第5章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)習(xí)題解答080814

1、第五章 點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)本章要點(diǎn)一、絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)參照系： 定系，動(dòng)系；三種運(yùn)動(dòng)：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)，包括三種速度：絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連速度； 三種加速度：絕對(duì)加速度、相對(duì)加速度和牽連加速度； 牽連點(diǎn)：動(dòng)參考系上瞬時(shí)與動(dòng)點(diǎn)相重合的那一點(diǎn)稱為動(dòng)參考系上的牽連點(diǎn)。二、速度合成定理動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度，等于它在該瞬時(shí)的牽連速度與相對(duì)速度的矢量和，即解題要領(lǐng)1 定系一般總是取地面，相對(duì)定系運(yùn)動(dòng)的物體為動(dòng)系，動(dòng)點(diǎn)不能在動(dòng)系上.2 牽連速度是牽連點(diǎn)的速度.3 速度合成定理中的三個(gè)速度向量，涉及大小方向共六個(gè)因素，能且只能存在兩個(gè)未知數(shù)方能求解，因此，至少有一個(gè)速度向量的大小

2、方向皆為已知的.4 作速度平行四邊形時(shí)，注意作圖次序：一定要先畫大小方向皆為已知的速度向量，然后再根據(jù)已知條件畫上其余兩個(gè)速度向量，特別注意，絕對(duì)速度處于平行四邊形的對(duì)角線位置.5 用解三角形的方法解速度合成圖.三、加速度合成定理1 牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)的加速度合成定理當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于牽連加速度與相對(duì)加速度的矢量和，即 ，當(dāng)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式還可進(jìn)一步寫成其中 ，依次為絕對(duì)軌跡、牽連軌跡和相對(duì)軌跡的曲率半徑。解題要領(lǐng)1牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)的加速度合成定理只對(duì)“牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)”成立，因此，判定牽連運(yùn)動(dòng)是否為平移至關(guān)重要.2 牽連

3、運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)的加速度合成定理涉及的三個(gè)加速度，每一加速度都可能有切向和法向加速度。但是，法向加速度只與速度有關(guān)，因此，可以通過(guò)速度分析予以求解，從而在此處是作為已知的。剩下的三個(gè)切向加速度的大小方向共有六個(gè)因素，能且只能有2個(gè)未知量時(shí)方可求解。3 因加速度合成定理涉及的矢量較多，一般不用幾何作圖的方法求解，而是列投影式計(jì)算，千萬(wàn)不能寫成“平衡方程”的形式。4 在加速度分析中，因動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系的選擇不當(dāng)而出現(xiàn)了一種似是而非的分析過(guò)程。教材中例5.3.5的一個(gè)典型錯(cuò)誤解法如下：例：半徑為r的半圓凸輪移動(dòng)時(shí)，推動(dòng)靠在凸輪上的桿OA繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，凸輪底面直徑DE的延長(zhǎng)線通過(guò)O點(diǎn)，如圖所示。若在的圖示瞬時(shí)位置

4、，已知凸輪向左的移動(dòng)速度為u，加速度為且與u反向，求此瞬時(shí)OA桿的角速度與角加速度。（a） (b) “解”：取OA桿上與凸輪相接觸的B點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固結(jié)在凸輪上。設(shè)OA桿的角速度和角加速度分別為w 和a。1）速度分析：根據(jù)速度合成定理，可畫出速度平行四邊形如圖所a示。由幾何關(guān)系可得, 方向如圖所示。由此可求得OA桿在圖示瞬時(shí)的角速度為，轉(zhuǎn)向如圖所示。2） 加速度分析：根據(jù)牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)的加速度合成定理，有 大?。?？ ？ 方向： 指向O點(diǎn) 指向C點(diǎn)加速度矢量關(guān)系圖如圖b所示。在這個(gè)矢量關(guān)系式中，各加速度分量的大小、方向共有十個(gè)要素，已知八個(gè)要素，可以求解。將圖示的加速度矢量關(guān)系向CB方向投影

5、，得，為負(fù)值說(shuō)明的真實(shí)指向應(yīng)與圖設(shè)的指向相反。由此，可求得OA桿在圖示瞬時(shí)的角加速度的大小為 ，轉(zhuǎn)向如圖所示（由的真實(shí)指向決定）。上述解法是“避免 ”了取OA 桿為動(dòng)系時(shí)出現(xiàn)的科氏加速度，錯(cuò)在何處？這不難從桿OA 的轉(zhuǎn)動(dòng)方程 ，對(duì)時(shí)間求導(dǎo)求得OA 桿的角速度和角加速度值得到驗(yàn)證，式中?？梢钥吹?，速度分析的結(jié)果是正確的，而加速度分析結(jié)果是錯(cuò)誤的。原因是“取OA桿上與凸輪相接觸的B點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)”，此動(dòng)點(diǎn)只在此瞬時(shí)與凸輪相接觸，隨后就分道揚(yáng)鑣了，其相對(duì)軌跡不是凸輪輪廓線，相對(duì)軌跡不清楚，因此，上面分析中用凸輪輪廓線的半徑作為相對(duì)軌跡的曲率半徑的計(jì)算是錯(cuò)誤的。2 牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理牽連運(yùn)動(dòng)為

6、轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理：當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度，等于該瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的牽連加速度、相對(duì)加速度與科氏加速度的矢量和，其中科氏加速度為，當(dāng)相對(duì)速度矢量與牽連角速度矢量垂直時(shí)，相對(duì)速度順著牽連角速度轉(zhuǎn)的方向就是科氏加速度的方向，大小為.當(dāng)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和，因此上式還可進(jìn)一步寫成.解題要領(lǐng)：1 在加速度分析中要特別注意動(dòng)系是否有角速度，如果有，就要考慮科氏加速度。2 牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理涉及的矢量較多，最多有7個(gè)矢量，分析和列投影式時(shí)不要遺漏了。3 法向加速度和科氏加速度只與速度和角速度有關(guān)，因此，在加速度分析時(shí)應(yīng)作為是已知的。4 牽連運(yùn)

7、動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理只可以解2個(gè)未知量。第五章 點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng) 習(xí)題解答 (a)( b)題5-1圖5-1 在圖a、b所示的兩種機(jī)構(gòu)中，已知mm，rad/s。求圖示位置時(shí)桿的角速度。解：（1）取桿上的點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，桿為動(dòng)系。，由作速度平行四邊形（如題5-1圖a所示），得 ， （逆時(shí)針）（2）取滑塊為動(dòng)點(diǎn)，桿為動(dòng)系， ，由 作速度平行四邊形（如題5-1圖b所示），得，.（逆時(shí)針）題5-2圖5-2圖示曲柄滑道機(jī)構(gòu)中，桿BC為水平，桿DE保持鉛直。曲柄長(zhǎng)m，并以勻角速度rad/s繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)滑塊A使桿BC作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。求當(dāng)曲柄水平線的交角分別為、時(shí)桿BC的速度。解：取滑塊A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系為BCE桿。.

8、由 得 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， .5-3圖示曲柄滑道機(jī)構(gòu)中，曲柄長(zhǎng)，并以勻角速度饒O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。裝在水平桿上的滑槽DE與水平線成角。求當(dāng)曲柄與水平線交角、時(shí)，桿BC的速度。解：取滑塊A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系為桿BC，. 作速度矢量圖如圖示。題5-3圖 由正弦定理 ， 解得.當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， (向右).題5-4圖5-4如圖所示，瓦特離心調(diào)速器以角速度繞鉛垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)。由于機(jī)器轉(zhuǎn)速的變化，調(diào)速器重球以角速度向外張開。如該瞬間，。球柄長(zhǎng)，懸掛球柄的支點(diǎn)到鉛垂的距離為，球柄與鉛垂軸間所成的夾角。求此時(shí)重球絕對(duì)速度的大小。解：取重球?yàn)閯?dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸AB為動(dòng)系，則 ，方向如圖示；牽連速度，方向與ADB垂直。根據(jù)，

9、 由勾股定理得 .題5-5圖5-5圖示L形桿BCD以勻速v沿導(dǎo)槽向右平動(dòng)，?？吭谒厦娌⒈３纸佑|的直桿OA長(zhǎng)為l，可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。試以x的函數(shù)表示出直桿OA端點(diǎn)A的速度。解： 以L形桿上的B為動(dòng)點(diǎn)，OA桿為動(dòng)系，則動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系做直線運(yùn)動(dòng)。，設(shè)為，由速度合成定理得 ，由此可求得. 也可以利用以下關(guān)系解出。由，.題5-6圖5-6如圖所示，搖桿OC繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，撥動(dòng)固定在齒條AB上的銷釘K而使齒條在鉛直導(dǎo)軌內(nèi)移動(dòng)。齒條再傳動(dòng)半徑mm的齒輪D。連線是水平的，距離 mm。在圖示位置，搖桿角速度rad/s，。試求此時(shí)齒輪D的角速度。解： 解法一：分兩步計(jì)算。（1）計(jì)算齒條AB的速度。取K為動(dòng)點(diǎn)，OC桿為動(dòng)系

10、，則. 由速度合成定理得：， （2）計(jì)算齒輪D的角速度。 .（逆時(shí)針）解法二：設(shè)齒輪D和齒條AB的嚙合點(diǎn)到K點(diǎn)的距離為，則 ，從而有，代入數(shù)據(jù)，.其中負(fù)號(hào)表示是沿減小的方向，即向下。齒輪D的角速度為 .（逆時(shí)針）題5-7圖5-7繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤及直桿OA上均有一導(dǎo)槽，兩導(dǎo)槽間有一活動(dòng)銷子M如圖所示，。設(shè)在圖示位置時(shí)，圓盤及直桿的角速度分別為和。求此瞬時(shí)銷子M的速度大小。解： 取銷子M為動(dòng)點(diǎn)，分別將動(dòng)系1，2固結(jié)在盤和桿OA上，則，方向與OA垂直. 由速度合成定理， ，故 ，將此式向水平方向投影，得 由此解出 題5-8圖，代入數(shù)據(jù)得 ，所以銷子速度.5-8如圖所示，曲柄長(zhǎng)mm，以等角速度rad/

11、s繞O軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。曲柄的A端推動(dòng)水平板B，使滑桿C沿鉛直方向上升。當(dāng)曲柄與水平線間的夾角時(shí)，試求滑桿C的速度和加速度。解： 選OA桿的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，水平板B為動(dòng)系，它做平移動(dòng)。（1） 速度分析. ，由作速度平行四邊形， 代入數(shù)據(jù)，. 方向向上（2） 加速度分析. ，由畫加速度如圖所示，代入數(shù)據(jù)， 方向向下 5-9 半徑為R的半圓形凸輪D以等速沿水平線向右運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)從動(dòng)桿AB沿鉛直方向上升，如圖所示。求，AB桿的速度和加速度。解： OA桿的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，凸輪為動(dòng)系，它做平移.（1）速度分析. ，由作速度平行四邊形，得題5-9圖 ，代入數(shù)據(jù)，（2）加速度分析. ，由牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)的加速度合成定理為

12、 ，向凸輪的法向軸投影，解得，負(fù)號(hào)表示所畫的絕對(duì)加速度方向與實(shí)際相反，即與所畫速度方向相反。題5-10圖5-10如圖所示，半徑為R的半圓形凸輪D以等速在水平面上滑動(dòng)，長(zhǎng)為的直桿 OA可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求圖示瞬時(shí)A點(diǎn)的速度與加速度，并求OA桿的角速度與角加速度。解：OA桿的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，凸輪為動(dòng)系，它做平移.（1）速度分析. ，根據(jù)作速度平行四邊形， 由正弦定理得 ，解得 ，其中角由正弦定理 ，求得，從而. , (逆時(shí)針). .（2） 加速度分析. ，.根據(jù)牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)的加速度合成定理 向凸輪的法向軸列投影式，其中. 解得 ， ，（順時(shí)針）.5-11 如圖所示，帶滑道的圓輪以等角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑

13、塊A可在滑道內(nèi)滑動(dòng)，已知，在圖示瞬時(shí)，且，試求此瞬時(shí)：（1）滑塊相對(duì)于圓輪的速度和加速度；（2）曲柄的角速度及角加速度。題5-11圖解： 取桿的A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，圓輪為動(dòng)系，它作定軸轉(zhuǎn)動(dòng).（1） 速度分析. ，.由，經(jīng)過(guò)速度合成圖分析可以看出 .其中 ，代入上式，得 ，.曲柄的角速度，順時(shí)針?lè)较?（2）加速度分析.，由牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理 ，分別向水平和鉛垂軸投影 ，解得：，.(方向向上). 曲柄的角加速度 ，(逆時(shí)針).題5-12圖5-12 如圖所示桿繞軸以等角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，連桿一端的滑塊B以等速沿滑槽運(yùn)動(dòng)，AB桿長(zhǎng)為.試求圖示瞬時(shí)AB桿的角速度和角加速度.解： 若以A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，AB為

14、動(dòng)系，則A點(diǎn)作合成運(yùn)動(dòng)。但AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，平面運(yùn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的速度和加速度分析要在第六章中學(xué)習(xí)，因此，這題我們用第四章講述的方法解。 設(shè)在任意位置，桿AB和桿與水平線夾角分別為，如圖示。按正弦定理得 ， (a)上式等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，注意到， (b)得 ，（順時(shí)針）. （a）式等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求2次導(dǎo)，注意到（b）式和，得題5-13圖b）點(diǎn)的加速度合成圖，順時(shí)針.5-13如圖所示，桿OA繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤繞動(dòng)軸A轉(zhuǎn)動(dòng)。一直桿長(zhǎng)m，圓盤半徑m，在圖示位置，桿的角速度和角加速度為rad/s，圓盤相對(duì)于桿OA的角速度和角加速度為rad/s，。求圓盤上和點(diǎn)的絕對(duì)速度及絕對(duì)加速度。解： （1）動(dòng)點(diǎn)

15、：圓盤上點(diǎn)；動(dòng)系： OA桿。則OA延長(zhǎng)線與重合的點(diǎn)為牽連點(diǎn)?？傻?，方向?yàn)榇怪蹦鏁r(shí)針?lè)较颉Ｓ?,方向與平行而反向。點(diǎn)的速度合成圖 ,方向與相同。 點(diǎn)的加速度合成圖如圖b) ，其中 ； 由牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的加速度合成定理 ，得 ,點(diǎn)的加速度合成圖(2) 動(dòng)點(diǎn)：圓盤上點(diǎn)；動(dòng)系： OA桿。OA桿的剛性延伸，與點(diǎn)重合的點(diǎn)為牽連點(diǎn)，有 ，速度合成圖如圖示，圖中 由速度合成定理得 .作點(diǎn)的速度合成圖如圖示，其中 ，.加速度合成定理 ，得， ，由勾股定理，得 .5-14圖示圓盤繞水平軸AB轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為rad/s，盤上M點(diǎn)沿半徑方向槽按的規(guī)律運(yùn)動(dòng)（單位為mm，單位為s）。OM與AB軸成傾角。求當(dāng)s時(shí)，M

16、點(diǎn)的絕對(duì)加速度的大小。解： 題5-14圖取點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，圓盤為動(dòng)系，計(jì)算 時(shí)刻取值，得到M點(diǎn)在該瞬時(shí)的位置，相速度和相對(duì)加速度：，以及圓盤在該瞬時(shí)的角速度，角加速度：取坐標(biāo)系如圖示，與盤面重合，且軸為轉(zhuǎn)軸，垂直盤面. 對(duì)點(diǎn)M作加速度分析如圖，加速度合成定理為，其中，與軸同向平行；，與軸反向平行；，與軸同向平行；于是有 ； ； ，由此解出. 題5-15圖5-15曲柄OBC繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，使套在其上的小環(huán)M沿固定直桿OA滑動(dòng)，如圖所示。已知mm，OB垂直于BC，曲桿角速度rad/s。求當(dāng)時(shí)，小環(huán)M的速度和加速度。解：取小環(huán)M為動(dòng)點(diǎn)，直角桿為動(dòng)系.M點(diǎn)的速度和加速度圖1） 速度分析. 根據(jù)速度合成定理 作出速度平行四邊形，如圖示，其中 ，由此解出 .2）加速度分析. 根據(jù)加速度合成定理，作出加速度圖，如圖示，其中 ，向與BC垂直的軸投影，有 ， 解得 .題5-16 圖5-16 一牛頭刨床的機(jī)構(gòu)如圖所示。已知mm，勻角速度rad/s。求圖示位置滑枕CD的速度和加速度。解：1）速度分析（圖a）。先取的點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，為動(dòng)系，設(shè)。由速度合成定理，點(diǎn)的速度為 ，其中