高中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)與研究

1、高中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)與研究用分類(lèi)討論的的思想解題廣東省南海市桂城中學(xué)王宗祥 郵編 528200參數(shù)廣泛地存在于中學(xué)數(shù)學(xué)的各類(lèi)問(wèn)題中，也是近幾年來(lái)高考重點(diǎn)考查的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。以命題的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)為標(biāo)準(zhǔn)，含參數(shù)的問(wèn)題可分為兩種類(lèi)型，。一種類(lèi)型的問(wèn)題是根據(jù)參數(shù)在允許值范圍內(nèi)的不同取值（或取值范圍），去探求命題可能出現(xiàn)的結(jié)果，然后歸納出命題的結(jié)論；另一種類(lèi)型的問(wèn)題是給定命題的結(jié)論去探求參數(shù)的取值范圍或參數(shù)應(yīng)滿足的條件。本文擬就第一類(lèi)問(wèn)題的解題思想方法分類(lèi)與討論作一些探討，不妥之處，敬請(qǐng)斧正。解決第一類(lèi)型的參數(shù)問(wèn)題，通常要用“分類(lèi)討論”的方法，即根據(jù)問(wèn)題的條件和所涉及到的概念；運(yùn)用的定理、公式、性質(zhì)以及

2、運(yùn)算的需要，圖形的位置等進(jìn)行科學(xué)合理的分類(lèi)，然后逐類(lèi)分別加以討論，探求出各自的結(jié)果，最后歸納出命題的結(jié)論，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。它實(shí)際上是一種化難為易?；睘楹?jiǎn)的解題策略和方法。一、科學(xué)合理的分類(lèi)把一個(gè)集合a分成若干個(gè)非空真子集ai（i=1、2、3···n）（n2，nn），使集合a中的每一個(gè)元素屬于且僅屬于某一個(gè)子集。即 a1a2a3···anaaiaj（i,jn,且ij）。則稱對(duì)集a進(jìn)行了一次科學(xué)的分類(lèi)（或稱一次邏輯劃分）科學(xué)的分類(lèi)滿足兩個(gè)條件：條件保證分類(lèi)不遺漏；條件保證分類(lèi)不重復(fù)。在此基礎(chǔ)上根據(jù)問(wèn)題的條件和性質(zhì)，應(yīng)盡可能減少分類(lèi)。

3、二、確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)在確定討論的對(duì)象后，最困難是確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，一般來(lái)講，分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的確定通常有三種：（1）根據(jù)數(shù)學(xué)概念來(lái)確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)例如：絕對(duì)值的定義是： 所以在解含有絕對(duì)值的不等式|logx|+|log (3x)|1時(shí)，就必須根據(jù)確定logx ， log（3x）正負(fù)的x值1和2將定義域（0，3）分成三個(gè)區(qū)間進(jìn)行討論，即0x1，1x2，2x3三種情形分類(lèi)討論。例1、 已知?jiǎng)狱c(diǎn)m到原點(diǎn)o的距離為m，到直線l：x2的距離為n，且m+n4（1） 求點(diǎn)m的軌跡方程。（2） 過(guò)原點(diǎn)o作傾斜角為的直線與點(diǎn)m的軌跡曲線交于p,q兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)pq的最大值及對(duì)應(yīng)的傾斜角。解：（1）設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為（x,y），依題意可

4、得：+= 4 根據(jù)絕對(duì)值的概念,軌跡方程取決于x2還是x2，所以以2為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)討論可 得軌跡方程為：y = y 解（2）如圖1，由于p，q的位置變化， q弦長(zhǎng)pq的表達(dá)式不同，故必須分 -1 o 2 3 x點(diǎn)p，q都在曲線y2=4(x+1)以及一點(diǎn) p 在曲線y2=4(x+1)上而另一點(diǎn)在 曲線y2=12（x3）上可求得：從而知當(dāng)或時(shí),（2）根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理，公式和性質(zhì)確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)中的某些公式，定理，性質(zhì)在不同條件下有不同的結(jié)論，在運(yùn)用它們時(shí)，就要分類(lèi)討論，分類(lèi)的依據(jù)是公式中的條件。例如，對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax的單調(diào)性是分0a1和a1兩種情況給出的，所以在解底數(shù)中含有字母的不等式；如l

5、ogx>1就應(yīng)以底數(shù)x1和0x1進(jìn)行分類(lèi)討論，即：當(dāng)x1時(shí)，, 當(dāng)0x1時(shí)，.又如，等比數(shù)列前幾項(xiàng)和公式是分別給出的：所以在解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，如果q是可以變化的量，就要以q為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)討論。例2，設(shè)首項(xiàng)為1，公比為q（q0）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為sn,又設(shè)tn，n1，2，···求tn解：當(dāng)q1時(shí)，snn，tn , 當(dāng)q1時(shí)，sn于是當(dāng)0q1時(shí)， 當(dāng)q1時(shí)，綜上所述，（3）根據(jù)運(yùn)算的需要確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。例如：解不等式組顯然，應(yīng)以3，4為標(biāo)準(zhǔn)將a分為1a3，3a4，a4三種情況進(jìn)行討論。例3，解關(guān)于x的不等式組其中a0且a1。解，由于不等式中均含有參數(shù)a，其解的狀況

6、均取決于a1還是a1，所以1為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)，（）當(dāng)0a1時(shí)，可求得解為: ;（）當(dāng)a1時(shí)，可解得:, 此時(shí)不等式組是否有解關(guān)鍵取決于 與2的大小關(guān)系，所以以 即a3為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行第二次分類(lèi)。（1） 當(dāng)1a3時(shí)解集為（2） 當(dāng)a3時(shí)解集為 綜上所述：當(dāng)0a1時(shí)，原不等式解集為 (2, ;當(dāng)1a3時(shí)，解集為；當(dāng)a3時(shí)，解集為 (2, .三、分類(lèi)討論的方法和步驟（1） 確定是否需要分類(lèi)討論以及需要討論時(shí)的對(duì)象和它的取值范圍；（2） 確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)合理分類(lèi)；（3） 逐類(lèi)進(jìn)行討論得出各類(lèi)結(jié)果；（4） 歸納各類(lèi)結(jié)論。例4，若函數(shù)f（x）a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）和（,1）兩點(diǎn)，且x0,

7、時(shí)，f（x）2恒成立，試求a的取值范圍。解：由f（0）a+b1，f（）a+c1，求得bc1af（x）a+（1a）（sinx+cosx）a+（1a）sin（x+）當(dāng)a1時(shí)，1f（x）a（1a）f（x）2只要a+（1a）2解得aa1；當(dāng)a1時(shí)，a（1a）f（x）1，只要a（1a）2，解得a4+3 , 1a4+3，綜合，知實(shí)數(shù)a的取值范圍為，4+3。例5，已知函數(shù)f（x）sim2x-asim2 試求以a表示f（x）的最大值b。解：原函數(shù)化為f（x）令tcosx，則1t1記g（t）（。t1，1因?yàn)槎魏瘮?shù)g（t）的最大值的取得與二次函數(shù)y=g(t)的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相對(duì)于定義域1，1的位置密切相關(guān)，

8、所以以相對(duì)于區(qū)間1，1的位置分三種情況討論：（1） 當(dāng)11，即4a4時(shí)，b=g(t)max, 此時(shí)t= ;（2） 當(dāng)1, 即a4時(shí)，ba , 此時(shí) t=（3） 當(dāng)1, 即a4時(shí)，b0, 此時(shí), t=1 綜上所述：b例6、等差數(shù)列an的公差d0，sn為前n項(xiàng)之和，若spsq，（p,qn，pq）試用d，p，q表示sn的最大值。略解：由spsqpq可求得d0，a10，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)sn最大。由an0 得n，由an+10得，nn，nn，要以是否為正整數(shù)即p+q是奇數(shù)還是偶數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)分兩類(lèi)討論。（1） 當(dāng)p+q為偶數(shù)時(shí)n，sn最大且為(sn)max=（2） 當(dāng)p+q為奇數(shù)時(shí)，n或n,sn最大，且 為（sn）max分類(lèi)討論的思想是一種重要的解題策略，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性以及提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力無(wú)疑具有較大的幫助。然而并不是問(wèn)題中一出現(xiàn)含參數(shù)問(wèn)題就一定得分類(lèi)討論，如果能結(jié)合利用數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)的思想等解題思想方法可避免或簡(jiǎn)化分類(lèi)討論，從而達(dá)到迅速、準(zhǔn)確的解題效果。例7、解關(guān)于x的不等式：ax y 略解：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解題如圖： 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y和yax的圖象，以l1 , l2, l3在y軸上的截距作為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)， -1 0 3 x 知: 當(dāng)a1時(shí); 1x3 l1