推薦八年級第二學(xué)期數(shù)學(xué)四邊形正方形與梯形

1、正方形1由正方形的定義可以得知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角是直角的菱形2、正方形具有矩形的性質(zhì)，同時又具有菱形的性質(zhì)可以將正方形的性質(zhì)總結(jié)如下： 邊：對邊平行，四邊相等；角：四個角都是直角； 對角線：對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角3對于怎樣判定一個四邊形是正方形，只要能判定一個四邊形是矩形，又能判定這個矩形也是菱形，或者先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形也是矩形，就可以判定這個四邊形是正方形，實際上就是根據(jù)正方形定義來判定4、正方形的性質(zhì)和判定是平行四邊形、菱形、矩形的性質(zhì)與判定的綜合。例1已知：四邊形abcd是正方形，對角線ac、bd相交于點(diǎn)o（如圖）求證

2、：abo、bco、cdo、dao是全等的等腰直角三角形 例2已知：如圖，正方形abcd中，對角線的交點(diǎn)為o，e是ob上的一點(diǎn)，dgae于g，dg交oa于f求證：oe=of例3已知：如圖，四邊形abcd是正方形，分別過點(diǎn)a、c兩點(diǎn)作l1l2，作bml1于m，dnl1于n，直線mb、dn分別交l2于q、p點(diǎn)求證：四邊形pqmn是正方形梯形1、幾種特殊梯形的定義、性質(zhì)、判定方法和面積公式：類別定義性質(zhì)判定面積公式梯形一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形中位線平行于兩底且等于兩底和的一半根據(jù)定義判定兩底之和與高的乘積的一半或中位線與高的乘積等腰梯形兩腰相等的梯形1. 兩腰相等；2. 同一底上的兩角相

3、等；3. 兩條對角線相等4. 等腰梯形是軸對稱圖形1. 根據(jù)定義判定；2. 同底兩角相等的梯形。直角梯形一腰垂直于底的梯形具有梯形的一切性質(zhì)根據(jù)定義判定2、解決梯形問題常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形（圖1）；（2）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中（圖2）；（3）“平移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中（圖3）；（4）“延腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個等腰三角形（圖4）；（5）“等積變形”，連結(jié)梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長與下底延長線交于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形（圖5） 圖1 圖2 圖3 圖4 圖5綜上所述：解決梯形問題的基本思想和方法就是通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線

4、，把梯形問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的平行四邊形和三角形問題來解決。3. 重心：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)。 例1、已知：如圖，在梯形abcd中，adbc，d90°，cababc， beac于e求證：becd 例2、證明：對角線相等的梯形是等腰梯形 例3、已知等腰梯形的銳角等于，它的兩底分別是和，求它的腰長。例4、已知梯形abcd的面積是32，兩底與高的和為16，如果其中一條對角線與兩底垂直，求另一條對角線的長。例5、已知ab=bc，abcd，d=90°，aebc求證：cd=ce例6、如圖，在梯形中，、為、的中點(diǎn)。求證：。 例7、已知梯形abcd中，adbc，abc的平分線過

5、cd的中點(diǎn)e求證：adbc=ab例8、如圖，e是梯形abcd中腰dc上的中點(diǎn)，求證： 例9、已知：如圖，四邊形abcd為矩形，四邊形abde為等腰梯形，。求證：例10、如圖，已知：ad是的平分線，. （1）求證：四邊形adce是等腰梯形. （2）若的周長為，求四邊形adce的周長. 例11、如圖所示，在梯形abcd中，abcd，ad=bc，o是對角線ac、bd的交點(diǎn)，aob=60°，又e、f、g分別是do、ao、bc的中點(diǎn)。求證：efg是等邊三角形。 例12、已知如圖，在直角梯形abcd中，abcd，ad=90°，bcabcd，p為ad的中點(diǎn)，求證：cppb。正方形答案1、

6、證明： 四邊形abcd是正方形， ac=bd， acbd，ao=co=bo=do（正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分）abo、bco、cdo、dao都是等腰直角三角形，并且 abo bcocdodao2、分析：要證明oe=of，只需證明aeodfo，由于正方形的對角線垂直平分且相等，可以得到aoe=dof=90°，ao=do，再由同角或等角的余角相等可以得到eao=fdo，根據(jù)asa可以得到這兩個三角形全等，故結(jié)論可得證明： 四邊形abcd是正方形， aoe=dof=90°，ao=do（正方形的對角線垂直平分且相等）又 dgae， eao+aeo=edg+aeo=90

7、° eao=fdo aeo dfo oe=of3、分析：由已知可以證出四邊形pqmn是矩形，再證abmdan，證出am=dn，用同樣的方法證an=dp即可證出mn=np從而得出結(jié)論證明：pnl1，qml1， pnqm，pnm=90°pqnm，四邊形pqmn是矩形 四邊形abcd是正方形bad=adc=90°，ab=ad=dc（正方形的四條邊都相等，四個角都是直角）1+2=90°又3+2=90°， 1=3abmdanam=dn 同理 an=dpam+an=dn+dp即 mn=pn四邊形pqmn是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）梯形答案1、分

8、析：要證be=cd，需添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形，其方法是：平移一腰，過點(diǎn)d作dfab交bc于f，因此四邊形abfd是平行四邊形，則df=ab，由已知可導(dǎo)出dfc=bae，因此rtabertfdc（aas），故可得出be=cd證明（略）另證：如圖，根據(jù)題意可構(gòu)造等腰梯形abfd，證明abefdc即可 2、分析：證明本題的關(guān)鍵是如何利用對角線相等的條件來構(gòu)造等腰三角形在abc和dcb中，已有兩邊對應(yīng)相等，要能證1=2，就可通過證abc dcb得到ab=dc證明：過點(diǎn)d作deac，交bc的延長線于點(diǎn)e，又 adbc， 四邊形aced為平行四邊形， de=ac ac=bd ， de=bd 1=

9、e 2=e ， 1=2 又 ac=db，bc=cb， abcdcb ab=cd 梯形abcd是等腰梯形3、思路點(diǎn)撥：已知：如圖，在梯形abcd中，. 求：ab的長.解析：過點(diǎn)a作交bc于e，四邊形abcd是等腰梯形， adbc 又，四邊形aecd是平行四邊形. 是等邊三角形. 又， 4、梯形abcd中，adbc，bdbc設(shè)ad=x，bc=y，db=z， 由題得：x+y+z=16， ，（熟記梯形面積公式） 解得x+y=8，z=8， 過d作deac交bc的延長線于e 四邊形adec是平行四邊形，（注意這種輔助線的作法很常用） de=ac，ad=ce（將“上底+下底”轉(zhuǎn)化到一條線段上） 在rtdbe

10、中，dbe=90°，be=bc+ce=x+y=8，bd=8， 根據(jù)勾股定理得， ac=de， 5分析：這是一個直角梯形，通過作cfab，可以將梯形分成矩形和直角三角形，結(jié)合直角梯形的性質(zhì)，利用兩次全等，達(dá)到證明cd=ce的目的證明：如圖，連結(jié)ac，過c作cfab于f在cfb和aeb中，（這是直角梯形中常見的輔助線）cfbaeb（aas）cf=aed=90°，cfab且abcd，afcd是矩形ad=cf，ad=ae在rtadc和rtaec中，rtadcrtaec（hl）cd=ce 6、如圖，延長，相交于點(diǎn)，連結(jié)，. 、為、的中點(diǎn)， ， 、三點(diǎn)共線 7、證明：過e作efbc交ab于f，則efbcad，e是cd的中點(diǎn) ef為梯形abcd的中位線,2=3adbc=2ef，af=fb 1=2， 1=3，則bf=efbf=ef=af 2ef=bf+af=abadbc=2ef adbc=ab8、證明：過e作mnab交bc于n，交 ad的延長線于m，則四邊形abnm是平行四邊形abe與abnm同底同高，1=c，m=2，de=ce，emdenc sabnm=s梯形abcd 9、解析：四邊形abcd為矩形，四邊形abde為等腰梯形，且為其對角線，在和中，又， 10、證明：（1）（已知）， （兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 又（角平分線定義）， （等角對等邊