第29講等比數(shù)列

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)一數(shù)學(xué)人教版高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座29）等比數(shù)列一. 課標(biāo)要求：1. 通過(guò)實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念；2. 探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式；3. 能在具體的問(wèn)題情境中， 發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系， 并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。 體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。二. 命題走向等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點(diǎn)。客觀性的 試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本性質(zhì)的靈活應(yīng) 用，對(duì)基本的運(yùn)算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識(shí)為工具。預(yù)測(cè)07年高考對(duì)本講的考察為：（1 ）題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主

2、的12道客觀題目；（2 ）關(guān)于等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題或知識(shí)交匯題的解答題也是重點(diǎn)；（3）解決問(wèn)題時(shí)注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，象通過(guò)逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、 等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等，它將能靈活考察考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。三. 要點(diǎn)精講1.等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起.，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù).，那 么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q=0），即：a. .1: a. =q（q=0）數(shù)列對(duì)于數(shù)列（1） （2） （3）都是等比數(shù)列，它們的1公比依次是2, 5,。（注意：“從第二項(xiàng)起”、“常數(shù)” q、等比數(shù)列的公比和

3、項(xiàng)都不為2零）2 等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：an = a1 qnJ（a1 q = 0）。說(shuō)明：（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比d =1時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若an為等比數(shù)列，則amanm -n二 q3 .等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù) G，使a,G,b成等比數(shù)列，那么 G叫做a與b的等比 中項(xiàng)（兩個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)）。4 等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列 冃月283,，an,的前n項(xiàng)和是Sn二aa2 a3 an,當(dāng) q “ 時(shí)，Sn 二 a1（1 q）或 Sn -aanq ；當(dāng) q=1 時(shí)，S n （錯(cuò)位相減法）。1-q

4、1-q說(shuō)明：（1） a1,q, n,Sn和a1）an,q,Sn各已知三個(gè)可求第四個(gè)；（2）注意求和公式中 是qn，通項(xiàng)公式中是qn4不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時(shí)q=1，必要時(shí)應(yīng)討論q=1的 情況。四典例解析題型1:等比數(shù)列的概念1例1 “公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為丄的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；2“ a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac”； “ a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個(gè)命題中，正確的有（）A 1個(gè)B 2個(gè)C 3個(gè)D 4個(gè)解析：四個(gè)命題中只有最后一個(gè)是真命題。命題1中未考慮各項(xiàng)都為 0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列；1 1命題2中可知an+1=

5、an3 ,為+1勺.未必成立，當(dāng)首項(xiàng) $<0時(shí)，an<0,則一an>an，即2 2an+1>an,此時(shí)該數(shù)列為遞增數(shù)列；命題3中，若a=b=0, c R，此時(shí)有b2 = ac，但數(shù)列a,b,c不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是必要而不充分條件，若將條件改為b= ac，則成為不必要也不充分條件。點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們 要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。例2 命題1：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=an+b（a工1），則數(shù)列an是等比數(shù)列；命題2：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c（a豐0），則數(shù)列an是等差數(shù)列；命題3：若

6、數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=na n,則數(shù)列an既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列； 上述三個(gè)命題中，真命題有（）A 0個(gè)B 1個(gè)C 2個(gè)D 3個(gè)解析：由命題1得，a1=a+b，當(dāng)n2時(shí)，an=Sn Sn- 1=（a 1）2 an S若a*是等比數(shù)列，貝V a2=a，即=a，所以只有當(dāng)b= 1且0時(shí)，此數(shù)列才是等比數(shù)列。a1a+b由命題2得，a1=a+b+c，當(dāng)n2時(shí)，an=Sn Sn-1=2na+b a,若an是等差數(shù)列，則 a2 a1=2a，即2a c=2a，所以只有當(dāng)c=0時(shí)，數(shù)列an才是等差數(shù)列。由命題3得，a1=a 1,當(dāng)n2時(shí)，an=Sn Sn- 1=a 1，顯然a n是一個(gè)常數(shù)列，即 公差為

7、0的等差數(shù)列，因此只有當(dāng)a 1工0;即1時(shí)數(shù)列an才又是等比數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：等比數(shù)列中通項(xiàng)與求和公式間有很大的聯(lián)系，上述三個(gè)命題均涉及到Sn與徘的關(guān)系，它們是 =月當(dāng)門(mén)二£2£n=si n30 ° =-，所以 rn=-rn-( n > 2)，于是 心=丄，旦=(丄)2 rn 4 Tn2312 andn_1故an成等比數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：該題考察實(shí)際問(wèn)題的判定，需要對(duì)實(shí)際問(wèn)題情景進(jìn)行分析，最終對(duì)應(yīng)數(shù)值關(guān) 系建立模型加以解析。題型3:等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用例5. 一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上 4,那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列,如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，

8、那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來(lái)的等比數(shù)列。解析：設(shè)所求的等比數(shù)列為a, aq, aq2;時(shí)，正確判斷數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列，S -Sn4,當(dāng)n A2時(shí)都必須用上述關(guān)系式，尤其注意首項(xiàng)與其他各項(xiàng)的關(guān)系。上述三個(gè)命題都不是真命題， 選擇A。題型2 :等比數(shù)列的判定例3 （ 2000全國(guó)理，20）（1）已知數(shù)列 cn,其中Cn = 2n+ 3n，且數(shù)列帚1 P5為等比數(shù)列，求常數(shù) p ； (n)設(shè) an、bn是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，Cn=an+bn,證明數(shù)列 Cn不是等比數(shù)列。解析：(I)解：因?yàn)?Cn +1 pCn是等比數(shù)列，故有：(Cn+ i Pcn)=( cn+ 2 pcn +

9、 1)( cn Pcn- 1),將Cn= 2n+ 3n代入上式，得：:2n+1+ 3n+1 p (2n+ 3n) * 22則 2(aq+4)=a+aq，且(aq+4) =a(aq +32);= 2n+2 + 3n +2 p ( 2n+ 1 + 3n+1)2 : 2n+ 3n p ( 2n 1 + 3n1)即(2 p) 2n+( 3 p) 3n 2=(2 p) 2n+1+( 3 p) 3n+1 ( 2 p) 2n1+( 3 p) 3n 1,整理得-(2 p) ( 3 p)2 2n2 3n= 0，解得 p=2 或 p=3。6(n)證明：設(shè) an、 bn的公比分別為 p、q, p豐q, cn=an+

10、 bn° 為證 Cn不是等比數(shù)列只需證 C22 C12 C30 事實(shí)上，C22 =( a1p + b1q) 2= a12p2+ b/q2+ 2a1b1pq,22222 222C12 C3=( aj+ bj (ag + Sq )= aj p + g q + 玄命1 (p + q ), 由于 pz q, p2 + q2> 2pq,又b1 不為零，因此C22工C12 C3,故 Cn不是等比數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力。例4. (2003京春，21)如圖3 1 ,在邊長(zhǎng)為I的等邊 ABC 中，圓01ABC的內(nèi)切圓，圓 02與圓01外切，且與 AB,B

11、C相切，圓0n+1與圓On外切，且與 AB、BC相切，如此 無(wú)限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an (n N*),證明 a*是等比數(shù) 列；證明：記rn為圓On的半徑，貝U門(mén)=丄tan30 ° = -3 | 。2 62解得 a=2, q=3 或 a= , q= 5;9故所求的等比數(shù)列為 2, 6,18或-,10 , 50。999點(diǎn)評(píng)：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量a,q，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁。例6(2006年陜西卷)已知正項(xiàng)數(shù)列an，其前n項(xiàng)和&滿足10& =an2+5an+6, 且a!,a2,

12、a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an /的通項(xiàng)an.解析：T 10Sn=an2+5an+6,/10ai=ai +5a 1+6,解之得 ai=2 或 ai=3。又 10Sn- 1=an- 12+5an-1+6(n > 2)由一得 10an=(an an- 1 )+6(an an- 1)，即(an+an- 1)(an a-1 5)=0 /an+an-1>0, & an-1=5(n >2)當(dāng) a1=3 時(shí)，a3=13, a15=73 , a1, a3,a15 不成等比數(shù)列/-a1 工3；2當(dāng) a1=2 時(shí),a3=12 , a15=72，有 a3 =a1 a15 , a1=2, an

13、=5n 3。點(diǎn)評(píng)：該題涉及等比數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列通項(xiàng)之間的關(guān)系，最終求得結(jié)果。題型4:等比數(shù)列的求和公式及應(yīng)用例7.( 1)(2006年遼寧卷)在等比數(shù)列(aj中,印=2,前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列an+1 也是等比數(shù)列，則 Sn等于()A. 2n 2B. 3nC. 2nD . 3n -1(2) (2006 年北京卷)設(shè) f(n)=2 24 27 210 23n 10(N)，則 f(n)等 于()A. |(8n -1)B .學(xué)1" C .討3" D . |(8n 4 -1)(3) (1996全國(guó)文，21)設(shè)等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn,若S3 + Ss= 2S9,求數(shù)

14、列的公比q；解析：(1)因數(shù)列 春為等比，則an =2qn，因數(shù)列an -1也是等比數(shù) 列，則中+1)2 =佝+1)七+1)= an十2+2an+= anan七+an+an七二 an+an七=2an出2= an(1 q 2q) = 0= q =1即an = 2，所以Sn - 2n，故選擇答案C。(2) D ；(3) 解：若 q=1，則有 S3=3a1, &=6a1, S9=9a1。因a產(chǎn)0,得S3+S6* 2S9，顯然q=1與題設(shè)矛盾，故q豐1。369a1 (1 - q ) a1 (1 - q )2a1 (1 一 q)3“63 八由 S3+S6=2S9,得一-，整理得 q (2q q

15、1)1 -q 1 - q1 - q1=0,由 q 豐 0，得 2q6 q3仁0 ,從而(2q3+ 1) (q3 1) =0，因 q3 1，故 q3= ，所2，以=V4以 q-。2點(diǎn)評(píng)：對(duì)于等比數(shù)列求和問(wèn)題要先分清數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)應(yīng)好首項(xiàng)和公比求出最 終結(jié)果即可。例8. ( 1) (2002江蘇，18)設(shè) an為等差數(shù)列， bn為等比數(shù)列，印=6 = 1, a2 + a4= b3，b2b4= a3.分別求出 a*及 "的前10項(xiàng)的和Sg及(2) (2001全國(guó)春季北京、安徽，20)在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)aj，a?，a?”， an，使這n + 2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在 1與2之間插入n

16、個(gè)正數(shù)6，b2，b3，, ， bn， 使這 n + 2 個(gè)數(shù)成等差數(shù)列記 An= a1a2a3, an，Bn= b1+ b2+ b3+ ” + bn.(I) 求數(shù)列 An和 Bn的通項(xiàng)；(H) 當(dāng)n7時(shí)，比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論。(3) (2002天津理，22)已知 an是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足色=0,3，an+1an=( an-1 + 2) (an-2+ 2)， n= 3，4， 5，,.(I) 求 a3；(H)證明 an= an-2+ 2， n= 3，4， 5，,；(川)求 an的通項(xiàng)公式及其前 n項(xiàng)和S!。解析：(1 ) an為等差數(shù)列， bn為等比數(shù)列，a2+ a4= 2

17、a3， b2b4 = b32.已知 a2 + a4 = b3， b2b4 = a3，-b3= 2a3， a3 = b3 .得 b3= 2b32. 1 1-b3 0 - - b3= ， a3 =2413由a1= 1，a3= 知 an的公差為d=-，4810 化55-S10= 10a1 +d =28由 b1= 1, b3= 1 知 bn2的公比為2 2當(dāng)q吟時(shí)，"冒唱（2 + Q ,-、2）。當(dāng) q 2 時(shí)，"bdX31(221-q 32(2) (I)設(shè)公比為 q,公差為d，等比數(shù)列1, a1? a2, , , an, 2,等差數(shù)列1,bl , b2 , ”，bn, 2

18、6;則 Ai= ai = 12 q A?= 12 q2 12 q2 A3= 12 q2 12 q22 12 q3又 an+ 2= 12 qn+1= 2 得 q" 1= 2,An= q2 q , q = q(1 n) n2n=22(n = 1, 2, 3,)2又T bn+ 2= 1+( n+ 1) d = 2.( n + 1) d= 13B1 = b1 = 1 + d B2= b2 + b1 = 1 + d+ 1 + 2d Bn = 1 + d+ , + 1 + nd= n2(n) An> Bn,當(dāng) n > 7 時(shí)3證明：當(dāng) n= 7 時(shí)，23' 5= 82 2 =

19、 An Bn= 3 7,. An> Bn2設(shè)當(dāng)n= k時(shí),An> Bn,則當(dāng)n = k+ 1 時(shí)，Ak 彳=2Bk -13k333又Ak+1 = 2 2 2 2 Bk 1 k 且 Ak> BkAk+1 > . 2 2 k2 2 2Ak+1 Bk+1 > 2 3 k - 3 k - 3 =(. 2 -1) 3 k - 32 2 2 2 2又 k= 8, 9, 10,. Ak+1 Bk+1> 0，綜上所述，An> Bn成立(3) (I)解：由題設(shè)得a3a4= 10,且a3、a4均為非負(fù)整數(shù)，所以 a3的可能的值為1, 2, 5, 10.3若a3= 1,貝U

20、 a4= 10, a5=，與題設(shè)矛盾.235若a3= 5,貝U a4= 2,氏=，與題設(shè)矛盾.3、若 a3= 10,則 a4= 1, a5= 60, a6=，與題設(shè)矛盾.5所以a3 = 2.(H)用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)n= 3, a3= a!+ 2,等式成立； 假設(shè)當(dāng)n= k (k>3)時(shí)等式成立，即 ak= ak-2+ 2,由題設(shè)ak+ iak=( ak-1 + 2)2 (ak -2+ 2),因?yàn)?ak= ak-2 + 2工0,所以 ak+i = ak-1 + 2,也就是說(shuō)，當(dāng)n= k+ 1時(shí)，等式ak+1=1 + 2成立；根據(jù)和，對(duì)于所有n3，有an+1=an-1+2。(川)解：由

21、a2k-1 = a2(k-1)-1 + 2 , a1 = 0,及 a2k= a2( k-1)+ 2, a2 = 3 得 a2k-1 = 2 (k 1) , a2k= 2k+ 1 , k= 1 , 2 , 3 ,，即 an= n +( 1), n = 1 , 2 , 3 , , 01 n(n +1),當(dāng)n為偶數(shù),所以Sn= 21n(n +1) -1,當(dāng)n為奇數(shù).2點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，以及準(zhǔn)確表述，分析和解決問(wèn)題的能力。題型5 :等比數(shù)列的性質(zhì)例9. (1) (2005江蘇3)在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a1= 3，前三項(xiàng)和為 21,則 a3 + a4 +

22、 a5=()(A ) 33( B) 72( C) 84(D) 189(2)(2000上海，12)在等差數(shù)列an中，若 阮=0,則有等式a什a2+, + an=a1+a2+,+ a19-n (n v 19, n N)成立.類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列bn中，若bg= 1,則有等式成立。解析：(1)答案：C;解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)，由題意得:a1+a2+a3=21, 即 3+3q+3q =21,q +q-6=0 ,求得 q=2(q = - 3 舍去),所以 a3+a4+a5=q (a什a2+a3)=4 21 二 84, 故選C o(2)答案：b1b2, bn= b1b2,

23、 b17-n (nv 17, n N*);解：在等差數(shù)列 an中，由 a10 = 0,得 a1+ a19= a2 + a18= , = an+ a20-n= an+ 1 + a19 -n= 2a10= 0,所以 a1 + a2 +, + an+, + a19 = 0, 即卩 a1 + a2+, + an = a18, an+1,又.a1= a19 , a2= a18, , , a19- n = an+ 1二 a1+ a2+, + an=- 一, 一 a*+1= a1+ a?+, + n,若 a9= 0,同理可得 a1 + a2+, + an = a1 + a2 + 玄仃n,相應(yīng)地等比數(shù)列 bn

24、中，則可得：b1b2, bn= b1b2, b仃-n (nv 17, n N*)。點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計(jì)算能力。例10. (1)設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前 n項(xiàng)和為80,前2n項(xiàng)和為6560,且 前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54,求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比q。1(2) 在和n 1之間插入n個(gè)正數(shù)，使這n 2個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的nn個(gè)數(shù)之積。(3) 設(shè)等比數(shù)列a.的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問(wèn)數(shù)列l(wèi)g an的前多少項(xiàng)和最大？ (lg2=03,lg3=0.4)解析：(1)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和

25、為Sn，依題意設(shè)：$> 0，Sn=80 ，S2n=6560。T S2nM 2S，' q 豐 1從而41=80,且1 -qQ(1-q2n)1 -q=6560。兩式相除得1+qn=82，即qn=81。- a1=q- 1> 0即q> 1,從而等比數(shù)列 an為遞增數(shù)列，故前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為 第n項(xiàng)。- a1qn-1=54,從而(q 1)qn-1=qn-qn-1=54。n-1- q=qn-q =81 54=2781 =3。27- a1=q 1=2故此數(shù)列的首為2，公比為3。(2)解法1：設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為x1,x2/，焉，且公比為q，則 n 1 = qn 1 qn 1 = n

26、(n 1), xk = qk ,k 二 1,2廠,n,nnn(n 十)n112 .1 n 11 2 n 12n 1 門(mén)Tn 門(mén) X2Xnq q q=()。n nn nnn1解法2：設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為x2，xn，x0,xn彳=n Tn n+1X。Xn 1 二人 Xn 二 X? X./ :n*1 X2Xn2n + 1 nTn =(%Xn) (X2Xn4)(Xn%)=()"n Tn =(口)2。n(3)解法一 設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,m N ,!2m2m 八印(q -1) _ae (q 一1) 依題意有： q _1q2-1fag) .(ag3) =9(aiq2 +ag3)空=1q J化簡(jiǎn)得q

27、 +1解得3,qq2 =9(1+q), =108設(shè)數(shù)列l(wèi)g a*前n項(xiàng)和為Sn,2n 1 . n 1+2+(n 1)則 Sn=lga1+lgaq+lgaq=lga1 q11=nlga1+ n(n 1) lgq=n(2lg2+lg3) n(n 1)lg322lg 327=()n +(2lg2+ _lg3) n-2 22lg2+7lg3可見(jiàn)，當(dāng)n=2 時(shí)，Sn最大,lg32lg2 flg3而2一lg34 0.3 7 0.42 0.4=5,故lg an的前5項(xiàng)和最大,解法二接前,a1 =1081 11，于是 lgan=lg 108()n 1 =lg108+( n Hg,q石33二數(shù)列l(wèi)g an是以lg108為首項(xiàng)，以lg1為公差的等差數(shù)列,3令 lgan>0,得 2lg2 (n 4)lg3 考,.4g2 4lg3 2 0.3 4 0.4-n冬'lg30.4=5.5,由于n N，可見(jiàn)數(shù)列l(wèi)g an的前5項(xiàng)和最大。點(diǎn)評(píng)：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量a1,q，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁；第二 種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì)，與“首末項(xiàng)等距”的兩項(xiàng)積相等，這在解題中常用到。 題型6 :等差、等比綜合問(wèn)題例11.( 2006年廣東卷)已知公比