數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言

1、數(shù)形結(jié)合思想黃根水?dāng)?shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來，它在解選擇題和填空題的時(shí)候非常有用，在解答高考大題的時(shí)候也可以幫助打開思路數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，歷年來一直是高考考查的重點(diǎn)之一，縱觀近兩年的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果從目前高考“注重通法，淡化技巧”的命題原則來看，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注解析幾何中圖象的幾何意義以及函數(shù)圖象的充分利用要點(diǎn)串講數(shù)形結(jié)合思想包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一種是借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函

2、數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；另一種是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)1.要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；2恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；3正確確定參數(shù)的取值范圍數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位近幾年的高考題中的解析幾何問題、函數(shù)與不等式問題、參數(shù)范圍問題、集合問題、立體幾何問題等都用到了數(shù)形結(jié)合的思想方法數(shù)形結(jié)合思想不僅是我們解題的一種思想方法，

3、還是我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)、研究數(shù)學(xué)的有力武器應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想方法解題，通?？梢詮囊韵聨讉€(gè)方面入手：1.函數(shù)式與函數(shù)圖象2.不等式與函數(shù)圖象3.圓與方程4.參數(shù)本身的幾何意義5.代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)6.概念自身的幾何意義7.可行域與目標(biāo)函數(shù)的最值. 8.利用向量的兩重性.高頻考點(diǎn)已類型一數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問題【例1】知f(x)是定義在(3,3)上的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<3時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，那么不等式f(x)cosx<0的解集是()a.(0,1)b.(0,1)c(3,1)(0,1)(1,3)d.(0,1)(1,3)分析在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出(3,3)上的f(x)及ycosx的圖象，利用圖

4、象確定解集解析不等式f(x)cosx<0等價(jià)于或畫出f(x)在(3,3)上的圖象，cosx的圖象又熟知，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，如圖所示，從“形”中找出圖象分別在x軸上、下部分的對(duì)應(yīng)“數(shù)”的區(qū)間為(0,1).故選b.答案b點(diǎn)評(píng)(1)有關(guān)數(shù)的問題可借助圖形的性質(zhì)，使問題直觀化(2)f(x)在y軸左邊的圖象是利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱畫出的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對(duì)稱的思想方法【探究1】f(x)若不等式f(x)2xm恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y2xm及yf(x)的圖象(如圖)，由于不等式f(x)2xm恒成立，所以函數(shù)y2xm的圖象應(yīng)總在函數(shù)yf(x)圖象的下方，因此，當(dāng)x2時(shí)，y4m

5、0，所以m4，所以m的取值范圍是4，)點(diǎn)評(píng)此題屬于不等式恒成立問題，先利用圖象的上、下位置關(guān)系確定直線的位置，然后再還原即可解不等式或證明不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)(或多個(gè))函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系來確定不等式的解集或證明不等式類型二數(shù)形結(jié)合解決方程問題【例2】已知二次函數(shù)yf1(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)(1,1)，反比例函數(shù)yf2(x)的圖象與直線yx的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為8，f(x)f1(x)f2(x)(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(2)證明：當(dāng)a>3時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解分析利用待定系數(shù)法求出f(x)，借

6、助圖形或?qū)Ψ匠蘤(x)f(a)同解變形確定方程根的個(gè)數(shù)為頂點(diǎn)，開口向下的拋物線(如圖所示)因此，f2(x)與f3(x)的圖象在第三象限有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)f(a)有一個(gè)負(fù)數(shù)解又f2(2)4，f3(2)4a2，當(dāng)a>3時(shí)，f3(2)f2(2)a28>0，當(dāng)a>3時(shí)，在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(diǎn)(2，f3(2)在f2(x)圖象的上方f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個(gè)交點(diǎn)， 即f(x)f(a)有兩個(gè)正數(shù)解因此，方程f(x)f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解證法二：由f(x)f(a)，得x2a2，即(xa)0，得方程的一個(gè)解x1a.方程xa0化為ax2a2x80，由a>3

7、，a432a>0，得x，x2，x3，a>3，x1x2.若x1x3，則3a2，a44a，解得a0或a，這與a>3矛盾，x1x3.故原方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解點(diǎn)評(píng)(1)以形助數(shù)：解答中在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出yf2(x)及yf3(x)的圖象，得知f(x)f(a)有一個(gè)負(fù)數(shù)解以數(shù)助形：yf2(x)與yf3(x)在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不能只由圖形作出判斷，通過a>3，f3(2)>f2(2)才準(zhǔn)確得到方程f(x)f(a)有兩個(gè)正數(shù)解這充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合解決問題的優(yōu)越性(2)證明或探求方程根的個(gè)數(shù)問題的常見方法：一是將方程轉(zhuǎn)化為f(x)0，然后研究函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)，可利用f(a)

8、83;f(b)<0，則a，b內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；二是將方程轉(zhuǎn)化為f(x)g(x)，然后在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出yf(x)及yg(x)的圖象，研究它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而確定方程根的個(gè)數(shù)【探究2】已知u1，v1且(logau)2(logav)2loga(au2)loga(av2)(a>1)，求loga(uv)的最大值和最小值解令xlogau，ylogav，則已知式可化為：(x1)2(y1)24(x0，y0)再設(shè)tloga(uv)xy(x0，y0)，由圖可知，當(dāng)線段yxt(x0，y0)與圓弧(x1)2(y1)24(x0，y0)相切時(shí)，截距t取得最大值，此時(shí)tmax22(如圖中cd位置)；當(dāng)線段端點(diǎn)

9、是圓弧端點(diǎn)時(shí)，t取得最小值，此時(shí)tmin1(如圖中ab位置)因此loga(uv)的最大值是22，最小值是1.點(diǎn)評(píng)本題通過換元的方法將已知條件轉(zhuǎn)化為圓的方程的形式，將欲求代數(shù)式和直線的截距進(jìn)行聯(lián)系，結(jié)合圖形直觀形象地獲得答案類型三數(shù)形結(jié)合思想解決代數(shù)式值的范圍問題【例3】已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2y23(y0)，m，b2xy.求證：(1)m；(2)2b.分析m可看作兩點(diǎn)(x，y)與(3，1)連線的斜率，b可看作直線y2xb在y軸上的截距證明(1)m可看作過半圓x2y23(y0)上的點(diǎn)m(x，y)和定點(diǎn)a(3，1)的直線的斜率由圖可知k1mk2(k1，k2分別為直線am1，am2的斜率)，k1，圓心到

10、切線k2xy3k210的距離為d，k2(舍去負(fù)值)，m.(2)b可看作斜率為2，過半圓x2y23(y0)上一點(diǎn)p(x，y)的直線在y軸上的截距由圖可知n2bn1，p2c的方程為y2(x)，令x0，yn22，圓心到切線p1b：2xyc0的距離d，c±(舍負(fù)值)，n1，2b., 點(diǎn)評(píng)條件中的數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)，反之，幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想能將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用可提高解題速度，優(yōu)化解題過程【探究3】已知x，y滿足1，求y3x的最大值與最小值解令y3xb，則y3xb.原問題轉(zhuǎn)化為：在橢圓1上求一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的直線的斜率為3，且在y軸上的

11、截距最大或最小由圖可知，當(dāng)直線y3xb與橢圓1相切時(shí)，有最大截距與最小截距，169x296bx16b24000，由0，得b±13，故y3x的最大值為13，最小值為13.點(diǎn)評(píng)對(duì)于二元函數(shù)y3x在限定條件1下求最值，常采用構(gòu)造直線的截距的方法來求本題正是通過引入?yún)?shù)by3x，視b為直線y3xb的縱截距，而直線與橢圓必須有公共點(diǎn)，故相切時(shí)b有最值，利用參數(shù)b的幾何意義將一個(gè)代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化成直線與橢圓相切的幾何問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的魅力類型四數(shù)形結(jié)合思想解決幾何問題【例4】如圖所示，已知p是直線3x4y80上的動(dòng)點(diǎn)，pa，pb是圓x2y22x2y10的兩條切線，a，b是切點(diǎn)，c是圓心，

12、那么四邊形pacb面積的最小值為_分析在同一坐標(biāo)系中畫出直線與圓作出圓的切線pa、pb，則四邊形pacb的面積s四邊形pacbspacspbc2spac.把s四邊形pacb轉(zhuǎn)化為2倍的spac可以有以下多條數(shù)形結(jié)合的思路解解法一：從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看問題，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)p沿直線3x4y80向左上方或向右下方無窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，直角三角形pac的面積srtpac|pa|·|ac|pa|越來越大，從而s四邊形pacb也越來越大；當(dāng)點(diǎn)p從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí)，s四邊形pacb變小，顯然，當(dāng)點(diǎn)p到達(dá)一個(gè)最特殊的位置，即cp垂直直線時(shí)，s四邊形pacb應(yīng)有唯一的最小值，此時(shí)|pc|3，從而|pa|2.

13、s四邊形pacb最小值2××|pa|×|ac|2.這是運(yùn)動(dòng)變化的思想幫助我們打開了解題的思路解法二：利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想：設(shè)點(diǎn)p坐標(biāo)為(x，y)，則|pc|，由勾股定理及|ac|1，得|pa|，從而s四邊形pacb2spac2·|pa|·|ac|pa|，從而欲求s四邊形pacb最小值，只需求|pa|的最小值，只 求|pc|2(x1)2(y1)2的最小值，即定點(diǎn)c(1,1)與直線上動(dòng)點(diǎn)(x，y)距離的平方的最小值，它也就是點(diǎn)c(1,1)到直線3x4y80的距離的平方，這個(gè)最小值d229，s四邊形pacb最小值2.解法三：利用函數(shù)思想，將解法二中s四

14、邊形pacb中的y由3x4y80中解出，代入化為關(guān)于x的一元函數(shù)，進(jìn)而用配方法求最值，也可得s四邊形pacb最小值2., 點(diǎn)評(píng)本題的解答運(yùn)用了多種數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)動(dòng)變化的思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想以及配方法，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，能使數(shù)學(xué)問題快速得以解決【探究4】已知點(diǎn)p在拋物線y24x上，那么點(diǎn)p到點(diǎn)q(2，1)的距離與點(diǎn)p到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)p的坐標(biāo)為()a. b.c(1,2) d(1，2)解析依題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為f(1,0)，設(shè)p到準(zhǔn)線的距離為d，則由拋物線的定義知：|pf|pq|d|pq|.如圖，當(dāng)pqx軸時(shí)，|pf|pq|最小，此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為，故選

15、a.點(diǎn)評(píng)這是一道典型的數(shù)形結(jié)合求最值的題目，方法是借助拋物線的定義，將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，然后在圖形中通過幾何方法得到問題的解很多數(shù)學(xué)概念都具有一定的幾何意義，常見的對(duì)應(yīng)關(guān)系有：導(dǎo)數(shù)f(x0)曲線在x0處的斜率；復(fù)數(shù)的模向量的長(zhǎng)度；橢圓到兩定點(diǎn)a、b的距離之和為常數(shù)2a(2a>|ab|)；雙曲線到兩定點(diǎn)a、b的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a(2a<|ab|)；拋物線到定點(diǎn)與到定直線的距離相等；數(shù)列函數(shù)點(diǎn)列；方程組的解曲線的交點(diǎn)等.好方法好成績(jī)1.數(shù)形結(jié)合的思考途徑(1)函數(shù)圖象的交點(diǎn)或位置關(guān)系的問題與方程、不等式問題的相互轉(zhuǎn)化；(2)利用絕對(duì)值、解析幾何中的重要公式(如兩點(diǎn)間距離公式、直線的斜率、截距等)、定義等討論函數(shù)式的背景及幾何意義；(3)有的幾何圖形問題，考慮建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，利用代數(shù)運(yùn)算或選用向量基底，通過向量運(yùn)算來處理在解題過程中常用到的圖形有：數(shù)軸、常見函數(shù)(一次、二次函數(shù)，指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù))的圖象、單位圓及三角函數(shù)線、圓、圓錐曲線和空間幾何體等2數(shù)形結(jié)合思想方法所涉及的主要內(nèi)容(1)考查集合及其運(yùn)算問題venn圖(2)考查用函數(shù)圖象解決有關(guān)問題(如方程、不等式等問題)(3)考查運(yùn)用向量運(yùn)算解決有關(guān)問題(4)考查