推薦八年級(jí)第二學(xué)期數(shù)學(xué)四邊形正方形與梯形

1、正方形1由正方形的定義可以得知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個(gè)角是直角的菱形2、正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì)可以將正方形的性質(zhì)總結(jié)如下： 邊：對(duì)邊平行，四邊相等；角：四個(gè)角都是直角； 對(duì)角線(xiàn)：對(duì)角線(xiàn)相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角3對(duì)于怎樣判定一個(gè)四邊形是正方形，只要能判定一個(gè)四邊形是矩形，又能判定這個(gè)矩形也是菱形，或者先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形也是矩形，就可以判定這個(gè)四邊形是正方形，實(shí)際上就是根據(jù)正方形定義來(lái)判定4、正方形的性質(zhì)和判定是平行四邊形、菱形、矩形的性質(zhì)與判定的綜合。例1已知：四邊形abcd是正方形，對(duì)角線(xiàn)ac、bd相交于點(diǎn)o（如圖）求證

2、：abo、bco、cdo、dao是全等的等腰直角三角形 例2已知：如圖，正方形abcd中，對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為o，e是ob上的一點(diǎn)，dgae于g，dg交oa于f求證：oe=of例3已知：如圖，四邊形abcd是正方形，分別過(guò)點(diǎn)a、c兩點(diǎn)作l1l2，作bml1于m，dnl1于n，直線(xiàn)mb、dn分別交l2于q、p點(diǎn)求證：四邊形pqmn是正方形梯形1、幾種特殊梯形的定義、性質(zhì)、判定方法和面積公式：類(lèi)別定義性質(zhì)判定面積公式梯形一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形中位線(xiàn)平行于兩底且等于兩底和的一半根據(jù)定義判定兩底之和與高的乘積的一半或中位線(xiàn)與高的乘積等腰梯形兩腰相等的梯形1. 兩腰相等；2. 同一底上的兩角相

3、等；3. 兩條對(duì)角線(xiàn)相等4. 等腰梯形是軸對(duì)稱(chēng)圖形1. 根據(jù)定義判定；2. 同底兩角相等的梯形。直角梯形一腰垂直于底的梯形具有梯形的一切性質(zhì)根據(jù)定義判定2、解決梯形問(wèn)題常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形（圖1）；（2）“作高”：使兩腰在兩個(gè)直角三角形中（圖2）；（3）“平移對(duì)角線(xiàn)”：使兩條對(duì)角線(xiàn)在同一個(gè)三角形中（圖3）；（4）“延腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)等腰三角形（圖4）；（5）“等積變形”，連結(jié)梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與下底延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形（圖5） 圖1 圖2 圖3 圖4 圖5綜上所述：解決梯形問(wèn)題的基本思想和方法就是通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)

4、，把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的平行四邊形和三角形問(wèn)題來(lái)解決。3. 重心：三角形的重心是三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)。 例1、已知：如圖，在梯形abcd中，adbc，d90°，cababc， beac于e求證：becd 例2、證明：對(duì)角線(xiàn)相等的梯形是等腰梯形 例3、已知等腰梯形的銳角等于，它的兩底分別是和，求它的腰長(zhǎng)。例4、已知梯形abcd的面積是32，兩底與高的和為16，如果其中一條對(duì)角線(xiàn)與兩底垂直，求另一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)。例5、已知ab=bc，abcd，d=90°，aebc求證：cd=ce例6、如圖，在梯形中，、為、的中點(diǎn)。求證：。 例7、已知梯形abcd中，adbc，abc的平分線(xiàn)過(guò)

5、cd的中點(diǎn)e求證：adbc=ab例8、如圖，e是梯形abcd中腰dc上的中點(diǎn)，求證： 例9、已知：如圖，四邊形abcd為矩形，四邊形abde為等腰梯形，。求證：例10、如圖，已知：ad是的平分線(xiàn)，. （1）求證：四邊形adce是等腰梯形. （2）若的周長(zhǎng)為，求四邊形adce的周長(zhǎng). 例11、如圖所示，在梯形abcd中，abcd，ad=bc，o是對(duì)角線(xiàn)ac、bd的交點(diǎn)，aob=60°，又e、f、g分別是do、ao、bc的中點(diǎn)。求證：efg是等邊三角形。 例12、已知如圖，在直角梯形abcd中，abcd，ad=90°，bcabcd，p為ad的中點(diǎn)，求證：cppb。正方形答案1、

6、證明： 四邊形abcd是正方形， ac=bd， acbd，ao=co=bo=do（正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分）abo、bco、cdo、dao都是等腰直角三角形，并且 abo bcocdodao2、分析：要證明oe=of，只需證明aeodfo，由于正方形的對(duì)角線(xiàn)垂直平分且相等，可以得到aoe=dof=90°，ao=do，再由同角或等角的余角相等可以得到eao=fdo，根據(jù)asa可以得到這兩個(gè)三角形全等，故結(jié)論可得證明： 四邊形abcd是正方形， aoe=dof=90°，ao=do（正方形的對(duì)角線(xiàn)垂直平分且相等）又 dgae， eao+aeo=edg+aeo=90

7、° eao=fdo aeo dfo oe=of3、分析：由已知可以證出四邊形pqmn是矩形，再證abmdan，證出am=dn，用同樣的方法證an=dp即可證出mn=np從而得出結(jié)論證明：pnl1，qml1， pnqm，pnm=90°pqnm，四邊形pqmn是矩形 四邊形abcd是正方形bad=adc=90°，ab=ad=dc（正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角）1+2=90°又3+2=90°， 1=3abmdanam=dn 同理 an=dpam+an=dn+dp即 mn=pn四邊形pqmn是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）梯形答案1、分

8、析：要證be=cd，需添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，其方法是：平移一腰，過(guò)點(diǎn)d作dfab交bc于f，因此四邊形abfd是平行四邊形，則df=ab，由已知可導(dǎo)出dfc=bae，因此rtabertfdc（aas），故可得出be=cd證明（略）另證：如圖，根據(jù)題意可構(gòu)造等腰梯形abfd，證明abefdc即可 2、分析：證明本題的關(guān)鍵是如何利用對(duì)角線(xiàn)相等的條件來(lái)構(gòu)造等腰三角形在abc和dcb中，已有兩邊對(duì)應(yīng)相等，要能證1=2，就可通過(guò)證abc dcb得到ab=dc證明：過(guò)點(diǎn)d作deac，交bc的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)e，又 adbc， 四邊形aced為平行四邊形， de=ac ac=bd ， de=bd 1=

9、e 2=e ， 1=2 又 ac=db，bc=cb， abcdcb ab=cd 梯形abcd是等腰梯形3、思路點(diǎn)撥：已知：如圖，在梯形abcd中，. 求：ab的長(zhǎng).解析：過(guò)點(diǎn)a作交bc于e，四邊形abcd是等腰梯形， adbc 又，四邊形aecd是平行四邊形. 是等邊三角形. 又， 4、梯形abcd中，adbc，bdbc設(shè)ad=x，bc=y，db=z， 由題得：x+y+z=16， ，（熟記梯形面積公式） 解得x+y=8，z=8， 過(guò)d作deac交bc的延長(zhǎng)線(xiàn)于e 四邊形adec是平行四邊形，（注意這種輔助線(xiàn)的作法很常用） de=ac，ad=ce（將“上底+下底”轉(zhuǎn)化到一條線(xiàn)段上） 在rtdbe

10、中，dbe=90°，be=bc+ce=x+y=8，bd=8， 根據(jù)勾股定理得， ac=de， 5分析：這是一個(gè)直角梯形，通過(guò)作cfab，可以將梯形分成矩形和直角三角形，結(jié)合直角梯形的性質(zhì)，利用兩次全等，達(dá)到證明cd=ce的目的證明：如圖，連結(jié)ac，過(guò)c作cfab于f在cfb和aeb中，（這是直角梯形中常見(jiàn)的輔助線(xiàn)）cfbaeb（aas）cf=aed=90°，cfab且abcd，afcd是矩形ad=cf，ad=ae在rtadc和rtaec中，rtadcrtaec（hl）cd=ce 6、如圖，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，連結(jié)，. 、為、的中點(diǎn)， ， 、三點(diǎn)共線(xiàn) 7、證明：過(guò)e作efbc交ab于f，則efbcad，e是cd的中點(diǎn) ef為梯形abcd的中位線(xiàn),2=3adbc=2ef，af=fb 1=2， 1=3，則bf=efbf=ef=af 2ef=bf+af=abadbc=2ef adbc=ab8、證明：過(guò)e作mnab交bc于n，交 ad的延長(zhǎng)線(xiàn)于m，則四邊形abnm是平行四邊形abe與abnm同底同高，1=c，m=2，de=ce，emdenc sabnm=s梯形abcd 9、解析：四邊形abcd為矩形，四邊形abde為等腰梯形，且為其對(duì)角線(xiàn)，在和中，又， 10、證明：（1）（已知）， （兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 又（角平分線(xiàn)定義）， （等角對(duì)等邊