大學物理剛體的轉(zhuǎn)動

1、第三章第三章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動3.1 3.1 剛體的運動剛體的運動一、剛體的平動一、剛體的平動 在運動過程中剛體上的任意一條在運動過程中剛體上的任意一條直線在各個時刻的位置都相互平行直線在各個時刻的位置都相互平行ABABB”A”剛體的平動剛體的平動任意質(zhì)元運動都代表整體運動任意質(zhì)元運動都代表整體運動二、二、 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 剛體所有質(zhì)元都繞一固定直線（剛體所有質(zhì)元都繞一固定直線（定軸定軸）作圓周運動作圓周運動剛體的平動、定軸轉(zhuǎn)動和復(fù)合運剛體的平動、定軸轉(zhuǎn)動和復(fù)合運動動用質(zhì)心運動代表用質(zhì)心運動代表剛體的平動剛體的平動（質(zhì)心運動定理）（質(zhì)心運動定理）剛體剛體: : 受力時不改變形

2、狀和體積的物體。受力時不改變形狀和體積的物體。用角量描述轉(zhuǎn)動用角量描述轉(zhuǎn)動1) 角位移角位移 : 在在 t 時間內(nèi)剛體轉(zhuǎn)動角度時間內(nèi)剛體轉(zhuǎn)動角度2)角速度角速度 : 0limtdtdt 3)角加速度角加速度 :220limtddtdtdt z剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動角速度角速度 的方向按右手螺旋法則確定的方向按右手螺旋法則確定1.切向分量切向分量 法向分量法向分量 22nvarrzvOP2. 線量與角量關(guān)系線量與角量關(guān)系rdSr dddS勻變速直線運動勻變速直線運動ddtddtdSvdt0vvat2012Sv tat2202vvaS勻變速定軸轉(zhuǎn)動勻變速定軸轉(zhuǎn)動0t2012tt2202a rdt

3、drdtdsv rdtdrdtdvadtdva 3.2 3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律dLMdt外質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理Z軸分量軸分量zdLMdtz:im質(zhì)元質(zhì)元iF對對O點的力矩點的力矩ioiiMrFoiioiizrFrF（垂直（垂直z軸軸 ）?oiiiiizirFrFrFirirzMiOizFiFiFzOoirimiivizr（垂直（垂直z軸）軸）|iziiMrFsiniiirFizMMzsiniiirF?zizLLiir F1. 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律irirzMiOizFiFiFzOoirimiivizrioii iLrmvoiirvii oiiLm

4、r v siniziLLiLizLsini oi imr vizi iiLm rv sinioirrim質(zhì)元質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離到轉(zhuǎn)軸的垂直距離iivr2()i imr 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量2zi iiJmr2()zi iiLmrzdLMdtz?zzdLdMJdtdtz對固定軸對固定軸MJzJ剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動定律定軸轉(zhuǎn)動定律MJ軸外與牛頓第二定律對比：與牛頓第二定律對比：amF外剛體到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：剛體到轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：2i iiJmr 轉(zhuǎn)動慣量的物理意義轉(zhuǎn)動慣量的物理意義:1. 剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度;2. 轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量有關(guān)轉(zhuǎn)動慣量與剛體的質(zhì)量有關(guān);3. J 在質(zhì)

5、量一定的情況下與質(zhì)量的分布有關(guān)在質(zhì)量一定的情況下與質(zhì)量的分布有關(guān);4. J與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。對比剛體的對比剛體的角動量和質(zhì)點的動量：角動量和質(zhì)點的動量：LJmvp 與與對應(yīng)對應(yīng)mJ二、剛體二、剛體 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算2i iiJm r稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量對質(zhì)量連續(xù)分布剛體對質(zhì)量連續(xù)分布剛體dmrJ2線分布線分布 dxdm面分布面分布dsdm體分布體分布dvdm是質(zhì)量的線密度是質(zhì)量的線密度是質(zhì)量的面密度是質(zhì)量的面密度是質(zhì)量的體密度是質(zhì)量的體密度例例: 一均勻細棒長一均勻細棒長 l 質(zhì)量為質(zhì)量為 m1) 軸軸 z1 過棒的中心且垂直于棒過棒的

6、中心且垂直于棒2) 軸軸 z2 過棒一端且垂直于棒過棒一端且垂直于棒求求: 上述兩種情況下的轉(zhuǎn)動慣量上述兩種情況下的轉(zhuǎn)動慣量 odxZ 1dxdmdxdm解解: 棒質(zhì)量的線密度棒質(zhì)量的線密度lm2222121)11mldxxJllZ20231)22mldxxJlz12zzJJ所以只有指出剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量才有意義所以只有指出剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量才有意義dx oZ 2l2l2lXX例例:勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面通過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面通過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量 如下圖如下圖:解解:圓盤半徑為圓盤半徑為 R, 2Rm dmrJz22rdsRrdrr022RrdrRmr0222221mR總質(zhì)

7、量為總質(zhì)量為 m .設(shè)質(zhì)量面密度設(shè)質(zhì)量面密度例例:勻質(zhì)圓環(huán)半徑為勻質(zhì)圓環(huán)半徑為 R,總質(zhì)量為總質(zhì)量為 m,求繞垂直求繞垂直于環(huán)面通過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量于環(huán)面通過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量 如下圖如下圖:ZRdm2zJRd m2Rdm2mR解解:ZRrdrdmdSm 1. 有關(guān)轉(zhuǎn)動慣量計算的幾個定理：有關(guān)轉(zhuǎn)動慣量計算的幾個定理：2） 平行軸定理平行軸定理2mhJJczZh式中式中: 關(guān)于通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量關(guān)于通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量cJm 是剛體質(zhì)量是剛體質(zhì)量, h 是是 c 到到 Z軸的距離軸的距離zJ是關(guān)于平行于通過質(zhì)心軸的一個軸的轉(zhuǎn)動慣量是關(guān)于平行于通過質(zhì)心軸的一個軸的轉(zhuǎn)動慣量C1） 轉(zhuǎn)動慣量疊加轉(zhuǎn)動慣

8、量疊加ACZCBAzJJJJ式中式中: 是是A球?qū)η驅(qū)軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量AJBJ是是B棒對棒對z軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量cJ是是C球?qū)η驅(qū)軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量B3） 垂直軸定理垂直軸定理 yxzJJJiyim0ix對于薄板剛體對于薄板剛體, 薄板剛體對薄板剛體對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量zJ等于對等于對 x 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量 與與對對xJ y 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量yJ之和。之和。yxz2. 2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用解：解：滑輪加速轉(zhuǎn)動，由轉(zhuǎn)動定律得：滑輪加速轉(zhuǎn)動，由轉(zhuǎn)動定律得：aR線量與角量關(guān)系：線量與角量關(guān)系：212JMR已知：已知：滑

9、輪滑輪M（看成勻質(zhì)圓盤）半徑（看成勻質(zhì)圓盤）半徑 R物體：物體： m求：求： a =?1.RmamgTTMmaTmg 物體物體m加速運動：加速運動： JTR 21mRJga解解得得：Rm1m2已知：已知：滑輪滑輪M（看成勻質(zhì)圓盤）半徑（看成勻質(zhì)圓盤）半徑R物體：物體： m1 m2求：求：a =?am1gm2gT解：解：11m gTm a22Tm gm a1212()m gm gmm a1212mmagmm對否？對否？T2T12TT否則滑輪靜止或勻速轉(zhuǎn)動，而物體加速運動否則滑輪靜止或勻速轉(zhuǎn)動，而物體加速運動T1T2111m gTm a222Tm gm a12TR T RJaR轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律線量

10、與角量關(guān)系線量與角量關(guān)系212JMR121212mmagmmMM2.T1lmO已知：已知：例例3.2勻質(zhì)桿勻質(zhì)桿m長長l下落到下落到時時F求：求：?F 解：解：mgC1cos2MmglMJ21cos213mglml3 cos2glddt3 cos2gl003 cos2gddl 3 singl轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律對上式兩邊分別乘以對上式兩邊分別乘以 d ，再進行積分得：，再進行積分得：質(zhì)心運動定理：質(zhì)心運動定理：3 singl1sinnFmgma212nal3 sin2g3 cos4g3 cos2glMJ sincosFFtan1012 15sin2Fmg21s4Fmgco2212FFF2199si

11、n14mglmOFmgC1F2F例例3.3答案：轉(zhuǎn)到豎直位置時答案：轉(zhuǎn)到豎直位置時: F5mg/2 （90） maFcosmg 22la 三、剛體定軸轉(zhuǎn)動中的動能定理三、剛體定軸轉(zhuǎn)動中的動能定理dAF drO drFvP|drcos|FdrcosFrdcosMFrdAMd21AMd21dJddt21Jd22211122JJ剛體的剛體的轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能212kEJ21kkAEE定軸轉(zhuǎn)動動能定理定軸轉(zhuǎn)動動能定理2222221)(21)(2121JrmrmvmEiiiiiiiiiK已知：已知： 勻質(zhì)桿勻質(zhì)桿M子彈子彈m水平速度水平速度0v求：求：射入不復(fù)出射入不復(fù)出解：解：對對M , m系統(tǒng)：系統(tǒng)：

12、0M軸外系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒2013mv lmvlMlvl033vmmMl勻質(zhì)桿的質(zhì)心速度勻質(zhì)桿的質(zhì)心速度?cv 2clv032(3)mvmM設(shè)桿長為設(shè)桿長為l合外力為零，系統(tǒng)動量守恒。合外力為零，系統(tǒng)動量守恒。0cmvmvMv2ccmvMv02cmvvmM對否？對否？l ，最大擺角，最大擺角OMm0v?cv c2clv032(3)mvmMOMm0vc 在碰撞過程中，子彈和細棒的總機械在碰撞過程中，子彈和細棒的總機械能不守恒。能不守恒。 但碰撞后，在子彈隨細棒擺動過程中，只但碰撞后，在子彈隨細棒擺動過程中，只有重力做功，因此系統(tǒng)機械能守恒。有重力做功，因此系統(tǒng)機械能守恒。以轉(zhuǎn)軸處為勢能

13、零點。以轉(zhuǎn)軸處為勢能零點。由始末狀態(tài)機械能相等得：由始末狀態(tài)機械能相等得：MglmglmlMl213121222）（ Mglcosmglcos21 gmMlmMarccos）（）（23312 3.3 3.3 剛體的復(fù)合運動剛體的復(fù)合運動在以上對于剛體動力學的討論中，得到兩個結(jié)論：在以上對于剛體動力學的討論中，得到兩個結(jié)論：2. 剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律：剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律： JM 1. 質(zhì)心運動定律：質(zhì)心運動定律：camF F是剛體所受合外力，是剛體所受合外力，ac是剛體質(zhì)心加速度，是剛體質(zhì)心加速度，m是剛體的質(zhì)量。是剛體的質(zhì)量。M是剛體所受合外力矩，是剛體所受合外力矩，是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度，

14、是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度，J是剛體的定軸轉(zhuǎn)動慣量。是剛體的定軸轉(zhuǎn)動慣量。剛體的復(fù)合運動：剛體的復(fù)合運動：可以分解為剛體的平動和剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動可以分解為剛體的平動和剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動一、質(zhì)心系的角動量定理一、質(zhì)心系的角動量定理以質(zhì)心以質(zhì)心O為原點的參考系稱為質(zhì)心參考系。設(shè)慣性系的原點為為原點的參考系稱為質(zhì)心參考系。設(shè)慣性系的原點為O質(zhì)心系的角動量定理：質(zhì)心系的角動量定理： iiiLdtdFriiFr 是質(zhì)點系中各質(zhì)點所受外力對質(zhì)心的力矩的矢量和是質(zhì)點系中各質(zhì)點所受外力對質(zhì)心的力矩的矢量和即質(zhì)點系的角動量定理在質(zhì)心系中仍然成立。即質(zhì)點系的角動量定理在質(zhì)心系中仍然成立。 iL是質(zhì)點系中各質(zhì)點對

15、質(zhì)心的角動量之和是質(zhì)點系中各質(zhì)點對質(zhì)心的角動量之和 所以原來只對定軸轉(zhuǎn)動成立的轉(zhuǎn)動定律，所以原來只對定軸轉(zhuǎn)動成立的轉(zhuǎn)動定律， 對于通過對于通過質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸仍然成立質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸仍然成立二、柯尼希定理二、柯尼希定理 質(zhì)點系相對于慣性系的總動能等于質(zhì)點系的軌道動質(zhì)點系相對于慣性系的總動能等于質(zhì)點系的軌道動能和內(nèi)動能之和。能和內(nèi)動能之和。222121 JmvmghEcck 考慮到重力勢能，有：考慮到重力勢能，有：對于剛體有：對于剛體有：222121 JmvEck 例例3.5 如圖，質(zhì)量為如圖，質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的圓柱體沿斜面向下無滑動的圓柱體沿斜面向下無滑動地滾動，試求它到達斜面下端時質(zhì)心的速率。

16、地滾動，試求它到達斜面下端時質(zhì)心的速率。hNfmgs解法一解法一.用能量守恒求解。用能量守恒求解。222121 Jmvmghc Rvc 以以由于是無滑動滾動，所由于是無滑動滾動，所質(zhì)質(zhì)心心速速率率；是是剛剛體體在在斜斜面面底底端端時時的的其其中中，cv.mRJ慣量慣量是剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動是剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動221 是圓柱體在斜面底端時繞質(zhì)心的角速率；是圓柱體在斜面底端時繞質(zhì)心的角速率；22c2243212121ccmvRvmRmvmgh）（ ghvc43 所所以以：例例3.5 如圖，質(zhì)量為如圖，質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的圓柱體沿斜面向下無滑動的圓柱體沿斜面向下無滑動地滾動，試求它到達斜面下端時質(zhì)心的速率。地滾動，試求它到達斜面下端時質(zhì)心的速率。hNfmgs解法二解法二.用轉(zhuǎn)動定律求解。用轉(zhuǎn)動定律求解。 JfR ：根根據(jù)據(jù)繞繞質(zhì)質(zhì)心心的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動定定律律cmafsinmg 在平行斜面方向：在平行斜面方向： Ra,mRJc 221其其中中： si