概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：6-2抽樣分布

1、概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)第六章第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念6.2 6.2 抽樣分布抽樣分布概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 由樣本構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量，是對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。由樣本構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量，是對(duì)總體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。統(tǒng)計(jì)量的分布稱為統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布（抽樣分布（sampling distributionsampling distribution）. . 當(dāng)總體的分布函數(shù)已知時(shí)，抽樣分布是確定的，然而要求當(dāng)總體的分布函數(shù)已知時(shí)，抽樣分布是確定的，然而要求出統(tǒng)計(jì)量的分布是困難的，但對(duì)正態(tài)總體而言，某些統(tǒng)計(jì)出統(tǒng)計(jì)量的分布是困難的，但對(duì)正態(tài)總體而言，某些統(tǒng)計(jì)量的分布常

2、可求得。量的分布?？汕蟮?。 而正態(tài)分布或近似正態(tài)總體，恰恰是經(jīng)常遇到的。而正態(tài)分布或近似正態(tài)總體，恰恰是經(jīng)常遇到的。 本本節(jié)節(jié)介介紹紹來(lái)來(lái)自自正正態(tài)態(tài)總總體體的的幾幾個(gè)個(gè)常常用用統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的分分布布。 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 定義定義 設(shè)設(shè)nXXX,21是來(lái)自總體是來(lái)自總體)1, 0(N的樣本， 則稱統(tǒng)的樣本， 則稱統(tǒng)計(jì)量計(jì)量 222212nXXX 為服從自由度為為服從自由度為 n 的的 ),(2ondistributisquarechi 分分布布 記為記為)(22n 這里的自由度是指上式右端所包含的獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。這里的自由度是指上式右端所包含的獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。 概概率率論論與

3、與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì))(2n 分分布布的的概概率率密密度度為為 0 , 00,)(21)(22212yyeyyfynnn式中式中 . )0( ,)(01 rdxxerrx。 )(yf的圖形如圖的圖形如圖 6 6- -1 1 所示，證略。所示，證略。 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)5101520-0.050.050.10.150.20.25n=1n=4n=6n=8n=10y)(yf圖圖 6-1 )(2n的概率密度的概率密度 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 2 若若2 )(2n ，則有，則有 nDnE2)(,)(22 2221 )(212nn 3 若若2 )(2n ，則當(dāng)，則當(dāng) n時(shí)時(shí)， nn2

4、2 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)證明證明 只證性質(zhì)只證性質(zhì) 2中的第一式，中的第一式， 因因)1 , 0(NXi，故，故 1)()(2 iiXDXE niniiinXEXEE11222)()()( 對(duì)對(duì)于于給給定定的的)10( ，稱稱滿滿足足條條件件 )(222)()(ndyyfnP的點(diǎn)的點(diǎn))(2n 為為)(2n 分布的分布的 分位點(diǎn)分位點(diǎn)上上 如圖如圖 6 6- -2 2 所示。所示。 對(duì)于不同的對(duì)于不同的,n上上分位點(diǎn)的值已制成表格，可以查用分位點(diǎn)的值已制成表格，可以查用（見(jiàn)附表（見(jiàn)附表 5 5） 。） 。 )(yfyo)(2n 圖 6-2概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)22)12(2

5、1)( nzn 式式中中， z是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的上上 分分位位點(diǎn)點(diǎn)。利利用用上上式式可可以以求求當(dāng)當(dāng) n n 4 45 5 時(shí)時(shí)，)(2n 分分布布的的上上 分分位位點(diǎn)點(diǎn)的的近近似似值值。 例如， 由上式可得例如， 由上式可得221.67)99645. 1(21)50(2205. 0 （由（由附表得附表得505.67)50(205. 0 ）. . 例如，對(duì)于例如，對(duì)于25, 1 . 0n查得查得.382.34)25(21 . 0但該表只但該表只想詳細(xì)列到想詳細(xì)列到 n=45n=45 為止，為止， 曾證明，當(dāng)曾證明，當(dāng) n n充分大時(shí)，近似的有充分大時(shí)，近似的有 費(fèi)歇費(fèi)歇(R.A.

6、Fisher) 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 6.2.2 t分布分布 定理定理1：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 ， ，并且，并且X)1, 0(NY)(2n X與與Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則nYXT/ )(1221)(212 tntnnnthn 其中其中 01)0()(sdxxessx。 所服從的分布稱為所服從的分布稱為自由度為自由度為n n的的t t分布分布，記為，記為T Tt t( (n n) )。 t t分分布布又又稱稱為為學(xué)學(xué)生生氏氏分分布布， t t分分布布的的概概率率密密度度為為 見(jiàn)見(jiàn)(圖圖6-3 ) 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)-3-2-11230.10.20.30.40.5n=1

7、n=2n=4n=10n=50t)(th圖圖6-3 t分布概率密度分布概率密度概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)2 2、t t分布的性質(zhì)分布的性質(zhì) 1 )(th為偶函數(shù)，其圖形關(guān)于為偶函數(shù)，其圖形關(guān)于0 t對(duì)稱，即對(duì)任意的對(duì)稱，即對(duì)任意的01 t，有，有 11tTPtTP 2 故當(dāng)故當(dāng) n充分大時(shí)，充分大時(shí)，T分布漸近于分布漸近于)1, 0(N分布分布. . 2221)(limtneth 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)3 3、t t分布的分位點(diǎn)分布的分位點(diǎn)( (分位數(shù)分位數(shù)) ) 對(duì)對(duì)于于給給定定的的)10( ，稱稱滿滿足足條條件件 )()()(ntdtthntTP的點(diǎn)的點(diǎn))(nt 為為)(nt

8、分布的分布的 分位點(diǎn)分位點(diǎn)上上 如如下下圖圖所所示示。 )(tht)(nt )(1nt o 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)由上由上 分位點(diǎn)的定義以及分位點(diǎn)的定義以及)(th是是t t的偶函數(shù)，有的偶函數(shù)，有 )()(1ntnt 并且還有并且還有 )()(),(222ntTPntTntTPt t分布的上分布的上 分位點(diǎn)可直接查分位點(diǎn)可直接查t t分布表分布表( (附表附表 4)4)求得， 但求得， 但表中只列出表中只列出451 n的值，對(duì)于的值，對(duì)于45 n，可使用標(biāo)準(zhǔn)正，可使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài) 分布表近似計(jì)算，即分布表近似計(jì)算，即)45( nzt 。 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)定理定理2 2

9、 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 ， 且相互且相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量獨(dú)立，則隨機(jī)變量 U)(12n V)(22n 21/nVnUF 所服從的分布稱為所服從的分布稱為 自由度為自由度為 ),(21nn的的F分分布布 ，記記作作F F F F( (n n1 1, ,n n2 2) )。 如圖如圖6-5概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)若若F),(21nnF，則其概率密度為，則其概率密度為 0, 00,1222)(2211221212121211yyynnynnnnnnnnynnn 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)12340.20.40.60.81n1=10, n2=4n1=10, n2=10n1=10, n2=

10、50n1=10, n2=)(y y圖圖6-5 分布的概率密度分布的概率密度F概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì) 2 若若U)1 , 0(N, , V)(2n ，則則 VnU2), 1(nF 對(duì)對(duì)于于給給定定的的)10( ，稱稱滿滿足足條條件件 ),(2121)(),(nnFdyynnFFP分位點(diǎn)分位點(diǎn)上上 如圖如圖6-62 2、F F分分布布的的性性質(zhì)質(zhì) 的點(diǎn)的點(diǎn)),(21nnF 為為),(21nnF分布的分布的 ),(12nnFF1概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)),(21nnF y)( y o 圖圖6-6概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)F分分布布可可查查F分分布布表表( (附附表表 6 6)

11、 )，例例如如 48. 7)12, 9(,20. 5)12, 9(39. 4)12, 9(,44. 3)12, 9(80. 2)12, 9(,21. 2)12, 9(001. 0005. 001. 0025. 005. 010. 0 FFFFFF附表附表 6 6 只能查找到只能查找到 F分布在分布在 6 6 個(gè)分位點(diǎn)上的值， 對(duì)其個(gè)分位點(diǎn)上的值， 對(duì)其它分位點(diǎn)，它分位點(diǎn)，F(xiàn)分布有以下性質(zhì)：分布有以下性質(zhì)： ),(1),(12211nnFnnFa 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)這這是是因因?yàn)闉?，若若F),(21nnF，則則有有 ),(11),(1211211nnFFPnnFFP ),(111)

12、,(111211211nnFFPnnFFP 即有即有 ),(11211nnFFP 再再由由性性質(zhì)質(zhì) 1，即即F1),(12nnF可可得得 ),(112nnFFP， 即有即有),(1),(),(11221112nnFnnFnnFFP 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)定理定理 3 3 設(shè)設(shè)nXXX,21是總體是總體),(2 N的樣本，的樣本，2,SX分別分別是樣本均值與樣本方差，則有是樣本均值與樣本方差，則有 1X),(2nN 222)1( Sn )1(2 n 3獨(dú)立與2SX證證 我們只對(duì)我們只對(duì) 1證明，證明， 2， 3的證明見(jiàn)書(shū)后附錄。的證明見(jiàn)書(shū)后附錄。 由由 niiniinXDnXDXEnX

13、E1221)(1)(,)(1)( 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)推論推論 1 1 設(shè)設(shè)nXXX,21是總體是總體),(2 N的樣本，的樣本，2,SX分分別是樣本均值與樣本方差，則有別是樣本均值與樣本方差，則有 nX/ )1( nt證證 由由定定理理 3 3 的的性性質(zhì)質(zhì) 1 1 及及性性質(zhì)質(zhì) 2 2，即即 nX/ ),1 , 0(N22)1( Sn )1(2 n 再再考考慮慮兩兩者者的的獨(dú)獨(dú)立立性性，以以及及由由t t分分布布的的定定義義，有有 nSXnSnnX/)1()1(/22 )1( nt概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)例例 1 1 設(shè)設(shè)21,XX為為總總體體X X)1 , 0(N的的

14、樣樣本本，求求證證 221221)()(XXXX )1 , 1(F 解解 設(shè)設(shè)212211,XXYXXY ，則，則 1Y, , 2Y)2 , 0(2 N， 并并且且有有 ),(),(212121XXXXCovYYCov 0),(),( ),(),(22122111 XXCovXXCovXXCovXXCov概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)因此隨機(jī)變量因此隨機(jī)變量 1Y和和 2Y互相獨(dú)立，再由互相獨(dú)立，再由 2 分布的定義，分布的定義，知知 2212 Y)1(2 ， 2222 Y)1(2 從而得從而得 221221222221)()(2/2/XXXXYY )1 , 1(F 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理

15、統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)例例 2 2 設(shè)設(shè)nXXX,21是來(lái)自正態(tài)總體是來(lái)自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本，記記 kiiknkXkX1)1(1，求統(tǒng)計(jì)量，求統(tǒng)計(jì)量kkXX 1的分布的分布 ( (nk 1) )。 解解 由由 ,11)(11)(1111 kikiikkXEkXE 同同理理 )(kXE 所以所以0)(1 kkXXE概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)又由于又由于 1111111kikiiikkXkXkXX kiikiiXkkXk111111 kiikXkXk11111)(111kkXXk 而而1 kX與與kX相互獨(dú)立，并且有相互獨(dú)立，并且有 kikkikkkXDkXkDXD1221)(1)1()( 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)從而有從而有 )(11()(11kkkkXXkDXXD )()1(112kkXXDk kk222)1(1 )1(2 kk 即統(tǒng)計(jì)量即統(tǒng)計(jì)量kkXX 1服從分布服從分布)1(, 0(2 kkN 。 概概率率論論與與數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)44.1,)3 .0 ,0(,.1101221021 iiXPNXXX求求的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本為為設(shè)設(shè) .,)(,.2221值值的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和方方差差求求