八個無敵模型——全搞定空間幾何的外接球和內切球問題

1、八個有趣模型一一搞定空間幾何體的外接球與內切球類型一、墻角模型（三條線兩個垂直，不找球心的位置即可求出球半徑）2方法:找三條兩兩垂直的線段，直接用公式(2R)2b2c2，即 2R = a2 b2 c2，求出 R例1A.（1）已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為16二 B 20二 C 24二體積為16，則這個球的表面積是（C ） 32 二(2)若三棱錐的三個側面兩垂直，且側棱長均為3，則其外接球的表面積是解:(1) V =a2h =16 , a =2 , 4R2 =a2 a2 h2=4 416 =24，S=24二，選 C；(2)(3)在正三棱錐S - ABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點

2、，且 AM _MN ,若側棱SA=2、3,則4R2 =3 3 3 =9， S =4 ：R2 =9二正三棱錐S-ABC外接球的表面積是 。 36 -解：引理：正三棱錐的對棱互垂直 。證明如下： 如圖（3） -1，取AB, BC的中點D, E，連接AE,CD , AE,CD交于H，連接SH，則H是底面正三角形ABC的中心， SH _平面ABC , SH _ AB ,AC =BC , AD =BD , CD _ AB , AB _ 平面 SCD ,.AB _ SC，同理：BC _ SA , AC _ SB，即正三棱錐的對棱互垂直,本題圖如圖(3) -2 ,- AM _MN , SB/MN ,.AM

3、_SB , AC_SB , SB_ 平面 SAC ,.SBSA, SB SC, SB SA, BC SA,-SA 平面 SBC , SA SC,故三棱錐S - ABC的三棱條側棱兩兩互相垂直，C題-1C題-2(2R)2 =(2、3)2(2 3)2(2 3)2 =36，即 4R2 =36 ,正三棱錐S-ABC外接球的表面積是 36-：（4）在四面體SABC中，SA_平面ABC , . BAC =120 ,SA = AC =2, AB =1,則該四面體的外接球的表面積為（ D ） A.11二B.7 :1040D.-33，那么它的外接球的表面積是（6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為 何

4、體外接球的體積為1的等腰直角三角形和邊長為 1的正方形，則該幾解析：(4)在 ABC 中，BC2 二 AC2 AB2 -2AB BC cos120 =7，BC = 7， ABC的外接球直徑為2r 二BCsin _ BAC32、7、322227 240(2R)(2r)2 SA2 =( 3 )2 4 = §40 :，選D3（5）三條側棱兩兩生直，設三條側棱長分別為a,b,c( a,b,c R ')，則ab =12bc=8 ，二 abc=24，二 a=3，b=4，c = 2，(2R)2 = a2 + b2+c2 = 29，S = 4 兀 R2 = 29 兀，ac =6(6) (2R

5、)2 =a2 b2 c2 =3，R2 =3，R -4 2V 二R3 二33333=it8 2類型二、垂面模型（一條直線垂直于一個平面）1.題設：如圖5, PA _平面ABC解題步驟：第一步：將UABC畫在小圓面上， A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直 徑AD，連接PD，貝U PD必過球心O ;第二步：。1為 ABC的外心，所以OQ 平面ABC，算出小圓0的半徑O1D =r （三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得a bsin A sin Bcsin C=2r)（5）如果三棱錐的三個側面兩兩垂直，它們的面積分別為第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：（2R）2 =PA2 （2r）2：= 2

6、R二.PA2 （2r）2 ； R2 二 r2 00：= R = , r2 OOi22題設：如圖6,7,8, P的射影是 ABC的外心 三棱錐P ABC的底面:ABC在圓錐的底上，頂點二 三棱錐P - ABC的三條側棱相等 二P點也是圓錐的頂點第一步：確定球心 0的位置，取ABC的外心Oi，則P,OQ三點共線;第二步：先算出小圓 01的半徑A01 =r，再算出棱錐的高 POh （也是圓錐的高）；第三步：勾股定理： 0A2 =0“A2 0102= R2 =（h-R）2 r2，解出 R方法二：小圓直徑參與構造大圓。例2 一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）C16兀A. 3二B

7、. 2二C.D .以上都不對3解：選 C, （、3 -R）2 1 二 R2, 3-2.3R R2 1 二 R2, 4-2、3R = 0,S=4 ：R2 二16 :圖9-1圖9-2圖9-3圖9-4類型三、切瓜模型(兩個平面互相垂直)1題設：如圖9-1，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC (即AC為小圓的直徑)第一步：易知球心 O必是：PAC的外心，即 PAC的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑AC =2r ；第二步：在.IPAC中，可根據(jù)正弦定理 bC 2R，求出Rsin A sin B sin C2.如圖9-2，平面PAC _平面ABC，且AB _ BC (即AC為小圓的直徑)2 2 2

8、2 2 2 : 2 2OC -O1C OQ u R=rO1O 二 AC=2、R -OQ3如圖9-3，平面PAC 平面ABC，且AB _ BC (即AC為小圓的直徑)，且 P的射影是 ABC的 外心=三棱錐P 一 ABC的三條側棱相等 =三棱P - ABC的底面：ABC在圓錐的底上，頂點 P點也是 圓錐的頂點解題步驟：第一步：確定球心 O的位置，取AABC的外心O1，則P,O,O1三點共線；第二步：先算出小圓 O1的半徑AO1，再算出棱錐的高 PO h (也是圓錐的高)；第三步：勾股定理： OA2 =O1A2 O1O2= R2 =(h-R)2 r2，解出 R4如圖9-3，平面PAC _平面ABC

9、，且AB _ BC (即AC為小圓的直徑)，且 PA _ AC，貝U利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：(2R)PA2 (2r)2二2R二PA2 (2r)2 ； R2 二 r2 OO/二 Rr2 OO/例3 (1)正四棱錐的頂點都在同一球面上， 若該棱錐的高為1，底面邊長為2 3，則該球的表面積為 。(2) 正四棱錐S-ABCD的底面邊長和各側棱長都為2，各頂點都在同一個球面上，則此球的體積為 解：(1)由正弦定理或找球心都可得 2R =7, s =4二R2 =49二，4兀(2)方法一：找球心的位置，易知r =1 , h=1, h=r ,故球心在正方形的中心 ABCD處，R = 1 , V =方

10、法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是aSAC的外接圓，此處特殊,Rt.lSAC的斜邊是球半徑,4兀2R =2，R =1，V3（3）在三棱錐P ABC中，PA = PB = PC = . 3 ,側棱PA與底面ABC所成的角為60 ，則該三棱錐外接球的體積為（）A.二B.3C. 4D.R=1J3解：選D,圓錐A, B,C在以r 的圓上,2（4）已知三棱錐 S - ABC的所有頂點都在球 0的求面上，厶ABC是邊長為1的正三角形，SC為球0的直 徑,且SC = 2，則此棱錐的體積為（）AA二B氾C .空 D 1Z6 6323333436類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）第一步：確定球

11、心 O的位置，題設：如圖10-1，圖10-2，圖10-3,直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以 是任意三角形）01是 ABC的外心，則00! _平面abc ；01的半徑AQ =r , 001 =丄AA1（ AA二h也是圓柱的高）；2 2第三步：勾股定理:2 2 2 20A 9A OQ = R=）2 rl R =2，解出例4（1） 一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,9且該六棱柱的體積為一，底面周長為3，則這個球的體積為 81解：設正六邊形邊長為 a，正六棱柱的咼為 h，底面外接圓的關徑為 r，則a =-,23 1 23 _

12、 33< 392 3 21 2 A底面積為 S = 6(), 7底二 Shh , - h=. 3 , R=( ) :() 1 ,4 2888224 二R =1，球的體積為V =3(2)直三棱柱 ABC - ABC的各頂點都在同一球面上，若 AB二AC二AA, = 2, . BAC =120，則此球的表面積等于。解：BC = 2. 3， 2r 4， r = 2， R = 5， S = 20二sin 120 '（3）已知.EAB所在的平面與矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA = EB 二 3, AD =2,. AEB 二 60，則多面體 E - ABCD 的外接球的表面積為。16

13、二O1M 3 , a 9D132 2，R23 134， R = 2， S = 16二4 4(4)在直三棱柱 ABC-ABC 中，AB =4,AC =6,A,AA1 = 4則直三棱柱 ABC - A B1C1的外接球3的表面積為160。 -32 1 解析：BC2 =16 36 -2 4 6 丄2=28，BC =2 . 7，公4旦33，2 2R =r160S 二-3類型五、折疊模型第一步：先畫出如圖所示的圖形，將- BCD畫在小圓上，找出BCD和=A BD的外心H1和H2 ；解析：折疊型，法一：EAB的外接圓半徑為, 3，OQ =1，第二步：過H1和H2分別作平面BCD和平面ABD的垂線，兩垂線的

14、交點即為球心 O，連接OE,OC ；第三步：解 OEHi，算出OHi，在Rt OCHi中，勾股定理：0H； CH： = 0C2例5三棱錐P ABC中，平面PAC _平面ABC , PAC和厶ABC均為邊長為2的正三角形，則三棱 錐P ABC外接球的半徑為24解析：2 H = 2 E ：sin 60 v32 1円2】3，°2H 1.3，2 2 2 1R -O2 Hri 二315 ；31法二：02H =一Q3AH =1,2 2 2 2 2R = AO = AH °1H °1°類型六、對棱相等模型（補形為長方體）題設：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等

15、， 求外接球半徑（AB = CD， AD = BC，AC = BD） 第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱；第二步：設出長方體的長寬高分別為 a,b,c，AD二BC二x，AB二CD二y，AC二BD二z，列方程組,2 , . 2 2a +b =x-2 丄 22/cr»22 丄2+c =y = (2R) =a +b2丄22c +a =zc2z2補充：Va_bcd11= abc abc 4 abc63第三步：根據(jù)墻角模型,2丄 2丄 22ST圖12222x y z求出R，例如，正四面體的外接球半徑可用此法。例6（ 1）棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心

16、的一（2）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是( )A. 3月B烏C空D43412解：（1）截面為 PCO1,面積是 2 ；（2）咼h =R =1,底面外接圓的半徑為R =1，直徑為2R=2 ,個截面如圖，則圖中三角形 （正四面體的截面）的面積是（1）題解答圖設底面邊長為a，則2R a 2，a._3，S -a3-，sin 6041三棱錐的體積為V Sh3(3)在三棱錐 ABCD 中，AB =CD =2,AD = BC =3,AC二BD = 4,則三棱錐 A 一 BCD外接球的表面積為29。 二2解析：如圖12,設補形為長方體，三

17、個長度為三對面的對角線長,設長寬高分別為a, b, c，則a2 b2 = 9 ,b2 c2 =4， c2 a2 =16. 2(a2 b2 c2) =9 4 16 = 29，2(a2 b2 c2) = 9 4 16 = 29，2,222922929a b c ， 4R ， S =-2 2 2（4）如圖所示三棱錐 A - BCD，其中AB =CD =5,AC =BD表面積為.=6, AD = BC =7,則該三棱錐外接球的解析：同上，設補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設長寬高分別為a,b,c，2（a2b2c2） =2536 49=110，a2b2c2=55，4R2=55，S=55二【55

18、二；對稱幾何體；放到長方體中】（5） 正四面體的各條棱長都為-.2，則該正面體外接球的體積為解析：這是特殊情況,但也是對棱相等的模式，放入長方體中,2R3，V34R ，V 二一一233 3 3，8 2類型七、兩直角三角形拼接在一起（斜邊相同，也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐）模型C題設： APB = ACB =90，求三棱錐P - ABC外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點 O ,連接1OP,OC，則OA =OB =OC =OP AB， - O為三棱錐P-ABC外接球球心，然后在 OCP中求出2半徑），當看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關，只要不是平角球半徑都為定 值。

19、例7（ 1）在矩形ABCD中，AB二4，BC =3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B - AC - D，則四面體ABCD的外接球的體積為（）A.125 二125 二12125 二6125 二3PB圖14圖15VP -ABC1 1 1= 3S'ABC r ' 3Spab r' 3Spac r解：(1) 2R=AC =5 , R=-, V = 4 二R3 / 二 125 J25'，選 C23386(2)在矩形ABCD中，AB =2 , BC = 3,沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC ,所得三棱錐 A 一 BCD 的外接球的表面積為解析：(2) BD 的中點是

20、球心 0 , 2R = BD=.13 , S =4 二 R2 =13 二； 類型八、錐體的內切球問題1 題設：如圖14，三棱錐PABC上正三棱錐，求其外接球的半徑。 第一步：先現(xiàn)出內切球的截面圖，E, H分別是兩個三角形的外心；1第二步：求DH BD , P0二PH-r, PD是側面.ABP的高；3第三步：由APOE相似于 PDH，建立等式：°E二P0，解出rDH PD2題設：如圖15，四棱錐P-ABC上正四棱錐，求其外接球的半徑第一步：先現(xiàn)出內切球的截面圖，P,O,H三點共線；1第二步：求FH BC , P0 = PH - r, PF是側面 PCD的高；2第三步：由APOG相似于.

21、 PFH，建立等式：O，解出HF PF3題設：三棱錐 P - ABC是任意三棱錐，求其的內切球半徑方法：等體積法，即內切球球心與四個面構成的四個三棱錐的體積之和相等 第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；第二步：設內切球的半徑為r,建立等式：Vpbc二Vojbc - Vo_pab Vpac Vo_pbc-1 1'3Spbc 匕(Sabc Spab Spac SpBc) r第三步:解出 r3Vp"bc& -ABC ' SO -PABSo _PAC足-PBC習題：1 若三棱錐S - ABC的三條側棱兩兩垂直， 且SA = 2 , SB = SC = 4 ,則該三棱錐的外接球半徑為 ()A. 3B. 6C. 36D. 9解：【A】(2R)2 = .4 16 16 =6 , R=3【三棱錐有一側棱垂直于底面，且底面是直角三角形】