微積分課件：連續(xù)函數(shù)運(yùn)算

1、一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則 第八節(jié)二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 第二章 定理定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)的反函數(shù)xx cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理定理1. 在某點(diǎn)連續(xù)的在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)有限個(gè)函數(shù)經(jīng)函數(shù)經(jīng)有限次有限次和和 , 差差 , 積積 ,( 利用極限的四則運(yùn)算法則證明利用極限的四則運(yùn)算法則證明)連續(xù)xx cos,sin商商(分母不為分母不為 0) 運(yùn)算運(yùn)算, 結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)結(jié)果仍是一個(gè)在

2、該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .例如例如,例如例如,xysin在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)其反函數(shù)xyarcsin(遞減遞減).(證明略證明略)在在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增遞增(遞減遞減)也連續(xù)單調(diào)也連續(xù)單調(diào)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理3. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.xey 在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) 單調(diào)單調(diào) 遞增遞增,其反函數(shù)其反函數(shù)xyln在),0(內(nèi)也連續(xù)單調(diào)遞增內(nèi)也連續(xù)單調(diào)遞增.證證: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu,0連續(xù)在點(diǎn) x.)(00ux,)(0連續(xù)在點(diǎn)函數(shù)uufy . )()(lim00ufufuu于是于是)(

3、lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復(fù)合函數(shù)故復(fù)合函數(shù))(xf.0連續(xù)在點(diǎn) x又如又如, 且且即即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如例如,xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈?zhǔn)怯蛇B續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此因此xy1sin在在*Rx上連續(xù)上連續(xù) .復(fù)合而成復(fù)合而成 ,xyoxy1sin機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如例如,指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)xay 可看成由連續(xù)函數(shù)鏈可看成由連續(xù)函數(shù)鏈),(,ueyu,lnaxu ),(x復(fù)合而成復(fù)合而成 ,因而指數(shù)函數(shù)因而指數(shù)函數(shù)xay 在在 R 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). 由反函數(shù)的連續(xù)性知由反函數(shù)的連續(xù)性知,對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)

4、數(shù)函數(shù) 在其定義域在其定義域 R+ 內(nèi)亦連續(xù)內(nèi)亦連續(xù).xyalog）內(nèi)亦連續(xù)。，在（冪函數(shù)0lnxexy例例1 . 設(shè)設(shè))()(xgxf與均在均在,ba上連續(xù)上連續(xù), 證明函數(shù)證明函數(shù))(, )(max)(xgxfx 也在也在,ba上連續(xù)上連續(xù).證證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則 ,可知可知)(, )(xx也在也在,ba上上連續(xù)連續(xù) .)(, )(min)(xgxfx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)

5、連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)一切初等函數(shù)在在定義區(qū)間內(nèi)定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)例如例如,21xy的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù)端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閆nnx,2因此它無(wú)連續(xù)點(diǎn)因此它無(wú)連續(xù)點(diǎn)而而機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在函數(shù)在函數(shù) f 連續(xù)的條件下連續(xù)的條件下,如果已知如果已知f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0連續(xù)連續(xù),則給出了求極限的一種方法則給出了求極限的一種方法,這就是這就是:)()(lim00 xfxfxx 另

6、外另外,在在f 連續(xù)的條件下連續(xù)的條件下,求復(fù)合函數(shù)極求復(fù)合函數(shù)極限的公式可改寫(xiě)為限的公式可改寫(xiě)為)(lim)(limxufxuf利用這個(gè)公式可以解決一系列極限計(jì)算問(wèn)題利用這個(gè)公式可以解決一系列極限計(jì)算問(wèn)題.例例2. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式原式xxax1)1 (loglim0 xxax/101limlogaealn1log例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式原式)1 (loglim0ttataln說(shuō)明說(shuō)明: 當(dāng)當(dāng), ea 時(shí)時(shí), 有有0 x)1ln(x1xexx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1xaaxln例例4.

7、 證明證明.1)1 (lim0 xxx例例5:求求. )0(coslncoslnlim0bbxaxx例例6. 求求).,0,()()(lim2022babababaxxxxx例例7: 求求.,)1 ()1 (lim0是常數(shù)xxxx例例8. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e說(shuō)明說(shuō)明: 若若,0)(lim0 xuxx則有則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 x2等價(jià)地等價(jià)地: 當(dāng)當(dāng)計(jì)算公式是時(shí), 1

8、vuvuveu)1lim(lim例例9: 設(shè)設(shè)).(,812limaxaxxx則解解:左邊左邊=81) 12(limexp112limexp12axxexxaxxax.212ln23a兩邊取自然對(duì)數(shù)得1,41,)(xxxxx例例10. 設(shè)設(shè),1,21,)(2xxxxxf解解:討論復(fù)合函數(shù)討論復(fù)合函數(shù))(xf的連續(xù)性的連續(xù)性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時(shí)連續(xù)故此時(shí)連續(xù); 而而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故故 )(xfx = 1為第一類間斷點(diǎn)為第一類間斷點(diǎn) .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數(shù)時(shí)xfx在點(diǎn)在點(diǎn) x = 1 不連續(xù)不連續(xù) , 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)反函數(shù)連續(xù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)初等函數(shù)在初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)說(shuō)明說(shuō)明: 分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性左、右連續(xù)性.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第十節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例11. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf于于x = 0 處連續(xù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)處連續(xù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有，