直線方程的一般形式

1、直線方程的一般形式一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)掌握直線方程的一般形式，能用定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)后求定比（二）能力訓(xùn)練點(diǎn) 通過研究直線的一般方程與直線之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的對(duì)應(yīng)概念；通過 對(duì)幾個(gè)典型例題的研究，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)、簡(jiǎn)化運(yùn)算的能力（三）學(xué)科滲透點(diǎn) 通過對(duì)直線方程的幾種形式的特點(diǎn)的分析，培養(yǎng)學(xué)生看問題一分為二的辯證唯物主義 觀點(diǎn)、教材分析1重點(diǎn)：直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式和截距式表示直線有一定的局限 性，只有直線的一般式能表示所有的直線， 教學(xué)中要講清直線與二元一次方程的 對(duì)應(yīng)關(guān)系2難點(diǎn)：與重點(diǎn)相同3疑點(diǎn)：直線與二元一次方程是一對(duì)多的關(guān)系同條直線對(duì)應(yīng)的多個(gè)二元 一次方程是同

2、解方程三、活動(dòng)設(shè)計(jì)分析、啟發(fā)、講練結(jié)合四、教學(xué)過程(一) 引入新課點(diǎn)斜式、斜截式不能表示與 x軸垂直的直線；兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線；截距式既不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線，又不能表示過原點(diǎn)的直線與x軸垂直的直線可表示成x=xo，與x軸平行的直線可表示成y=yo。它們都是二元 一次方程.我們問：直線的方程都可以寫成二元一次方程嗎？反過來，二元一次方程都表示直線 嗎？(二) 直線方程的一般形式我們知道，在直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有傾斜角a.當(dāng)a 90°時(shí)，直線有斜率，方程可寫成下面的形式：y=kx+b當(dāng)a =90°時(shí)，它的方程可以寫成 x=x0的形式.由于是在坐標(biāo)平面上

3、討論問題，上面兩種情形得到的方程均可以看成是二元一次方 程這樣，對(duì)于每一條直線都可以求得它的一個(gè)二元一次方程，就是說，直線的方程都可以 寫成關(guān)于x、y的一次方程.反過來，對(duì)于x、y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0 .(1)其中A B不同時(shí)為零.(1)當(dāng)Bm 0時(shí)，方程可化為A C尸PE這就是直線的斜截式方程.它表示斜率為；在硏由上的截距為D爲(wèi)的直線.這里，我們借用了前一課y=kx+b表示直線的結(jié)論，不弄清這一點(diǎn)，會(huì)感到上面 的論證不知所云.當(dāng)B=0時(shí)，由于A B不同時(shí)為零，必有Am0,方程可化為C它表示一條與y軸平行的直線.這樣，我們又有：關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線.我們把方程寫

4、為Ax+By+C=0這個(gè)方程（其中A、B不全為零）叫做直線方程的一般式.引導(dǎo)學(xué)生思考：直線與二元一次方程的對(duì)應(yīng)是什么樣的對(duì)應(yīng)？直線與二元一次方程是一對(duì)多的，同一條直線對(duì)應(yīng)的多個(gè)二元一次方程是同解方程.（三）例題例1己知直線經(jīng)過點(diǎn)A© 4）,斜率為冷，求直線的點(diǎn)賦 說師截距式.解：直線的點(diǎn)斜式是4y+4 二-尹-6）.化成一般式得4x+3y-12=0 .把常數(shù)次移到等號(hào)右邊，再把方程兩邊都除以12,就得到截距式講解這個(gè)例題時(shí)，要順便解決好下面幾個(gè)問題：（1）直線的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式方程由于給出的點(diǎn)可以是直線上的任意點(diǎn)，因此是不唯一的，一般不作為最后結(jié)果保留， 須進(jìn)一步化簡(jiǎn)；（2）直線方程的

5、一般式也是不唯一的，因?yàn)榉匠痰膬蛇呁艘砸?個(gè)非零常數(shù)后得到的方程與原方程同解， 一般方程可作為最終結(jié)果保留，但須化 為各系數(shù)既無公約數(shù)也不是分?jǐn)?shù)；（3）直線方程的斜截式與截距式如果存在的話 是唯一的，如無特別要求，可作為最終結(jié)果保留.例2 把直線I的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直線I的斜率和在x軸 與y軸上的截距，并畫圖.解：將原方程移項(xiàng)，得 2y=x+6，兩邊除以2得斜截式：因此，直線啲斜率k二,在碎由上的截距是久在上面的方程中令 y = 0Wx=-6根據(jù)直線過點(diǎn)A（-6，0）、B（0，3），在平面內(nèi)作出這兩點(diǎn)連直線就是所要作的 圖形（圖1-28）.本例題由學(xué)生完成，老師講清下面的

6、問題：二元一次方程的圖形是直線，一條直線可 由其方向和它上面的一點(diǎn)確定，也可由直線上的兩點(diǎn)確定，利用前一點(diǎn)作圖比較麻煩，通常我們是找出直線在兩軸上的截距，然后在兩軸上找出相應(yīng)的點(diǎn)連線.例3 證明：三點(diǎn)A（1，3）、B（5, 7）、C（10, 12）在同一條直線上.證法一直線AB的方程是：y - 3 _ x -1化簡(jiǎn)得 y=x+2 .將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上面的方程，等式成立.-A、B、C三點(diǎn)共線.證法一瓦二石二1 KAC= = L-A、B、C三點(diǎn)共線.證法三|AB|= +仃-卯"屁|AC|= J(W +(12-護(hù)=|BC|= 7(12-7)2 + 10-5)2 = 5 雄|AB|+|BC|

7、=|AC| ,-A、C、C三點(diǎn)共線.講解本例題可開拓學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.例4 直線x+2y-10=0與過A(1 , 3)、B(5 , 2)的直線相交于C,試求S有何線段胚所成的定比此題按常規(guī)解題思路可先用兩點(diǎn)式求出AB的方程，然后解方程組得到點(diǎn) C的坐標(biāo)，再求點(diǎn)C分AB所成的定比，計(jì)算量大了一些.如果先用定比分點(diǎn)公式設(shè)出 點(diǎn)C的坐標(biāo)(即滿足點(diǎn)C在直線AB上)，然后代入已知的直線方程求 入，貝U計(jì)算 量要小得多.解 i殳盼胚所成的定比為匚則c點(diǎn)的坐標(biāo)為1+5入3+2入TTV1 y = 77T代入 x+2y-10=0 有:解之得入=-3 .即點(diǎn)毋胚所成的定比為入二3(四)

8、課后小結(jié)(1)歸納直線方程的五種形式及其特點(diǎn).例4 一般化：求過兩點(diǎn)的直線與已知直線(或由線)的交點(diǎn)分以這兩點(diǎn)為端 點(diǎn)的有向線段所成定比時(shí)，可用定比分點(diǎn)公式設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，代入已知直線(或 曲線)求得.五、布置作業(yè)1. (1. 6練習(xí)第1題)由下列條件，寫出直線的方程，并化成一般式：斜率是丄，經(jīng)過點(diǎn)A(& -2)?經(jīng)過點(diǎn)B(4，2)，平行于x軸；(3) 經(jīng)過點(diǎn)C(£ 0),平行于y輸(4) 在盟軸和肅上的截距分別是p -3；(5) 經(jīng)過兩點(diǎn) P1(3，-2)、P2(5，-4);(6) x軸上的截距是-7 ,傾斜角是45°.解：(1)x+2y-4=0 ;(2)y-2=

9、0 ;2x+1=0 ;(4)2x-y-3=0 ;(5)x+y-1=0 ;(6)x-y+7=0 .2. (習(xí)題二第6題)一條直線經(jīng)過蛇，它的傾斜角等于直線尸令的傾斜角的2倍，求這條直線的方程.E兀1TB：己知直線的斜率k廣半傾斜甬一.所求直線傾斜侑503斜率點(diǎn)所求直踐方程是y +書二筋（2）i即屈”y-3鴿=0.3. （習(xí)題二第8題）一條直線和y軸相交于點(diǎn)P（0, 2），它的傾斜角的正弦是老求這條直線的方程.這樣的直線有幾條？434解：設(shè)直線的傾斜角為4則血。飛，cosCl = 1 - > tgCl = ±444所求直線的斜率k二土?所求直線方程林 + 2諏二土乜4. （習(xí)題二第十三題）求過點(diǎn)P（2，3），并且在兩軸上的截距相等的直線方 程.W：當(dāng)言線過原點(diǎn)時(shí)，直線在兩軸上的截距均為o,直線方程為汗當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)在稱由上的截距是a,直線方程為- + - = 1,2a a將P（2,鄉(xiāng)）代入有a =于，直線方程為x + y-5-O.5. （習(xí)題二第16題）設(shè)點(diǎn)P（xo, yo）在直線As+By+C=0h，求證：這條直線 的方程可以寫成 A（x-x o）+B（y-y 0）=0 .證明：將點(diǎn)P（x0， yo）的坐標(biāo)代入有 C=-Ax0-By0，將C代入Ax+By+C=0即卩有 A（x-x 0）+B（y-y 0）=0 .6. 過 A（xi，yi）、B（x2，