

39、說明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=，AC=，求 AE、BE 的長.ab應(yīng)用：應(yīng)用：1、如圖，OP 是MON 的平分線，請你利用該圖形畫一對以 OP 所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分別是BAC、BCA 的平分線，AD、CE 相交于點(diǎn) F。請你判斷并寫出 FE 與 FD 之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。EDGFCBA(第 23 題圖)OPAMNE

40、BCDFACEFBD圖圖圖58NMEFACBAFEDCBA五、旋轉(zhuǎn)五、旋轉(zhuǎn)例1 正方形 ABCD 中，E 為 BC 上的一點(diǎn)，F(xiàn) 為 CD 上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF 的度數(shù). 例 2 D 為等腰斜邊 AB 的中點(diǎn)，DMDN,DM,DN 分別交 BC,CA 于點(diǎn) E,F。Rt ABC（1）當(dāng)繞點(diǎn) D 轉(zhuǎn)動時(shí)，求證 DE=DF。MDN（2）若 AB=2，求四邊形 DECF 的面積。例 3 如圖，是邊長為 3 的等邊三角形，是等腰三角形，且，ABCBDC0120BDC以 D 為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交 AB 于點(diǎn) M，交 AC 于點(diǎn) N，連接 MN，則060的周長為 ；AMN59BC

41、DNMA應(yīng)用：應(yīng)用：1、已知四邊形中，ABCDABADBCCDABBC120ABC ，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）60MBN MBNBADDC，于EF，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖 1） ，易證MBNBAECFAECFEF當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖 2 和圖 3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否成MBNBAECF立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出AECF，EF你的猜想，不需證明2、 （西城 09 年一模）已知:PA=,PB=4,以 AB 為一邊作正方形 ABCD,使 P、D 兩點(diǎn)落在2直線 AB 的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)APB=45時(shí),求 AB 及 PD 的長;(2)當(dāng)

42、APB 變化,且其它條件不變時(shí),求 PD 的最大值,及相應(yīng)APB 的大小.（圖 1）ABCDEFMN（圖 2）ABCDEFMN（圖 3）ABCDEFMN603、在等邊的兩邊 AB、AC 所在直線上分別有兩點(diǎn) M、N，D 為外一點(diǎn)，且ABCABC,BD=DC. 探究：當(dāng) M、N 分別在直線 AB、AC 上移動時(shí)，60MDN120BDCBM、NC、MN 之間的數(shù)量關(guān)系及的周長 Q 與等邊的周長 L 的關(guān)系A(chǔ)MNABC圖 1 圖 2 圖 3（I）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) M、N 邊 AB、AC 上，且 DM=DN 時(shí)，BM、NC、MN 之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ； LQ（II）如圖 2，點(diǎn) M、N 邊 AB

43、、AC 上，且當(dāng) DMDN 時(shí)，猜想（I）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖 3，當(dāng) M、N 分別在邊 AB、CA 的延長線上時(shí)，若 AN=，則 Q= （用、L 表示） xx61DCBAEDFCBA 參考答案與提示參考答案與提示一、倍長中線（線段）造全等一、倍長中線（線段）造全等例 1、 （“希望杯”試題）已知，如圖ABC 中，AB=5，AC=3，則中線 AD 的取值范圍是_.解：延長 AD 至 E 使 AE2AD，連 BE，由三角形性質(zhì)知AB-BE 2ADAB+BE 故 AD 的取值范圍是 1AD4例2、如圖，ABC 中，E、F 分別在 AB、AC 上，DEDF

44、，D 是中點(diǎn)，試比較 BE+CF 與 EF 的大小.解：(倍長中線倍長中線, ,等腰三角形“三線合一”法)延長 FD 至 G 使 FG2EF，連 BG，EG,顯然 BGFC，在EFG 中，注意到 DEDF，由等腰三角形的三線合一知EGEF在BEG 中，由三角形性質(zhì)知EGBG+BE 故：EFBE+FC例 3、如圖，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中點(diǎn)，求證：AD 平分BAE.EDCBA 解：延長 AE 至 G 使 AG2AE，連 BG，DG,顯然 DGAC， GDC=ACD由于 DC=AC，故 ADC=DAC在ADB 與ADG 中， BDAC=DG，ADAD，ADB=ADC+ACD

45、=ADC+GDCADG62故ADBADG，故有BAD=DAG，即 AD 平分BAE應(yīng)用：應(yīng)用：1、 （09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰ABDRt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與ACE90 ,BADCAE DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是 ，ABC線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(090)后，如圖所示，ABD（1）問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由解：（1），；AMED2EDAM 證明：延長 AM 到 G，使，連 BG，則 ABGC 是平行四邊形AMMG

46、，BGAC 180BACABG又180BACDAEDAEABG再證：ABGDAE，AMDE2EDABAG延長 MN 交 DE 于 H90DAHBAG90DAHHDAEDAM （2）結(jié)論仍然成立證明：如圖，延長 CA 至 F，使，F(xiàn)A 交 DE 于點(diǎn) P，并連接 BFFAAC ，BADA AFEA EADDAFBAF90在和中FABEADABCGCHABDMNEFCPABDMNE63EDCBADABAEADBAFAEFA（SAS）EADFAB，DEBF AENF90AENAPEFFPDDEFB 又，AFCA MBCM ，且FBAM /FBAM21，DEAM DEAM21二、截長補(bǔ)短二、截長補(bǔ)短1

47、、如圖，中，AB=2AC，AD 平分，且 AD=BD，求證：CDACABCBAC解：（截長法）在 AB 上取中點(diǎn) F，連 FDADB 是等腰三角形，F(xiàn) 是底 AB 中點(diǎn)，由三線合一知DFAB，故AFD90ADFADC（SAS）ACDAFD90即：CDAC2、如圖，ADBC，EA,EB 分別平分DAB,CBA，CD 過點(diǎn) E，求證;ABAD+BC解：（截長法）在 AB 上取點(diǎn) F，使 AFAD，連 FEADEAFE（SAS）ADEAFE，64DCBAPQCBAADE+BCE180AFE+BFE180故ECBEFBFBECBE（AAS）故有 BFBC從而;ABAD+BC3、如圖，已知在ABC 內(nèi)，

48、P，Q 分別在 BC，CA 上，并且060BAC040CAP，BQ 分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BPBACABC解：（補(bǔ)短法, 計(jì)算數(shù)值法）延長 AB 至 D，使 BDBP，連 DP在等腰BPD 中，可得BDP40從而BDP40ACPADPACP（ASA）故 ADAC又QBC40QCB 故 BQQCBDBP從而 BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分，ABC求證： 0180CA解：（補(bǔ)短法）延長 BA 至 F，使 BFBC，連 FDBDFBDC（SAS）故DFBDCB ，F(xiàn)DDC又 ADCD故在等腰BFD 中DFBDAF故有BAD

49、+BCD18065P21DCBA5、如圖在ABC 中，ABAC，12，P 為 AD 上任意一點(diǎn)，求證;AB-ACPB-PC解：（補(bǔ)短法）延長 AC 至 F，使 AFAB，連 PDABPAFP（SAS）故 BPPF由三角形性質(zhì)知PBPCPFPC BF=BA+AF=BA+AC從而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=PA例 2 如圖，在ABC 的邊上取兩點(diǎn) D、E，且 BD=CE，求證：AB+ACAD+AE.證明：取 BC 中點(diǎn) M,連 AM 并延長至 N,使 MN=AM,連 BN,DN. BD=CE,DM=EM,67OEDCBADMNEMA(SAS),DN=AE,同理 BN=CA.

50、延長 ND 交 AB 于 P,則 BN+BPPN,DP+PAAD,相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各減去 DP,得 BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分線造全等四、借助角平分線造全等1、如圖，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分線 AD,CE 相交于點(diǎn) O，求證：OE=OD，DC+AE =AC證明(角平分線在三種添輔助線,計(jì)算數(shù)值法)B=60 度,則BAC+BCA=120 度;AD,CE 均為角平分線,則OAC+OCA=60 度=AOE=COD;AOC=120 度.在 AC 上截取線段 AF=AE,連接 OF.又 AO=AO;OAE=OAF.則OAEOA

51、F(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF=AOE=60 度.則COF=AOC-AOF=60 度=COD;又 CO=CO;OCD=OCF.故OCDOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如圖，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）說明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=，AC=，求 AE、BE 的長.ab解：解：( (垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端) )連接連接 BDBD，DCDCDG 垂直平分 BC，故 BDDC由于 AD 平分BAC， DEAB 于 E，DFAC 于 F，故有EDGFC

52、BA68EDDF故 RTDBERTDFC（HL）故有故有 BEBECFCF。AB+ACAB+AC2AE2AEAEAE（a+ba+b）/2/2BE=(a-b)/2BE=(a-b)/2應(yīng)用：應(yīng)用：1、如圖，OP 是MON 的平分線，請你利用該圖形畫一對以 OP 所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分別是BAC、BCA 的平分線，AD、CE 相交于點(diǎn) F。請你判斷并寫出 FE 與 FD 之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得

53、結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。解：（1）FE 與 FD 之間的數(shù)量關(guān)系為FDFE （2）答：（1）中的結(jié)論仍然成立。FDFE 證法一：證法一：如圖 1，在 AC 上截取，連結(jié) FG AEAG ，AF 為公共邊，21AGFAEF， AFGAFEFGFE ，AD、CE 分別是、的平分線60BBACBCA603260AFGCFDAFE60CFG及 FC 為公共邊43CFDCFGFDFG FDFE (第 23 題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖FBEACD圖 12143G69FEDCBA證法二：證法二：如圖 2，過點(diǎn) F 分別作于點(diǎn) G，于點(diǎn) H ABFG BCFH

54、 ，AD、CE 分別是、的平分線60BBACBCA可得，F(xiàn) 是的內(nèi)心6032ABC，160GEFFGFH 又1BHDF HDFGEF可證DHFEGF FDFE 五、旋轉(zhuǎn)五、旋轉(zhuǎn)例1 正方形 ABCD 中，E 為 BC 上的一點(diǎn)，F(xiàn) 為 CD 上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF 的度數(shù). 證明：將三角形 ADF 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 度，至三角形ABG則 GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE，AF=AG，所以三角形 AEF 全等于 AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45 度例 2 D 為等腰斜邊 AB 的中點(diǎn)，D

55、MDN,DM,DN 分別交 BC,CA 于點(diǎn) E,F。Rt ABC(1)當(dāng)繞點(diǎn) D 轉(zhuǎn)動時(shí)，求證 DE=DF。MDN(2)若 AB=2，求四邊形 DECF 的面積。解：(計(jì)算數(shù)值法)（1）連接 DC， D 為等腰斜邊 AB 的中點(diǎn)，故有 CDAB，CDDARt ABCCDCD 平分平分BCA90，ECDDCA45由于 DMDN，有EDN90FBEACD圖 22143HG70由于 CDAB，有CDA90從而CDEFDA故有CDEADF（ASA）故有 DE=DF（2）SABC=2, S四 DECF= SACD=1例 3 如圖，是邊長為 3 的等邊三角形，是等腰三角形，且，ABCBDC0120BDC

56、以 D 為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交 AB 于點(diǎn) M，交 AC 于點(diǎn) N，連接 MN，則060的周長為 ；AMN解：(圖形補(bǔ)全法, “截長法”或“補(bǔ)短法”, 計(jì)算數(shù)值法) AC 的延長線與 BD 的延長線交于點(diǎn) F，在線段 CF 上取點(diǎn) E，使 CEBMABC 為等邊三角形，BCD 為等腰三角形，且BDC=120，MBD=MBC+DBC=60+30=90，DCE=180-ACD=180-ABD=90，又BM=CE，BD=CD，CDEBDM，CDE=BDM，DE=DM，NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=BDC-MDN=120-60=60，在DMN 和DEN 中， DM=DE71 MDN=

57、EDN=60 DN=DNDMNDEN，MN=NE在DMA 和DEF 中， DM=DE MDA=60- MDB=60- CDE=EDF (CDE=BDM) DAM=DFE=30DMNDEN (AAS)，MA=FE的周長為 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6AMN應(yīng)用：應(yīng)用：1、已知四邊形中，ABCDABADBCCDABBC120ABC ，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）60MBN MBNBADDC，于EF，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖 1） ，易證MBNBAECFAECFEF當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖 2 和圖 3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否成MBNBAECF立？若成立，請給予證明；若不成

58、立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出AECF，EF你的猜想，不需證明（圖 1）ABCDEFMN（圖 2）ABCDEFMN（圖 3）ABCDEFMN72解：（1），ADAB CDBC BCAB CFAE （SAS） ；CBFABE，CBFABEBFBE ，120ABC60MBN，為等邊三角形30CBFABEBEF，BFEFBEBEAECF21EFBECFAE（2）圖 2 成立，圖 3 不成立。證明圖 2，延長 DC 至點(diǎn) K，使，連接 BKAECK 則BCKBAE，BKBE KBCABE，60FBE120ABC60ABEFBC60KBCFBC60FBEKBFEBFKBFEFKF EFCFKC即E

59、FCFAE圖 3 不成立，AE、CF、EF 的關(guān)系是EFCFAE2、 （西城 09 年一模）已知:PA=,PB=4,以 AB 為一邊作正方形 ABCD,使 P、D 兩點(diǎn)落在2直線 AB 的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)APB=45時(shí),求 AB 及 PD 的長;(2)當(dāng)APB 變化,且其它條件不變時(shí),求 PD 的最大值,及相應(yīng)APB 的大小.分析：分析：（1）作輔助線，過點(diǎn) A 作于點(diǎn) E，在PBAE 中，已知，AP 的值，根據(jù)三角函數(shù)可將PAERtAPEAE，PE 的值求出，由 PB 的值，可求 BE 的值，在中，ABERt根據(jù)勾股定理可將 AB 的值求出；求 PD 的值有兩種解法，解法一：可將繞點(diǎn) A

60、 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得PAD90ABP，求 PD 長即為求的長，在中，可將的值求出，在ABPPADBPPAPRtPP 中，根據(jù)勾股定理可將的值求出；解法二：過點(diǎn) P 作 AB 的平行線，與 DABPPRtBP的延長線交于 F，交 PB 于 G，在中，可求出 AG，EG 的長，進(jìn)而可知 PG 的值，AEGRt在中，可求出 PF，在中，根據(jù)勾股定理可將 PD 的值求出；PFGRtPDFRt（2）將繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，PD 的最大值即為的最大值，PAD90ABPBP故當(dāng)、P、B 三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，根據(jù)可求的最大值，此PBPPBPPBPBPKABCDEFMN圖 273PPACBDPPAC