微積分課件：D5_4有理函數(shù)積分

1、第四節(jié) 基本積分法基本積分法 : 直接積分法直接積分法 ; 換元積分法換元積分法 ;分部積分法分部積分法 初等函數(shù)初等函數(shù)求導(dǎo)求導(dǎo)初等函數(shù)初等函數(shù)積分積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例二、可化為有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容: 第五章第五章 一、一、 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函數(shù)有理函數(shù):nm 時(shí)時(shí),)(xR為假分式為假分式;nm 時(shí)時(shí),)(xR為真分式為真分式有理函數(shù)有理函數(shù)相除相除多項(xiàng)式多項(xiàng)式 + 真分真分 式式分解分解其中部

2、分分式的形式為其中部分分式的形式為kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和若干部分分式之和機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 將下列真分式分解為部分分式將下列真分式分解為部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解: (1) 用拼湊法用拼湊法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 用賦值法用賦值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x

3、233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故故25x原式36x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (3) 混合法混合法)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 代入等式兩端分別令1 ,0 xC541215461CB52B51C原式 =x214512112xx四種典型部分分式的積分四種典型部分分式的積分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp變分子為變分子為 )2(

4、2pxM2pMN 再分項(xiàng)積分再分項(xiàng)積分 例例2. 求求.)1)(21 (d2xxx解解: 已知已知)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan51例1(3) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 求求.d3222xxxx解解: 原式原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23思考思考: 如何求如何求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ?d)32(222xxxx提示提示:

5、 變形方法同例變形方法同例3, 并利用并利用 第三節(jié)例第三節(jié)例9 . 例例4. 求求.d1322342345xxxxxxxxx解解: 首先將分母分解因式首先將分母分解因式:) 1)(1() 1() 1(13334xxxxxxxx) 1() 1(22xxx1) 1(1)()(26524321xxaxaxaxaaxaxfxf有分解式：于是2652433321234522) 1)() 1() 1() 1)(1)(322: ) 1() 1(xaxaxxaxaxxaxaxxxxxxxx兩邊同乘因式比較上式兩端同次項(xiàng)系數(shù)得比較上式兩端同次項(xiàng)系數(shù)得0,121aa02212264365465453aaaaaa

6、aaaaa.0,1:6543aaaa于是解出1) 1(111)(22xxxxxxxf于是分項(xiàng)積分得分項(xiàng)積分得:dxxxxdxxdxxxdx1) 1(11122原式111ln22xxx1) 1(2122xxxxd4/32/1)2/1(212xxd111ln22xxx) 1ln(212xxCx312arctan31xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例5. 求求.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)45d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)

7、明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便但不一定簡(jiǎn)便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法簡(jiǎn)便的方法. 例例6. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. 求求.d) 1(359xxx解解: 作代換作代換 t = x5 + 1 ,則則 dt = 5x4 dx .于是于是)() 1(515355xdxx原式dttt31

8、51Cttdttdtt232101515151Cxx255) 1(101) 1(51常規(guī) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8. 求求解解: 原式原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx(公式公式21)2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本題技巧注意本題技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法解按常規(guī)方法解:1d4xx第一步第一步 令令)(1224dxcxbxaxx比

9、較系數(shù)定比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得得) 12)(12(1224xxxxx第二步第二步 化為部分分式化為部分分式 . 即令即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比較系數(shù)定比較系數(shù)定 A , B , C , D .第三步第三步 分項(xiàng)積分分項(xiàng)積分 .此解法較繁此解法較繁 !機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)設(shè))cos,(sinxxR表示三角函數(shù)有理式表示三角函數(shù)有理式 ,xxxRd)cos,(sin令令2tanxt 萬(wàn)能代換萬(wàn)能代換t 的有理函數(shù)的積分的有理函數(shù)的積分機(jī)動(dòng) 目錄 上

10、頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分則則例例9. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令令,2tanxt 則則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

11、 返回 結(jié)束 例例10. 求求.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC說(shuō)明說(shuō)明: 通常求含通常求含xxxxcossincos,sin22及的積分時(shí)的積分時(shí),(即即R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)xttan往往更方便往往更方便 . 的有理式的有理式用代換用代換機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例11. 求求. )0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1

12、Cxbxaax)cossin(cos機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xbxacossin例例11. 求求)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令令22baxbabxbaacossin2222sincos原式原式)(cosd1222xxbaCxba)tan(122Cbaxba)arctantan(122機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 baarctan例例12. 求求.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解: 因被積函數(shù)關(guān)于因被積函數(shù)關(guān)于 cos x 為奇函數(shù)為奇函數(shù), 可令可令,sin xt 原式原式xx42sinsin1x

13、xxdcos)2(cos2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221d) 1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例13. 求求.d2cos3sin22xxx解解: 但被積函數(shù)含有但被積函數(shù)含有sinAx cos Bx 時(shí)，用時(shí)，用“積化和差積化和差”首先變換首先變換 f (x):)4cos1)(6cos1 (41)(xxxf)4cos6cos6cos4cos1 (41xxxx)10cos2cos6cos24cos22(81xxxxCxxxx)10sin

14、36sin104sin152sin1560(2401原式2. 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分,d),(xbaxxRn令令nbxat,d),(xxRndxcbxa令令ndxcbxat被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式 , 可通過(guò)根式代換可通過(guò)根式代換 化為有理函數(shù)的積分化為有理函數(shù)的積分. 例如例如:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令令., 的最小公倍數(shù)為nmp例例14. 求求.21d3xx解解: 令令,23xu則則,23 uxuuxd3d2原式原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1l

15、nC3223)2( x323x321ln3xC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例15. 求求.d3xxx解解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù)取根指數(shù) 2 , 3 的的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù) 6 ,6tx 則有則有原式原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例16. 求求 .d11xxxx解解: 令令,1xxt則則,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxx

16、x1122ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可積函數(shù)的特殊類(lèi)型可積函數(shù)的特殊類(lèi)型有理函數(shù)有理函數(shù)分解分解多項(xiàng)式及部分分式之和多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式三角函數(shù)有理式萬(wàn)能代換萬(wàn)能代換簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)三角代換三角代換根式代換根式代換2. 特殊類(lèi)型的積分按上述方法雖然可以積出特殊類(lèi)型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定但不一定 要注意綜合使用基本積分法要注意綜合使用基本積分法 , 簡(jiǎn)便計(jì)算簡(jiǎn)便計(jì)算 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 簡(jiǎn)便簡(jiǎn)便 , 思考與練習(xí)思考與練習(xí)如何求下列積分更簡(jiǎn)便如何求下列積分更簡(jiǎn)便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612. 原式原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 1.求不定積分求不定積分解：解：.d)1 (126xxx令令,1xt 則則,1tx ttxd1d2, 故故xxxd)1 (126161t)11 (2tttd)1(2tttd126ttttd)111