(完整版)精編三角函數(shù)練習(xí)題(九年級(jí)下)

1、1類(lèi)型一：銳角三角函數(shù)本專(zhuān)題主要包括銳角三角函數(shù)的意義、銳角三角函數(shù)關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性和特殊角三角函數(shù)值，都是中 考中的熱點(diǎn).明確直角三角形中正弦、余弦、正切的意義，熟記30、45、60角的三角函數(shù)值是基礎(chǔ)，通過(guò)計(jì)算器計(jì)算知道正弦、正切隨角度增大而增大，余弦隨角度增大而減小.1在RtABC中，/ACB=90 ,CD丄AB于點(diǎn)D，已知亠丄- ,BC=2，那么.；1.一匸匚-()鑑A.匚2卅擊B.二C.】D.1思路點(diǎn)撥：由于/ABC在RtABC和RtBCD中，又已知AC和BC,故只要求出AB或CD即可.解析:解法1：利用三角形面積公式-，先用勾股定理求出_ 2祚 屈二聽(tīng)二/0)則廠廠 -,

2、得3sin(253tan a =-= -y =-cosa245類(lèi)型二：解直角三角形解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一， 直角三角形的邊角關(guān)系的知識(shí)是解直角三角形的基礎(chǔ).解直角三角形時(shí), 注意三角函數(shù)的選擇使用，避免計(jì)算麻煩，化非直角三角形為直角三角形問(wèn)題是中考的熱點(diǎn).cosDC =-如圖所示，在ABC中，/C=90，點(diǎn)D在BC上，BD=4,AD=BC ,:，使可求出.AC 3sinex.-二總結(jié)升華：知道一銳角三角函數(shù)值，構(gòu)造滿(mǎn)足條件的直角三角形,根據(jù)比的性質(zhì)用一不為0的數(shù)表示其兩邊，再根據(jù)勾股定理求出第三邊，然后用定義求出要求的三角函數(shù)值或利用sina=1stnoitan氐二-J丄來(lái)求.4Of

3、 = J1-飢巴立民-(1)DC的長(zhǎng)；(2)sinB的值.-3 -sin - - -l-AB2Q 41總結(jié)升華：借助三角函數(shù)值，設(shè)出其中兩邊，根據(jù)已知條件，列出方程，求出解，再求出其要求的問(wèn)題.舉一反三【變式1】如圖所示，在梯形ABCD中，AD/BC, CA平分/BCD , DE/AC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，二二二匚二二.(1)求證：AB=DC;若匸江-工；,，求邊BC的長(zhǎng).思路點(diǎn)撥： 要證AB=DC，只需證明ABC=二BCD.由AC/DE,AD/BC,可得四邊形ADEC為平行四邊形,思路點(diǎn)撥：題中給出了兩個(gè)直角三角形,CD=BC-BD，因此可列方程求出CD.DC和sin B可分別在RtACD

4、和RtABC中求得，由AD=BC，圖中RtACD中,BC = -x/AD=BC, /又二匚匸匚，4，解得人-(2)BC=BD+CD=4+6=10=AD在RtACD中,AC二S二J1F-0 = 3在RtABC中,AB=丿的+加=翻+100 =Q列-4 -所以/E=/DAC.由CA平分/BCD，可得/BCD=2/BCA=2/E,所以/B=/BCD，問(wèn)題得證，由可知AD=CD= -5 -過(guò)點(diǎn)A作AF丄BC,在RtABF，可求得BF=1,所以，： 1.解析：(1)證明：TDE/AC,./BCA=/E./CA平分/BCD ,/BCD=2/BCA,二 /BCD=2/E.又 /B=2/E,. /B=/BCD

5、.梯形ABCD是等腰梯形，即AB=DC.(2)解：如圖所示，作AF丄BC,DG丄BC,垂足分別為F、G,則AF/DG.在RtAAFB中，Ttan B=2, AF=2BF.又 一；亠，且 一一一 丨 _， -：-，得BF=1.同理可知，在RtDGC中，CG=1./AD/BC, /DAC=/ACB.又 /ACB=/ACD, /DAC=/ACD. AD=DC. =* ? AD/BC,AF/DG, 四邊形AFGD是平行四邊形.廣，BC=BF+FG+GC= _一P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，在正方形ABCD外有一點(diǎn)E,滿(mǎn)足/ABE=/CBP,BE=BP.(1)求證：CPBAEB;求證：PB丄BE;(3)PA

6、:PB=1:2，/APB=135。，求cos/PAE的值.思路點(diǎn)撥：（1）在厶CPB和厶AEB中，/PBC=/ABE,BP=BE，要證CPBCAEB，只要BC=AB即可，而四邊形ABCD恰好是正方形，所以得證.（2）只要證/PBE=90，而/ABC=90。，即證出.（3）要求cos/PAE的值，需判斷/PAE所在的三角形是否是直角三角形，因此需連結(jié)/APE=90 .解析：(1)證明：T四邊形ABCD是正方形，BC=AB./CBP=/ABE,BP=BE, CPBAEB.(2)證明：T/CBP=/ABE,【變式2】已知：如圖所示,PE,借助（1）（2），求出/PBE=：，而/APB=135，因此F

7、G C-6 - /PBE=/ABE+/ABP=/CBP+/ABP=90 ,BP丄BE.(3)解：連結(jié)PE,TBE=BP，/PBE=90 ,-7 - /BPE=45 . 設(shè)AP=k，貝U BP=BE=2k,C J:工，在RtAPE中,類(lèi)型三：利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題直角三角形應(yīng)用非常廣泛，是中考的重要內(nèi)容之一近年來(lái)，各地中考試題為體現(xiàn)新課標(biāo)理念，設(shè)計(jì)了許多面目 新穎、創(chuàng)意豐富的新型考題運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決與生活、生產(chǎn)相關(guān)的應(yīng)用題是近幾年中考的熱點(diǎn)雖然解 直角三角的應(yīng)用題題型千變?nèi)f化，但設(shè)法尋找或構(gòu)造出可解的直角三角形是解題的關(guān)鍵.仇如圖所示，在一個(gè)坡角為15的斜坡上有一棵樹(shù)，高為AB,當(dāng)太

8、陽(yáng)光與水平線成50角時(shí)測(cè)得該樹(shù)在斜坡的樹(shù)影BC的長(zhǎng)為7 m，求樹(shù)高.（精確到0.1m）/ /BPA=135，/BPE=45 , /APE=90AE= JAP2+PE2= 3k思路點(diǎn)撥：樹(shù)所在直線垂直于地面，因此需延長(zhǎng)AB交水平線于一點(diǎn)D，則AD丄CD，在RtBCD中，BC=7m,/BCD=15tan=,所以求出CD、BD.而在RtACD中，/ACD=50 ,利用AD-求出AD,所以AB=AD-BD即可求出.解析:如圖，過(guò)點(diǎn)C作水平線與AB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，則AD丄CD./ /BCD=15，/ACD=50 ,在RtCDB中，CD=7cos15 ,BD=7sin15在RtCDA中，AD=CDti 5

9、0 =7 cos 15- t：an5 0nAB = AD-BD = 7c5atar5Cr -7sin 157(cos 15 tan 50-sin 15)w6 2(m)-8 -答：樹(shù)咼約為6.2m.總結(jié)升華：解這類(lèi)問(wèn)題一般構(gòu)造直角三角形，借助角與邊的關(guān)系，求得未知邊，再解另一個(gè)直角三角形得到問(wèn)題答案.舉一反三【變式1】高為12.6米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹(shù)AB（如圖所示）.（1）某一時(shí)刻測(cè)得大樹(shù)AB、教學(xué)樓ED在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)分別是BC=2.4米，DF=7.2米，求大樹(shù)AB的高度.（2）用皮尺、高為h米的測(cè)角儀，請(qǐng)你設(shè)計(jì)另一種測(cè)量大樹(shù)AB高度的方案，要求：在下圖中，畫(huà)出你設(shè)計(jì)的測(cè)量方案示意圖，并

10、將應(yīng)測(cè)數(shù)據(jù)標(biāo)在圖上（長(zhǎng)度用字母m、n表示，角度用希臘字母二-表示）；根據(jù)你所畫(huà)的示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算大樹(shù)AB的高度（用字母表示）.思路點(diǎn)撥：本題主要考查解直角三角形的有關(guān)知識(shí)，并且讓學(xué)生根據(jù)所提供的信息設(shè)計(jì)測(cè)量方案. 解析：連結(jié)AC、EF（圖略）.（1） /太陽(yáng)光線是平行線， AC/EF ,/ACB=/EFD./ABC=/EDF=90 , ABC EDF.A8 _ SC.匚匚二匚.AB _ 2A二1.IAB=4.2.答：大樹(shù)AB的高是4.2米.-9 -10 -總結(jié)升華：本題將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)與測(cè)量方案設(shè)計(jì)結(jié)合在一起，聯(lián)系生活實(shí)際，讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)測(cè)量方 案，得出結(jié)果，培養(yǎng)動(dòng)手實(shí)踐操作能

11、力同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際建立數(shù)學(xué)模型，促使大家進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)就在 身邊，會(huì)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題.【變式2】2008年6月以來(lái)某省普降大雨，時(shí)有山體滑坡災(zāi)害發(fā)生.北峰小學(xué)教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)土坡，坡上 面是一塊平地，如圖所示，AF/BC,斜坡AB長(zhǎng)30米，坡角/ABC=65。.為了防止滑坡，保障安全，學(xué)校決定對(duì)該土坡進(jìn)行改造，經(jīng)過(guò)地質(zhì)人員勘測(cè)，（1）求坡頂與地面的距離AD等于多少米？（精確到0.1米）（2）為確保安全，學(xué)校計(jì)劃改造時(shí)保持坡腳B不動(dòng)，坡頂A沿AF削進(jìn)到E點(diǎn)處，求AE至少是多少米？（精確到0.1米）解析：在RtADB中,AB=30m，/ABD=65 ,所以AD=ABsi

12、n/ABD=30Xsin6527.2（米）.答：AD等于27.2米.riDcosZABD = （2）在RtADB中，-二，所以DB=ABcos/ABD=30Xcos6512.7（米）. 連結(jié)BE，過(guò)E作EN丄BC于N,因?yàn)锳E/BC,所以四邊形AEND為矩形, 貝UNE=AD沁27.2.在RtENB中，由已知/EBN45所以AE=ND=BN-BD=14.5（米）.答：AE至少是14.5米.類(lèi)型四：銳角三角形函數(shù)與斜三角形6數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小敏、小穎分別畫(huà)出了作丄,小穎畫(huà)的三角形面積記作3 ，那么（）B _UJ_L，當(dāng)/EBN=45。時(shí),AEF/:X 1 / !i i 1kiEfNCBN=EN=2

13、7.2.ABC和厶DEF，數(shù)據(jù)如圖所示，如果把小敏畫(huà)的三角形面積記D.不能確定-11 -12 -小敏冋的遷角竜此兩圖一個(gè)是銳角三角形， 另一個(gè)是鈍角三角形， 因此解決此問(wèn)題,關(guān)鍵作咼構(gòu)造直角三角形，如圖所示，在RtDHE中，/DEH=180-130=50得D貝二DEsinZDJUH= 5sin50，從而也求得兀別？ = 血莒.答案：C總結(jié)升華：解斜三角形時(shí)往往作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用直角三角形邊邊、邊角、角角關(guān)系求出問(wèn) 題答案.舉一反三【變式1】已知如圖所示，(1)當(dāng)厶ABC為銳角三角形時(shí)，AB為最長(zhǎng)邊，三邊分別為a、b、c,試判斷與的大小關(guān)系.用a、b、c,表示出cosB.(2)當(dāng)厶ABC為鈍角三角形時(shí)，/C為鈍角，判斷:與二的大小關(guān)系？用a、b、c表示cosB.思路點(diǎn)撥：解此類(lèi)問(wèn)題需作高線構(gòu)造直角三角形，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)構(gòu)造的兩直角三角形有一條公共邊，借助它列方作AG丄BC于G,DH丄EF于H，在RtABG中,sin B =AG二得j= 10sin 5(T解析:nijzmjlDEH =DE弘F= EF 口鬥=10$11150小潁畫(huà)的三角旳-13 -Bjjj程，設(shè)CD=x，則在圖中E二“r，圖中?。?，則圖方程為_(kāi)-x 圖方程為-： -r:，先求出芒，再進(jìn)一步