控制理論lesson11-§1.8多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣

1、1.8 多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣 一一. .傳遞矩陣的概念傳遞矩陣的概念 1.1.傳遞函數(shù)陣的概念傳遞函數(shù)陣的概念 在經(jīng)典理論中，我們常用傳遞函數(shù)來(lái)表示單入、單出線性定常系統(tǒng)輸入輸出間的傳遞特性。 其定義是：零初始條件下，輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比。 即 或,)()()(sUsYsG)()()(sUsGsY 對(duì)于雙輸入雙輸出系統(tǒng)(見下圖)。按輸入的疊加性，將輸出分別用兩個(gè)方程表示出。如：u1(s),u2(s)為輸入，y1(s),y2(s)為輸出。 Gij表示第i個(gè)輸出與第j個(gè)輸入之間的傳函。1u2u11( )Gs21( )Gs12( )Gs22( )Gs1y2y)()()()()()()

2、()()()(22212122121111sUsGsUsGsYsUsGsUsGsY表示成矩陣形式：111121221222( )( )( )( )( )( )( )( )Y sGsGsU sY sGsGsUs122212 )s(U)s(G)s(Y即 則G G(s)稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣或稱傳遞矩陣。 對(duì)于多輸入、多輸出線性定常系統(tǒng)，也可把傳遞函數(shù)陣的概念如上推廣。設(shè)系統(tǒng)有r個(gè)輸入變量，m個(gè)輸出變量。則傳遞矩陣的形式為：)()()()()()()()()()(212222111211sGsGsGsGsGsGsGsGsGsmrmmrrGU(s):輸入矢量.Y(s):輸出矢量E(s):誤差矢量G0(s

3、):前向通道的傳遞矩陣H(s):反饋通道的傳遞矩陣2.閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣： 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的概念也可推廣到多輸入多輸出系統(tǒng)中，稱為閉環(huán)傳遞矩陣。設(shè)多輸入多輸出閉環(huán)系統(tǒng)如下：( )U s( )E s0( )G s( )H s( )Y sF(s)-而)()()()()()(sYsHsUsFsUsE)()()()()()()(00sYsHsUsGsEsGsY )s(U)s(G)s(Y)s(H)s(GI00 100G( )( )( )( )sIG s H sG s所以閉環(huán)傳遞矩陣為：故 )s(U)s(G)s(H)s(GI)s(Y010 左乘逆陣 得 10I )s(H)s(G( )U s( )E s0(

4、 )G s( )H s( )Y sF(s)-由結(jié)構(gòu)圖知：( )(1,1, )ijGs im jr表示第i個(gè)輸出與第j個(gè)輸入之間的傳遞函數(shù)。其中：2).傳遞矩陣是一個(gè)mr 階矩陣，其一般形式為：1). 矢量不能寫成 的比值形式。也不能任意交換運(yùn)算順序。如：幾點(diǎn)討論：( )/( )Y sU s)()()()()(00sGsEsEsGsY)()()()()()()()()()(212222111211sGsGsGsGsGsGsGsGsGsmrmmrrG1122( )0( )( )0( )mmGsGsG sGs即表示系統(tǒng)的第i個(gè)輸出只與第i個(gè)輸入有關(guān)。與其它輸入無(wú)關(guān)，實(shí)現(xiàn)了分離性控制。3).若傳遞矩陣

5、是方陣(m=r),通過適當(dāng)線形變換化為對(duì)角形，稱為傳遞矩陣的解耦形式。例：機(jī)械位移系統(tǒng) 設(shè)系統(tǒng)原處于靜止?fàn)顟B(tài)。 輸入：F1,F2 輸出：Y1,Y2求傳遞矩陣。二.傳遞函數(shù)陣的求法：1.1.由微分方程的拉氏變換式求由微分方程的拉氏變換式求傳遞矩陣傳遞矩陣. .解：寫微分方程211211112()d yd yymfk yFdtdt222122222()d yd yymfk yFdtdt211121( )( )( )m sfsk Y sfsY sF s212212( )( )( )m sfskY sfsY sF s211111222212( )( )( )( )Y sF sm sfskfsY sF

6、sfsm sfsk 寫成矩陣形式：設(shè)初始條件為零，取拉氏變換：DuCxyBuAxx ( )( )( )( )( )( )sX sAX sBU sY sCX sDU s)()(1sBUAsIsX1211222( )m sfskfsG sfsm sfsk得設(shè)零初始條件，取拉氏變換 . 2. 2.由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣：由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞函數(shù)陣： 已知狀態(tài)空間表達(dá)式為已知狀態(tài)空間表達(dá)式為: :DBAsICsG1)(nnnasasAsIadjAsIAsIadjAsI111)()det()(111111()( )rnnnmmrGGC adj sIABD sIAG ssa saGG可見 是G(s

7、)中每一項(xiàng)的分母多項(xiàng)式，故A的特征值就是 G(s)的極點(diǎn)。)()(1sUDBAsICsY代入輸出sIAuxxxx52131521212121xxy52131521)(11ssBAsICsG)4)(2(591252865311212sssssss解：求傳遞函數(shù)陣。例：已知標(biāo)量系統(tǒng)：例： 1.求出每個(gè)輸出與各個(gè)輸入的傳遞函數(shù) 2.將結(jié)構(gòu)圖整理成從各個(gè)輸入向各個(gè)輸出前向傳遞形式. 3.按圖中輸入輸出關(guān)系寫傳遞矩陣. 3. 3.由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)陣：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)陣：1u2u1G2GHy-即11212111GGGGGUY1221221GGGGUY211211)(UUGGsY1211)(GG

8、sG1u2u11G12GYuY( )G s定理：線性變換不改變系統(tǒng)得傳遞矩陣.三.傳遞矩陣的性質(zhì)：DDCPCBPBAPPA,11DBPAPPsPPCP1111DBPPAsIPCP111DBPPAsIPCP111)()(1sGDBAsIC則變換后：取線性變換P：1( )G sC sIABD證明：設(shè)原系統(tǒng)的傳遞矩陣為：DBAsICsG1)(v圖1-44 子系統(tǒng)串聯(lián))()()(111sssUGY)()()()()()()()()()(111212222ssssssssssUGUGGYGUGY四、子系統(tǒng)串并聯(lián)組合系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣四、子系統(tǒng)串并聯(lián)組合系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣圖1-45 子系統(tǒng)并聯(lián))()()(11sssUGY)()()(22sssUGY)()()()()()()()()()()()( 212121s