最好的線性代數(shù)課件

1、線性代數(shù)課程簡(jiǎn)介線性代數(shù)課程簡(jiǎn)介一一.教材與參考書教材與參考書 線性代數(shù)線性代數(shù)吳傳生吳傳生 王衛(wèi)華編王衛(wèi)華編線性代數(shù)線性代數(shù)清華大學(xué)出版社清華大學(xué)出版社 居余馬等編居余馬等編教材選用：教材選用：參考教材：參考教材： 線性代數(shù)是一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程線性代數(shù)是一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程,其核心內(nèi)容其核心內(nèi)容是研究有限維線性空間的結(jié)構(gòu)和線性變換是研究有限維線性空間的結(jié)構(gòu)和線性變換.其理其理論和方法有著廣泛的應(yīng)用論和方法有著廣泛的應(yīng)用.行列式行列式矩陣矩陣線性方程組線性方程組向量空間向量空間矩陣的特征值矩陣的特征值二次型二次型1.教材內(nèi)容教材內(nèi)容:2.學(xué)習(xí)方法與要求學(xué)習(xí)方法與要求;預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)+課堂學(xué)習(xí)課堂學(xué)習(xí)+小組

2、討論小組討論 本期應(yīng)完成本期應(yīng)完成:15次作業(yè)次作業(yè)、6個(gè)報(bào)告?zhèn)€報(bào)告、2次考試次考試 線性代數(shù)線性代數(shù)(linear algebra)簡(jiǎn)介簡(jiǎn)介加法與乘法被看成是代數(shù)系統(tǒng)中的一般運(yùn)算。加法與乘法被看成是代數(shù)系統(tǒng)中的一般運(yùn)算。 一一.代數(shù)代數(shù):是指由字母或符號(hào)來(lái)研究數(shù)及其結(jié)構(gòu)的科學(xué)。是指由字母或符號(hào)來(lái)研究數(shù)及其結(jié)構(gòu)的科學(xué)。1.初等代數(shù)初等代數(shù) 代數(shù)的起源可以追溯至代數(shù)的起源可以追溯至3000多年前的古埃及多年前的古埃及人和古巴比倫人。人和古巴比倫人。 初期的代數(shù)主要源于解方程初期的代數(shù)主要源于解方程. 我國(guó)古代的我國(guó)古代的九章算術(shù)九章算術(shù)中就有方程問(wèn)題。中就有方程問(wèn)題。初等代數(shù)研究的對(duì)象初等代數(shù)研

3、究的對(duì)象:代數(shù)式的運(yùn)算和方程的求解。代數(shù)式的運(yùn)算和方程的求解。 整式、分式和根式是初等代數(shù)的三大類代數(shù)式。整式、分式和根式是初等代數(shù)的三大類代數(shù)式。 四則運(yùn)算，乘方和開方運(yùn)算四則運(yùn)算，乘方和開方運(yùn)算,通常稱為初通常稱為初等代數(shù)的代數(shù)運(yùn)算等代數(shù)的代數(shù)運(yùn)算.初等代數(shù)的十條規(guī)則初等代數(shù)的十條規(guī)則: (1)五條基本運(yùn)算律：五條基本運(yùn)算律： 加法交換律、加法結(jié)合律、加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律；乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律； (2)兩條等式基本性質(zhì)兩條等式基本性質(zhì): 等式兩邊同時(shí)加上一個(gè)數(shù)，等式不變；等式兩邊同時(shí)加上一個(gè)數(shù)，等式不變； 等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)非零的數(shù)，等式不變；

4、等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)非零的數(shù)，等式不變；(3)三條指數(shù)律：三條指數(shù)律： 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加； 指數(shù)的乘方等于底數(shù)不變指數(shù)相乘指數(shù)的乘方等于底數(shù)不變指數(shù)相乘； 積的乘方等于乘方的積。積的乘方等于乘方的積。人們?cè)诮夥匠痰难芯窟^(guò)程中發(fā)現(xiàn)了人們?cè)诮夥匠痰难芯窟^(guò)程中發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)、負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)，無(wú)理數(shù)、負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)，從而使數(shù)的概念得到了擴(kuò)充。從而使數(shù)的概念得到了擴(kuò)充。2 2、代數(shù)的基本定理代數(shù)的基本定理1799年高斯（年高斯（gauss）證明：）證明： 復(fù)數(shù)域上任意一個(gè)一元復(fù)數(shù)域上任意一個(gè)一元n次（次（n0）方程）方程121210.0nnnnnna xaxaxa x

5、 a 任何一個(gè)一元任何一個(gè)一元n次方程在復(fù)數(shù)域上次方程在復(fù)數(shù)域上有且僅有有且僅有n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）至少有個(gè)根至少有個(gè)根,這就是說(shuō)這就是說(shuō),至少有個(gè)復(fù)數(shù)至少有個(gè)復(fù)數(shù)x滿足這個(gè)滿足這個(gè)等式；等式； 3.多項(xiàng)式方程的代數(shù)解問(wèn)題多項(xiàng)式方程的代數(shù)解問(wèn)題方程的代數(shù)解是指方程的代數(shù)解是指: :方程經(jīng)過(guò)有限次代數(shù)運(yùn)算得到的解。方程經(jīng)過(guò)有限次代數(shù)運(yùn)算得到的解。 例如：例如：20axbxc 的解的解. . 22024bba xcaa 222424bbacxaa 21,242bbacxa ， 阿貝爾（阿貝爾（abelabel）(1802(18021829)1829)證明了五次方程不可能有

6、代數(shù)解證明了五次方程不可能有代數(shù)解4 4、方程根與系數(shù)的關(guān)系、方程根與系數(shù)的關(guān)系20axbxc12,x x12bxxa 12cxxa 韋達(dá)定理韋達(dá)定理: :設(shè)一元二次方程設(shè)一元二次方程在復(fù)數(shù)域上的兩個(gè)根為在復(fù)數(shù)域上的兩個(gè)根為, ,則有則有 121210.0nnnnnna xaxaxa x a 12,nxxx112nnnaxxxa 212131nnnnax xx xxxa 一般地一般地: :設(shè)設(shè)在復(fù)數(shù)域上的在復(fù)數(shù)域上的n n個(gè)根為個(gè)根為, ,則有則有 312312421nnnnnax x xx x xxxxa 0121nnnax xxa 2.高等代數(shù)高等代數(shù) 1832年法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦運(yùn)用年法國(guó)

7、數(shù)學(xué)家伽羅瓦運(yùn)用“群群”的思想徹的思想徹底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性,由此由此代數(shù)轉(zhuǎn)變成為研究代數(shù)運(yùn)算結(jié)構(gòu)的科學(xué)代數(shù)轉(zhuǎn)變成為研究代數(shù)運(yùn)算結(jié)構(gòu)的科學(xué).二二.線性代數(shù)線性代數(shù)“線性線性”的含義是指未知量的一次式。的含義是指未知量的一次式。 例如例如: y=ax表示變量表示變量y是變量是變量x的一個(gè)線性函數(shù)，的一個(gè)線性函數(shù)， y=ax1+bx2表示變量表示變量y是是x1，x2的線性關(guān)系。的線性關(guān)系。 一個(gè)線性表示不能包含諸如一個(gè)線性表示不能包含諸如x2和和x1x2的二次項(xiàng)，的二次項(xiàng)，這些二次項(xiàng)是非線性的。這些二次項(xiàng)是非線性的。 線性代數(shù)的研究對(duì)象線性代數(shù)的研究

8、對(duì)象:線性方程組、線性空間和線性變換。線性方程組、線性空間和線性變換。 行列式和矩陣的是線性代數(shù)的兩個(gè)重要工具行列式和矩陣的是線性代數(shù)的兩個(gè)重要工具.1 1、求解線性方程組、求解線性方程組例例1：明代程大為著的：明代程大為著的算法統(tǒng)宗算法統(tǒng)宗中記載：中記載：100個(gè)和尚分個(gè)和尚分100個(gè)饅頭。大和尚一人個(gè)饅頭。大和尚一人3個(gè)，小和個(gè)，小和尚尚3人一個(gè)，剛好分完。問(wèn)大、小和尚各多少人？人一個(gè)，剛好分完。問(wèn)大、小和尚各多少人？解：設(shè)有大和尚解：設(shè)有大和尚x人，小和尚人，小和尚y人，于是有人，于是有100131003xyxy 100yx820033x 25,75xy用代入法求得：用代入法求得：，代入

9、，代入，解出：，解出：例例2：中國(guó)古代算書：中國(guó)古代算書張丘建算經(jīng)張丘建算經(jīng)記載百雞問(wèn)記載百雞問(wèn)題：公雞每只值五文錢，母雞每只值三文錢，題：公雞每只值五文錢，母雞每只值三文錢，小雞三只值一文錢，現(xiàn)在用一百文錢買一百只小雞三只值一文錢，現(xiàn)在用一百文錢買一百只雞，問(wèn)：在這一百雞中，公雞、母雞、小雞各雞，問(wèn)：在這一百雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只？有多少只？解：設(shè)有公雞解：設(shè)有公雞x只，母雞只，母雞y只，小雞只，小雞z只，則有只，則有1001531003xyzxyz 有（有（2 2）3 3（1 1）得）得148200 xy 74100 xy 7254yx因?yàn)橐驗(yàn)閥是整數(shù)，可設(shè)是整數(shù)，可設(shè) 代入得：

10、代入得：4xk4257753xkykzk 又又y0,y0,可知可知k=1,2,3,k=1,2,3,由此得由此得41878xyz 81181xyz 12484xyz 或或或或例例3求解下列線性方程組求解下列線性方程組 211322231x+ y-z=x+y+ z=x-y+ z= 35xk21322xyzxyz (1)(2)(3)解解: 由由(2)-(1)得得(3)方程組與下列方程組方程組與下列方程組同解同解 (4)(5)由由(5)2(4):13ykzk k是任意常數(shù)是任意常數(shù)令令: 1231231231232224222130 xxxxxxxxxxxx 解解:利用高斯（利用高斯（ gauss ）

11、消元法求解）消元法求解.將將1,2兩個(gè)方程兩個(gè)方程互換位置得互換位置得123123123123422222130 xxxxxxxxxxxx 由第由第1個(gè)方程分別乘個(gè)方程分別乘-2,-2,-3,后與后與2,3,4方程相加方程相加,得得12323232344310493xxxxxxxxx 同理同理:將將2,3方程互換位置方程互換位置,得得12323232344943103xxxxxxxxx 把第把第3,4兩個(gè)方程分別兩個(gè)方程分別加上第加上第2個(gè)方程的個(gè)方程的-4,-1倍倍,得得123233344922xxxxxxx 同理同理; ;得得 123233449200 xxxxxx 從第從第3個(gè)方程回代個(gè)

12、方程回代 123112xxx 利用高斯消元法求解線性方程組利用高斯消元法求解線性方程組 12312312343222322xxxxxxxxx 解解:原方程組原方程組 123232344310432xxxxxxx 無(wú)解無(wú)解.若我們進(jìn)一步若我們進(jìn)一步變換可得變換可得: 123234431008xxxxx 從以上例題可以看出從以上例題可以看出,線性方程組的解有線性方程組的解有3種種情況情況:唯一解、無(wú)窮解和無(wú)解。唯一解、無(wú)窮解和無(wú)解。 當(dāng)未知量或方程組的個(gè)數(shù)增多時(shí)當(dāng)未知量或方程組的個(gè)數(shù)增多時(shí), 常用高斯消元法求解方程組常用高斯消元法求解方程組. 一般地一般地,方程組可表示為方程組可表示為:11111

13、212111212122222221122nnnnmmmmmnmnma xa xa xba xa xa xba xa xa xb 它是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象。它是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象。例例: :總收入問(wèn)題總收入問(wèn)題某地區(qū)有某地區(qū)有1 1個(gè)工廠個(gè)工廠, ,生產(chǎn)甲生產(chǎn)甲, ,乙乙, ,丙丙3 3種產(chǎn)品種產(chǎn)品, ,x xi i(i(i=1,2,3),=1,2,3),表示工廠生產(chǎn)這表示工廠生產(chǎn)這3 3種產(chǎn)品的數(shù)量種產(chǎn)品的數(shù)量, ,a ai i(i(i=1,2,3)=1,2,3)表示第表示第i i種產(chǎn)品的單價(jià)種產(chǎn)品的單價(jià),y,y表示這表示這3 3種產(chǎn)品的總收入種產(chǎn)品的總收入, ,則有則有: :3322

14、11xaxaxay 若某地區(qū)有若某地區(qū)有1,2,3,41,2,3,4個(gè)工廠個(gè)工廠, ,生產(chǎn)甲生產(chǎn)甲, ,乙乙, ,丙丙3 3種種產(chǎn)品產(chǎn)品,x,xkiki(k(k=1,2,3,4;i=1,2,3)=1,2,3,4;i=1,2,3)是是k k工廠生產(chǎn)工廠生產(chǎn)i i種種產(chǎn)品的數(shù)量產(chǎn)品的數(shù)量,a,ai i(i(i=1,2,3)=1,2,3)表示表示i i種產(chǎn)品的單價(jià)種產(chǎn)品的單價(jià), ,y yk k表示表示k k工廠的總收入工廠的總收入, ,則有則有: :2 2、線性代數(shù)的數(shù)學(xué)模型、線性代數(shù)的數(shù)學(xué)模型1331221111xaxaxay 2332222112xaxaxay 3333223113xaxaxay

15、 4334224114xaxaxay 在一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中在一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中,一個(gè)企業(yè)既是生產(chǎn)者又是消一個(gè)企業(yè)既是生產(chǎn)者又是消費(fèi)者費(fèi)者,作為生產(chǎn)者作為生產(chǎn)者,它有產(chǎn)出它有產(chǎn)出,作為消費(fèi)者它有投作為消費(fèi)者它有投入入,企業(yè)之間的這種平衡關(guān)系可以用一系列的線企業(yè)之間的這種平衡關(guān)系可以用一系列的線性方程組來(lái)表示性方程組來(lái)表示,這就是列昂節(jié)夫這就是列昂節(jié)夫(諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者獎(jiǎng)獲得者)的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型.例全球定位系統(tǒng)例全球定位系統(tǒng)gpsgps 要想知道卡車在公路上行駛時(shí)的位置可利用要想知道卡車在公路上行駛時(shí)的位置可利用gps系統(tǒng)系統(tǒng).這個(gè)系統(tǒng)是由這個(gè)系統(tǒng)是由24顆高軌道衛(wèi)星組

16、成顆高軌道衛(wèi)星組成,卡卡車從其中車從其中3顆衛(wèi)星接受信號(hào)顆衛(wèi)星接受信號(hào),接受器里的軟件利接受器里的軟件利用線性代數(shù)方法來(lái)確定卡車的位置用線性代數(shù)方法來(lái)確定卡車的位置. 當(dāng)卡車和一顆衛(wèi)星聯(lián)系時(shí)當(dāng)卡車和一顆衛(wèi)星聯(lián)系時(shí),接受器從信號(hào)往返接受器從信號(hào)往返的時(shí)間能確定卡車到衛(wèi)星的距離的時(shí)間能確定卡車到衛(wèi)星的距離,例如例如14000公里公里,從衛(wèi)星來(lái)看從衛(wèi)星來(lái)看,知道卡車位于以衛(wèi)星為球心知道卡車位于以衛(wèi)星為球心,半徑為半徑為14000公里的球面上的某地公里的球面上的某地.設(shè)卡車位置設(shè)卡車位置(x,y,z),第第一顆衛(wèi)星位置一顆衛(wèi)星位置(a1,b1,c1)即即 221212114000 czbyax同理同理

17、 假設(shè)第假設(shè)第2,3顆衛(wèi)星的位置分別是顆衛(wèi)星的位置分別是(a2,b2,c2)和和(a3,b3,c3)距卡車的距離分別是距卡車的距離分別是17000和和16000公里公里,則有則有 222222217000 czbyax 223232316000 czbyax這些關(guān)系式不是線性關(guān)系式這些關(guān)系式不是線性關(guān)系式,要求要求(x,y,z)由由(1)減減(2),(3)得得: 1121212222222rzccybbxaa 2131313222222rzccybbxaa 例例:動(dòng)畫問(wèn)題動(dòng)畫問(wèn)題動(dòng)畫設(shè)計(jì)中常常用到坐標(biāo)變換如動(dòng)畫設(shè)計(jì)中常常用到坐標(biāo)變換如:平移平移 旋轉(zhuǎn)等旋轉(zhuǎn)等設(shè)平面上的點(diǎn)為設(shè)平面上的點(diǎn)為(x,y

18、) 平移變換后為平移變換后為 yx ,則則:byyaxx 設(shè)平面上的點(diǎn)為設(shè)平面上的點(diǎn)為(x,y) 旋轉(zhuǎn)變換后為旋轉(zhuǎn)變換后為 yx ,則則: cossinsincosyxyyxx (x,y) yx ,r1 n階行列式的定義的主要內(nèi)容是階行列式的定義的主要內(nèi)容是:一一.2階行列式和階行列式和3階行列式的定義階行列式的定義(一一)2階行列式的定義階行列式的定義(二二)3階行列式的定義階行列式的定義二二.n階行列式的定義階行列式的定義行列式簡(jiǎn)介行列式簡(jiǎn)介行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解。 它是數(shù)學(xué)語(yǔ)言上的改革它是數(shù)學(xué)語(yǔ)言上的改革, 它的簡(jiǎn)化的記法常常是深?yuàn)W理論的源泉。它的簡(jiǎn)化的

19、記法常常是深?yuàn)W理論的源泉。 p.s.laplace是一種速記表達(dá)式是一種速記表達(dá)式. 行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家 關(guān)孝和提出來(lái)的關(guān)孝和提出來(lái)的(1683 年年 ) vandermonde 首次對(duì)行列式理論進(jìn)行系統(tǒng)的闡述首次對(duì)行列式理論進(jìn)行系統(tǒng)的闡述 成為行列式理論的奠基人成為行列式理論的奠基人. 用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式

20、相減消去2x一一.2階行列式和階行列式和3階行列式的定義階行列式的定義(一一)2階行列式的定義階行列式的定義;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)021122211 aaaa方程組的解為方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax .,22221211212111bxaxabxaxa 1 22222111211baabaa由方程組的四個(gè)系數(shù)確定由方程組的四個(gè)系數(shù)確定. 由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行

21、、豎排由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表稱列）的數(shù)表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并記記作作）所所確確定定的的二二階階稱稱為為數(shù)數(shù)表表（表表達(dá)達(dá)式式 即即.2112221122211211aaaaaaaad 11a12a22a12a主對(duì)角線主對(duì)角線副對(duì)角線副對(duì)角線2211aa .2112aa 二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算若記若記,22211211aaaad .,22221211212111bxaxabxaxa對(duì)于二元線性方程組對(duì)于二元線性方程組系數(shù)行列式系數(shù)行列式 .,22221211212111bxax

22、abxaxa,22211211aaaad ,2221211ababd .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaad .2211112babad 則二元線性方程組的解為則二元線性方程組的解為,222112112221211aaaaababdd 注意注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式分母都為原方程組的系數(shù)行列式.222112112211112aaaababadd 211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax . 12,12232121xxxx求解二元線性方程組求解二元線性方程組解解1223 d)4(3 , 0

23、7 112121 d,14 121232 d,21 ddx11 , 2714 ddx22 . 3721 ( (二二) )三階行列式的定義三階行列式的定義解三元一次方程組解三元一次方程組 111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 由（由（1）（）（2）消）消x3,同理（同理（1）（）（3）消）消x3得得 1111221331111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xb,a xa xa xba xa xa xb 11 23132111223132221 232 1

24、311 33133111233133221 333 13a aa axa aa axbab aa aa axa aa axbab a 由二元一次方程組可知由二元一次方程組可知:若系數(shù)行列式若系數(shù)行列式: 11 2313 2112 3313 3211 3313 3112 2313 220d a aa aa aa aa aa aa aa a 即即:11 12 23 3311 13 23 3212 13 21 3313 13 21 3211 12 23 3312 13 23 3111 13 22 3313 13 22 31a a a aa a a aa a a aa a a aa a a aa a

25、a aa a a aa a a a 13112233122331132132aa a aa a aa a a111213132122233132330aaaaaaaaaa 112332122133132231a a aa a aa a a 11 232 1312 3313 321 333 1312 2313 22dbabaa aa ababaa aa a 13122332133231223ab a ab a ab a a 11213132222333233baaabaabaa 123322123331322b a ab a ab a a那么那么:1x 112132222333233baabaa

26、baa111213212223313233aaaaaaaaa111213121222323132333a xa ya zba xa ya zba xa ya zb x 三元線性方程組三元線性方程組:111213212223313233aaaaaaaaa112132222333233baabaabaa若若系數(shù)行列式不等于零系數(shù)行列式不等于零,有解有解:y 111213212223313233aaaaaaaaa111132122331333abaabaabaz 111213212223313233aaaaaaaaa111212122231323aabaabaab(二二)三階行列式的定義三階行列式的

27、定義333231232221131211339aaaaaaaaa列的數(shù)表列的數(shù)表行行個(gè)數(shù)排成個(gè)數(shù)排成設(shè)有設(shè)有,312213332112322311322113312312332211)1(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（1 1）式稱為數(shù)表所確定的）式稱為數(shù)表所確定的. .323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙沙路法路法三階行列式的計(jì)算三階行列式的計(jì)算322113312312332211aaaaaaaaa d333231232221131211aaaaaaaaad

28、 . .列標(biāo)列標(biāo)行標(biāo)行標(biāo)333231232221131211aaaaaaaaad 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)元素的乘積冠以負(fù)號(hào)說(shuō)明說(shuō)明 對(duì)角線法則只適用于對(duì)角線法則只適用于二二階與階與三三階行列式階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 2-43-122-4-21d 計(jì)算三階行列式計(jì)算三階行列式按對(duì)角線法則，有按對(duì)角線法則，有 d4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()

29、2()2(2411 24843264 .14 二二.四階行列式與四階行列式與n階行列式的定義階行列式的定義11121314212223243132333441424344aaaaaaaaaaaaaaaa不適用對(duì)角線定義不適用對(duì)角線定義. 10011100011001111 +1三階行列式的沙路法和對(duì)角線法不適用四三階行列式的沙路法和對(duì)角線法不適用四階行列式階行列式二二. .四階行列式與四階行列式與n n階行列式的定義階行列式的定義例例: :134123412312345423214210 xxxxxxxxxxxxxx 134542xxx 41x 求求x4=?(1)(2)(3)(4)由由(2)+

30、(3)得得:得得:504211 2141201111 10504311 2141211110 341dd 觀察觀察2階和階和3階行列式階行列式:22211211aaaa21122211aaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa=?三階行列式三階行列式:+1232313121322133210個(gè)個(gè)2個(gè)個(gè)2個(gè)個(gè)偶排列偶排列1個(gè)個(gè)1個(gè)個(gè)3個(gè)個(gè)奇排列奇排列,312213332

31、112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa記記: 321pppn為排列的逆序數(shù)總數(shù)為排列的逆序數(shù)總數(shù).321321pppaaa 3211pppn 1111aa 規(guī)定規(guī)定44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa43214321ppppaaaa 43211ppppn 22211211aaaa21122211aaaa 2121ppaa 21) 1(ppn =行列式的一般項(xiàng)定義行列式的一般項(xiàng)定義.332211aaa 33323123222113

32、1211aaaaaaaaa補(bǔ)充說(shuō)明補(bǔ)充說(shuō)明:行列式的一般項(xiàng)定義中列標(biāo)可按自行列式的一般項(xiàng)定義中列標(biāo)可按自然順序排列然順序排列.322311aaa 312312aaa 322113aaa 332112aaa ,aaa312213 231231aaa 133221aaa 233211aaa 331221aaa 132231aaa 例如例如:321321pppaaa 3211kkkn 3213213211ppppppnaaa n階行列式的一般項(xiàng)定義階行列式的一般項(xiàng)定義 nnnnnnnppppppnaaaaaaaaadaaannnnn212222111211212.)1(2121 記記作作的的代代數(shù)數(shù)

33、和和個(gè)個(gè)元元素素的的乘乘積積取取自自不不同同行行不不同同列列的的階階行行列列式式等等于于所所有有個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)組組成成的的由由行列式的行列式的一般項(xiàng)一般項(xiàng)簡(jiǎn)記簡(jiǎn)記 ija其中其中aij是行列式的元數(shù)是行列式的元數(shù).例例1 1計(jì)算對(duì)角行列式計(jì)算對(duì)角行列式0004003002001000分析分析展開式中一般項(xiàng)中的元素積展開式中一般項(xiàng)中的元素積:43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解即行列式中不為零的項(xiàng)為即行列式中不為零的項(xiàng)為.aaaa41322314 432114321 n.24 ,3122133

34、32112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 323122213113333123212112333223221111111aaaaaaaaaaaaaaa 3或或2階行列式的按第階行列式的按第1行展開式歸納如下行展開式歸納如下:四階行列式與四階行列式與n階行列式按行展開式定義階行列式按行展開式定義

35、.131312121111aaaaaa 按照這一規(guī)律觀察按照這一規(guī)律觀察2階階:22211211aaaa21122211aaaa 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa=規(guī)定規(guī)定:1111aa 21122211aaaa 21211222111111aaaa 1414aa 1111aa1212aa 1312aa 12121111aaaa 在在 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃去后，留下來(lái)的列劃去后，留下來(lái)的 階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作nijaij1 nija.mij ，記記ijjiijma 1叫做元素叫做元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaad 的余子式和的余子式和代數(shù)余子式代數(shù)