《近世代數(shù)》模擬試題2及答案

1、近世代數(shù)模擬試題一、單項選擇題(每題5分，共25分)1、在整數(shù)加群（Z，）中，下列那個是單位元（ ）。A 0 B 1 C 1 D 1/n，n是整數(shù)2、下列說法不正確的是（ ）。A G只包含一個元g，乘法是ggg。G對這個乘法來說作成一個群B G是全體整數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個群C G是全體有理數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個群D G是全體自然數(shù)的集合，G對普通加法來說作成一個群3、下列敘述正確的是（ ）。A 群G是指一個集合B 環(huán)R是指一個集合C 群G是指一個非空集合和一個代數(shù)運(yùn)算，滿足結(jié)合律，并且單位元，逆元存在D 環(huán)R是指一個非空集合和一個代數(shù)運(yùn)算，滿足結(jié)合律，并且單位元，逆元

2、存在4、如果集合M的一個關(guān)系是等價關(guān)系，則不一定具備的是( )。A 反身性 B 對稱性 C 傳遞性 D 封閉性5、下列哪個不是的共軛類 ( )。A （1）B （123），（132），（23）C （123），（132）D （12），（13），（23）二、計算題(每題10分，共30分)1.求S（12），（13）在三次對稱群的正規(guī)化子和中心化子。推薦精選2.設(shè)G1，1，i，i，關(guān)于數(shù)的普通乘法作成一個群，求各個元素的階。3.設(shè)R是由一切形如（x，y是有理數(shù)）方陣作成的環(huán)，求出其右零因子。 推薦精選三、證明題(每小題15分，共45分)1、設(shè)R是由一切形如（x，y是有理數(shù)）方陣作成的環(huán)，證明是其零因子。

3、2、設(shè)Z是整數(shù)集，規(guī)定a·bab3。證明：Z對此代數(shù)運(yùn)算作成一個群，并指出其單位元。推薦精選3、證明由整數(shù)集Z和普通加法構(gòu)成的（Z，）是無限階循環(huán)群。推薦精選近世代數(shù)模擬試題答案一、 單項選擇題(每題5分，共25分)1 A 2 D3 C4 D5 B二、計算題(每題10分，共30分)1 解：正規(guī)化子N（S）（1），（23）。（6分）中心化子C（S）（1）。（4分）2 解：群G中的單位元是1。（2分）1的階是1，1的階是2，i和i的階是4。（4×2分） 3 解：設(shè)其右零因子為。（2分）所以0。（3分）因為x任意，所以ab0。（3分）因此右零因子為。（2分）三、證明題(每小題15

4、分共45分)推薦精選1證明：設(shè)其右零因子為。（2分）所以0。（5分）因為x，y任意，所以ab0。（8分）同理設(shè)其右零因子為。（10分）所以0。（12分）因為x，y任意，所以ab0。（14分）因此零因子為。（15分）2 明：首先該代數(shù)運(yùn)算封閉。（3分）其次我們有：（a·b）·c（ab3）·c（ab3）c3a（bc3）3）a·（b·c），結(jié)合律成立。（6分） 令e3，驗證a·eae3a，有單位元。（7分）對任意元素a，6a是其逆元，因為a·（6a）3。（8分）因此，Z對該運(yùn)算作成一個群。顯然，單位元是e3。（10分）3證明：首先證明（Z，）是群，+滿足結(jié)合律，對任意的，0是運(yùn)算+的單位元又由于： 推薦精選所以 從而（Z，）為群。（2分）由于滿足交換律，所以（Z，）是交換群。（4分）（Z，）的單位元為0，對于1，由于 1+（-1）=0，所以，。（5分）于是對任意，若，則：； 若，則。（8分）若，則