微積分課件：D5_4有理函數(shù)積分

1、第四節(jié) 基本積分法基本積分法 : 直接積分法直接積分法 ; 換元積分法換元積分法 ;分部積分法分部積分法 初等函數(shù)初等函數(shù)求導(dǎo)求導(dǎo)初等函數(shù)初等函數(shù)積分積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例二、可化為有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容: 第五章第五章 一、一、 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函數(shù)有理函數(shù):nm 時(shí)時(shí),)(xR為假分式為假分式;nm 時(shí)時(shí),)(xR為真分式為真分式有理函數(shù)有理函數(shù)相除相除多項(xiàng)式多項(xiàng)式 + 真分真分 式式分解分解其中部

2、分分式的形式為其中部分分式的形式為kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和若干部分分式之和機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 將下列真分式分解為部分分式將下列真分式分解為部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解: (1) 用拼湊法用拼湊法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 用賦值法用賦值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x

3、233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故故25x原式36x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (3) 混合法混合法)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 代入等式兩端分別令1 ,0 xC541215461CB52B51C原式 =x214512112xx四種典型部分分式的積分四種典型部分分式的積分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp變分子為變分子為 )2(

4、2pxM2pMN 再分項(xiàng)積分再分項(xiàng)積分 例例2. 求求.)1)(21 (d2xxx解解: 已知已知)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan51例1(3) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3. 求求.d3222xxxx解解: 原式原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23思考思考: 如何求如何求機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ?d)32(222xxxx提示提示:

5、 變形方法同例變形方法同例3, 并利用并利用 第三節(jié)例第三節(jié)例9 . 例例4. 求求.d1322342345xxxxxxxxx解解: 首先將分母分解因式首先將分母分解因式:) 1)(1() 1() 1(13334xxxxxxxx) 1() 1(22xxx1) 1(1)()(26524321xxaxaxaxaaxaxfxf有分解式：于是2652433321234522) 1)() 1() 1() 1)(1)(322: ) 1() 1(xaxaxxaxaxxaxaxxxxxxxx兩邊同乘因式比較上式兩端同次項(xiàng)系數(shù)得比較上式兩端同次項(xiàng)系數(shù)得0,121aa02212264365465453aaaaaa

6、aaaaa.0,1:6543aaaa于是解出1) 1(111)(22xxxxxxxf于是分項(xiàng)積分得分項(xiàng)積分得:dxxxxdxxdxxxdx1) 1(11122原式111ln22xxx1) 1(2122xxxxd4/32/1)2/1(212xxd111ln22xxx) 1ln(212xxCx312arctan31xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例5. 求求.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)45d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)

7、明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便但不一定簡(jiǎn)便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法簡(jiǎn)便的方法. 例例6. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. 求求.d) 1(359xxx解解: 作代換作代換 t = x5 + 1 ,則則 dt = 5x4 dx .于是于是)() 1(515355xdxx原式dttt31

8、51Cttdttdtt232101515151Cxx255) 1(101) 1(51常規(guī) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8. 求求解解: 原式原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx(公式公式21)2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本題技巧注意本題技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法較繁按常規(guī)方法解按常規(guī)方法解:1d4xx第一步第一步 令令)(1224dxcxbxaxx比

9、較系數(shù)定比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得得) 12)(12(1224xxxxx第二步第二步 化為部分分式化為部分分式 . 即令即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比較系數(shù)定比較系數(shù)定 A , B , C , D .第三步第三步 分項(xiàng)積分分項(xiàng)積分 .此解法較繁此解法較繁 !機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)設(shè))cos,(sinxxR表示三角函數(shù)有理式表示三角函數(shù)有理式 ,xxxRd)cos,(sin令令2tanxt 萬(wàn)能代換萬(wàn)能代換t 的有理函數(shù)的積分的有理函數(shù)的積分機(jī)動(dòng) 目錄 上

10、頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分則則例例9. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令令,2tanxt 則則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)

11、 返回 結(jié)束 例例10. 求求.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC說(shuō)明說(shuō)明: 通常求含通常求含xxxxcossincos,sin22及的積分時(shí)的積分時(shí),(即即R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)xttan往往更方便往往更方便 . 的有理式的有理式用代換用代換機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例11. 求求. )0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1

12、Cxbxaax)cossin(cos機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xbxacossin例例11. 求求)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令令22baxbabxbaacossin2222sincos原式原式)(cosd1222xxbaCxba)tan(122Cbaxba)arctantan(122機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 baarctan例例12. 求求.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解: 因被積函數(shù)關(guān)于因被積函數(shù)關(guān)于 cos x 為奇函數(shù)為奇函數(shù), 可令可令,sin xt 原式原式xx42sinsin1x

13、xxdcos)2(cos2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221d) 1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例13. 求求.d2cos3sin22xxx解解: 但被積函數(shù)含有但被積函數(shù)含有sinAx cos Bx 時(shí)，用時(shí)，用“積化和差積化和差”首先變換首先變換 f (x):)4cos1)(6cos1 (41)(xxxf)4cos6cos6cos4cos1 (41xxxx)10cos2cos6cos24cos22(81xxxxCxxxx)10sin

14、36sin104sin152sin1560(2401原式2. 簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分,d),(xbaxxRn令令nbxat,d),(xxRndxcbxa令令ndxcbxat被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式 , 可通過(guò)根式代換可通過(guò)根式代換 化為有理函數(shù)的積分化為有理函數(shù)的積分. 例如例如:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令令., 的最小公倍數(shù)為nmp例例14. 求求.21d3xx解解: 令令,23xu則則,23 uxuuxd3d2原式原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1l

15、nC3223)2( x323x321ln3xC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例15. 求求.d3xxx解解: 為去掉被積函數(shù)分母中的根式為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù)取根指數(shù) 2 , 3 的的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù) 6 ,6tx 則有則有原式原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例16. 求求 .d11xxxx解解: 令令,1xxt則則,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxx

16、x1122ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可積函數(shù)的特殊類型可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)有理函數(shù)分解分解多項(xiàng)式及部分分式之和多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式三角函數(shù)有理式萬(wàn)能代換萬(wàn)能代換簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)三角代換三角代換根式代換根式代換2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定但不一定 要注意綜合使用基本積分法要注意綜合使用基本積分法 , 簡(jiǎn)便計(jì)算簡(jiǎn)便計(jì)算 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 簡(jiǎn)便簡(jiǎn)便 , 思考與練習(xí)思考與練習(xí)如何求下列積分更簡(jiǎn)便如何求下列積分更簡(jiǎn)便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612. 原式原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 1.求不定積分求不定積分解：解：.d)1 (126xxx令令,1xt 則則,1tx ttxd1d2, 故故xxxd)1 (126161t)11 (2tttd)1(2tttd126ttttd)111