微積分課件：D3_5高階導(dǎo)數(shù)

1、二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則第五節(jié)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高階導(dǎo)數(shù) 第三章第三章 一、高階導(dǎo)數(shù)的概念一、高階導(dǎo)數(shù)的概念)(tss 速度速度即即sv加速度加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即即)( sa引例引例：變速直線運(yùn)動(dòng)變速直線運(yùn)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義.若函數(shù)若函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù))(xfy可導(dǎo)可導(dǎo), ,或或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd22xyxxy類似地類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,1n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n

2、階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) ,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) , 記作記作y )(xf 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為依次類推依次類推 ,分別記作分別記作則稱則稱機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 設(shè)設(shè)解解:xxexxey1ln)0(lnxxeyx求求.y ;1lnxxex xxeyx1ln211xxex;12ln2xxxex 212lnxxxeyx32221xxxex32233lnxxxxex例例2. 設(shè)設(shè) f 二次可微且二次可微且)(,1xyyf由方程由方程y = f ( x + y ) 確定，求確定，求.y 解解: 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)

3、x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得) 1 ()1)(yyxfy)2()(1/)(yxfyxfy由此解出yyxfyyxfyx )()1)(:,) 1 (2得求導(dǎo)式兩邊同時(shí)對(duì))(1)1)(2yxfyyxfy 3)(1 )(yxfyxf 設(shè)設(shè),2210nnxaxaxaay求求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次類推依次類推 ,nnany!)(233xa例例3.思考思考: 設(shè)設(shè), )(為任意常數(shù)xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(問問可得可得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0)(!)( ,)()1()(mmmmxmxm時(shí)正整數(shù)特別當(dāng)nx)1

4、 ( ,3xaeay 例例4. 設(shè)設(shè)求求解解:特別有特別有:解解:! ) 1( n規(guī)定規(guī)定 0 ! = 1思考思考:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例5. 設(shè)設(shè), )1(lnxy求求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似可證類似可證:)01 (ln)()(aaaanxnx1)(!) 1(1nnnxnx例例6. 設(shè)設(shè),sin xy 求求.)(ny解解: xycos)s

5、in(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地一般地 ,xxnsin()(sin)(類似可證類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 設(shè)設(shè)bxeyxasin解解:bxaeyxasin)cossin(xbbxbaexa求為常數(shù) , ),(ba.)(nybxbexacos)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay )sin(bxaexa222)()(nnbayxaeba22)arctan(ab)2sin(22b

6、xba)sin(nbxexa)cos(bxbexa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 設(shè)設(shè),3)(23xxxxf求使求使)0()(nf存在的最高存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在不存在 ._n2又又0 x,24x0 x,12x階數(shù)階數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有都有 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)

7、數(shù) , 則則)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù)為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲萊布尼茲(Leibniz) 公式公式)(xuu 及及)(xvv 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)vunn) 1(推導(dǎo) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(:. 4)()(baxfabaxfnnn線性代換規(guī)則vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用數(shù)學(xué)歸納法可證用數(shù)學(xué)歸納法可證萊布尼茲公式萊布尼茲公式成立成立 . .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

8、返回 結(jié)束 例例9. ,22xexy 求求.)20(y解解: 設(shè)設(shè),22xveux則則xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入萊布尼茲公式代入萊布尼茲公式 , 得得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10. 設(shè)設(shè))2ln(2xxy求求.)(ny解解: 2122xxxy2111xx)(ny)1(11nx)1(21nxnnxn) 1()!1() 1(1nnxn)2()!1() 1()1(例例11. 設(shè)設(shè)xy2sin求求).1()(nyn解解: 因因2

9、2cos1sin2xxx2cos2121)(ny)(2cos21nx22cos21nxn例例12. 設(shè)設(shè)xeyx求求.)100(y解解: 用萊布尼茲規(guī)則并注意用萊布尼茲規(guī)則并注意 xkxee)()100(y1000100kkC )100(kxe)(1kxxe11000100!) 1(kkkkxkC11000) 1()!100(!100kkkxxke例例13. 設(shè)設(shè), )100()2)(1(xxxy求求., )0()100()99(yy解解:因因99100)10021 (xxy故故xy!100)99(!995050!995050)0()99(y!100)100(y0!2) 1() 1(nynn)

10、(nyn例例14. 設(shè)設(shè),arctan xy 求求).0()(ny解解:,112xy即即1)1 (2yx用萊布尼茲公式求用萊布尼茲公式求 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù))1 (2xx22令令,0 x得得)0() 1()0() 1() 1(nnynny),2, 1(n由由,0)0(y得得,0)0( y,0)0()4(y,)0() 12( my)0() 12(2) 12(mymm)0(! )2() 1(ymm0)0()2(my ) 1(ny12, ! )2() 1(2,0)0()(mnmmnymn即即), 2, 1 , 0(m由由, 1)0( y得得)0(! )2() 1()0() 12(ymymm機(jī)動(dòng) 目錄

11、上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、若參數(shù)方程中若參數(shù)方程中)(, )(tt二階可導(dǎo)二階可導(dǎo),且且,0)( t則由它確定的函數(shù)則由它確定的函數(shù))(xfy 可求二階導(dǎo)數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù) .利用新的參數(shù)方程利用新的參數(shù)方程)(tx)()(ddttxy,可得可得22ddxy)dd(ddxyx)dd(ddxyt)()(tt )()(tt )(2t)(t)()()()()(3ttttt 3xyxxy txdd注意注意 : 已知已知xydd,)()(tt)()(dd22ttxy例例15. 設(shè)設(shè))(tfx)()(tftfty, 且且,0)( tf求求.dd22xy解解: ddxy)(tft )(tf , t dd2

12、2xy1)(tf 例例17. 設(shè)設(shè) y = y ( x ) 由極坐標(biāo)方程由極坐標(biāo)方程er 確定，求確定，求./22xdyd解解: 由第四節(jié)例由第四節(jié)例9可知：可知：,sincossincosdxdy)sin(cos eddx所以所以ddxddxdyddxyd/22)sin(cossincossincose)sin(cos)sin(cos)sin(cos)sin(cos222e3)sin(cos2e內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 逐階求導(dǎo)法逐階求導(dǎo)法(2) 利用歸納法利用歸納法(3) 間接法間接法 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式(4) 利用萊布尼茲公式利用萊布尼茲公式高階導(dǎo)數(shù)的求法高階導(dǎo)數(shù)

13、的求法)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如如,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn1. 如何求下列函數(shù)的如何求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2312xxy1121xxy11)() 1(1)2(1!) 1(nnnnxxny(3)12) 1)(2(1xBxAxx提示提示: 令令)2(xA原式原式2x) 1(xB原式原式1x11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxy66cossin)4(3232)(cos)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba )(22babax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1)( !nxfn2. (填空題填空題) (1) 設(shè)設(shè),cos)23()(1622xnxxxf則則)2()(nf)(xf16cos) 1(2xxn)()(xfn16cos) 1(2xxn提示提示:各項(xiàng)均含因各項(xiàng)均含因子子 ( x 2 )nx)2( ! n22!n(