線(xiàn)性代數(shù)與空間解析幾何：6-2 方陣的相似與對(duì)角化

1、6.2 6.2 方陣的相似與對(duì)角化方陣的相似與對(duì)角化 1. 1. 兩個(gè)方陣的相似兩個(gè)方陣的相似 示示例例11 12 11 11 01 11 21 10 3 2 11 0:1 20 3 .ABAB【注注意意】 【證證明明】1:PAPB 1|EPAP 1|()PEA P 1| | |PEAP 1| |P PEA |.EA 0 00 1,.0 00 0不不相相似似 但但特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式相相同同示示例例|EB 1 02 12 1:;0 31 21 2可可對(duì)對(duì)角角化化 0 1:0 0不不能能對(duì)對(duì)角角化化0 1, :0 0若若可可對(duì)對(duì)角角化化 則則其其只只能能與與零零矩矩陣陣相相似似示示例例10 10

2、 ().0 0PP 矛矛盾盾等等式式?方方陣陣可可對(duì)對(duì)角角化化的的條條【題題】件件是是什什么么問(wèn)問(wèn)111,;nnnppppAA2. 2. 方陣可對(duì)角化的充要條件方陣可對(duì)角化的充要條件 【證證明明】:A設(shè)設(shè)可可對(duì)對(duì)角角化化11,nPAP 1,;nppP ?nn一一個(gè)個(gè)階階方方陣陣在在什什么么條條件件下下有有 個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特【題題】征征向向量量問(wèn)問(wèn)【證證明明】;每每個(gè)個(gè)特特征征值值至至少少有有一一個(gè)個(gè)特特征征向向量量;對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)不不同同特特征征值值的的特特征征向向量量線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān).n此此方方陣陣一一定定有有 個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量【注注意意】:此此推推論論是是方方

3、陣陣可可對(duì)對(duì)角角化化的的充充分分非非必必要要條條件件1 0, 1.0 1可可對(duì)對(duì)角角化化 但但不不同同的的特特征征值值僅僅一一個(gè)個(gè)1, 2, 3.A因因?yàn)闉橛杏腥齻€(gè)個(gè)不不同同的的特特征征值值【解解】2100|021(1)(2) ;002EA A矩矩陣陣的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式1231,2; 特特征征值值r()r(2)2.EAEA 2 :此此方方陣陣最最多多能能找找到到個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量()0, (2)0:EA xEA x方方程程組組的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系.都都僅僅有有一一個(gè)個(gè)向向量量.此此方方陣陣不不能能對(duì)對(duì)角角化化80 0 000 0 008 0 000 0 03, 5

4、:14 0 014 8 012 0 012 0 8EAEA 【解解】r( 3)r(5)2.EAEA 4, .A有有 個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量 可可對(duì)對(duì)角角化化r()(1, 2,).iinEAkim 【證證明明】():A設(shè)設(shè)矩矩陣陣可可對(duì)對(duì)角角化化示示例例r()(1, 2,)iinEAkim 11r();mmiiiinEAkn :而而由由上上一一節(jié)節(jié)最最后后的的命命題題知知1r();miinnEA r()(1, 2,).iinEAkim =,總總之之(), m反反之之 若若上上述述個(gè)個(gè)等等式式成成立立: :1,.miiAkn 有有個(gè)個(gè)線(xiàn)線(xiàn)性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量 可可對(duì)對(duì)角角化化【評(píng)評(píng)注注】13: 3r()2, 3r()1.EAEA 原原因因【證證明明】A先先求求的的所所有有特特征征值值: :2220,aab acAba bbcca cb c1r()r( )1.A 分分析析:A 試試求求的的非非零零特特征征值值, , :A由由于于相相似似一一定定等等價(jià)價(jià) 若若可可對(duì)對(duì)角角化化 其其特特征征值值為為2223.abc T()(0, 0);xxx T()()().xx TT222, 0: ;xxabc 都都是是數(shù)數(shù) 且且222123, 0, 0.Aabc總總之之 矩矩陣陣的的特特征征值值確