初等數(shù)論中地幾個重要定理(競賽必備)

1、初等數(shù)論中的幾個重要定理基礎(chǔ)知識定義（歐拉（Euler）函數(shù)）一組數(shù)工稱為是模噸的既約剩余系，如果對任意的：' , '"1且對于任意的-心二，若=1,則有且僅有一個 I是賓對模噸的剩余，即：m»。并定義' 1 .中和“互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)， -稱為歐拉（Euler）函數(shù)。這是數(shù)論中的非常重要的一個函數(shù)，顯然-,而對于譏匸-, f 就是1,2，,代一中與w互素的數(shù)的個數(shù)，比如說 芒是素數(shù)，則有 f '-。卩O）二陽-口 G-引理：;可用容斥定理來證（證明略）。定理1 :（歐拉（Euler）定理）設(shè) n： = 1，則一"：；.。分析與解答：要

2、證一 ' 一I ：.，我們得設(shè)法找出個齊相乘，由-個數(shù)我們想到中與勺互質(zhì)的；? '的個數(shù)：'八，由于 一 =1，從而 "W S"也是與円互質(zhì)的個數(shù)，且兩兩余數(shù)不一樣， 故，' 三 皿1衛(wèi)口茄旳%町三/和”叭.口附）嚴(yán)站稅），而（叭勺.口的）鳴）=1， 故八-：.。證明：取模喇的一個既約剩余系- ''' -丁"： 考慮心 vC：，由于文與空互質(zhì)，故：":. '' '仍與汽:互質(zhì)，且有 J I. "'：，于是對每 個_二_二_都能找到唯一的一個二二_，使得&qu

3、ot;.-:r ，這種對應(yīng)關(guān)系（必j） 口右創(chuàng)（妣如）匸肉3嘶川（nh；）（口婦驅(qū)咖）網(wǎng) 口劃）=1?是一一的，從而，護(hù)=l（rnod 故川紀(jì)三l（tnod潮）。證畢。這是數(shù)論證明題中常用的一種方法，使用一組剩余系，然后乘一個數(shù)組組成另外一組剩余系來解決問題。定理2 :（費爾馬（Fermat ）小定理）對于質(zhì)數(shù)及任意整數(shù)主有''-'"二。設(shè)”為質(zhì)數(shù)，若戈是&的倍數(shù)，則Y 一。若；不是蘭的倍數(shù)，則！ 口 由引理及歐拉定理得I ：；l- ' /，一宀一 _J ,由此即得。定理J推論：設(shè)&為質(zhì)數(shù)，煮是與口互質(zhì)的任一整數(shù)，則/ 。定理3 :（威

4、爾遜（Wils on ）定理）設(shè)亍為質(zhì)數(shù)，則。分析與解答：受歐拉定理的影響，我們也找L -個數(shù)，然后來對應(yīng)乘法。證明：對于.' / ，在:中，必然有一個數(shù)除以尹余1，這是因為宀-則好是-"的一個剩余系去0。從而對b卞巴戸-卩，（1,2-,戸一1，使得；若 2i忙旳血0日譽(yù)），（盡勿=】，則用31-此）。血皿戸），p丨Vi -旳），故 對于F，有迂八。即對于不同的疋對應(yīng)于不同的"，即- '亠中數(shù)可兩兩配對，其積除以 F余1，然后有芒，使:一"1 ，即與它自己配對，這時疋_1二°血朋勿，（斗+鞏忑-1）°血加勿，兀三1或忙1血抑并）

5、， X = P 1 或天=1。除2 一外，別的數(shù)可兩兩配對，積除以余1。故-'-；，' -O定義：設(shè) 匚山 為整系數(shù)多項式（），我們把含有二的一組同余式/兀）O（rW竹）（1"“）稱為同余方組程。特別地，當(dāng)辦均為尤的一次整系 數(shù)多項式時，該同余方程組稱為一次同余方程組若整數(shù)疋同時滿足：'' ' _1 ''''<'"殳，則剩余類 胚二劉工總乙天匚（mod朋）（其中聊二蝕叫叫）稱為同余方程組的一個解，寫作一 ，；定理4 :（中國剩余定理）設(shè)'<:，：?；- '"

6、，：'；-是兩兩互素的正整數(shù)，那么對于任意整數(shù)，一次同余方程組：-L ,"必有解，且解可以寫為：工s曬坷碼+ M2舷?2 + "" +施0以（mo d曲）M. = （1<j這里隠二叫遇叫，i阻，以及眄滿足叫川汗1（血同叫）,:-宀（即C為叮對模t的逆）。中國定理的作用在于它能斷言所說的同余式組當(dāng)模兩兩互素時一定有解，而對于解的 形式并不重要。定理5 :（拉格郎日定理） 設(shè)決是質(zhì)數(shù)，：'是非負(fù)整數(shù)，多項式八"'+，/|-是一個模八為'；'次的整系數(shù)多項式（即° ' 程-'：'二

7、至多有專個解（在模有意義的情況下）。定理6 :若為：對模吃的階，為某一正整數(shù)，滿足-'，則三必為的倍數(shù)。以上介紹的只是一些系統(tǒng)的知識、 方法，經(jīng)常在解決數(shù)論問題中起著突破難點的作用。 另外 還有一些小的技巧則是在解決、 思考問題中起著排除情況、輔助分析等作用，有時也會起到2 fl（mod8）川為奇數(shù)時2 f0（mod9） 3整除川時M）1 黑 <意想不到的作用，如：，。這里我們只介紹幾個較為直接的應(yīng)用這些定理的例子。典例分析例1.設(shè)1,求證：T J -。證明：因為-_ 一 工，故由：知”丨小一 ，從而-1.、-亠|-,但是貳7） = 6,奴13） = 12 ,故由歐拉定理得：0

8、m （戊于mL l（tna時石，/二l（m町時1?）， 從而宀喚車；同理，屮二1血閃91）。于是十一滬二1一1二0（憶期91） 即91|（盯一0）。注明：現(xiàn)考慮整數(shù) 二的幕X所成的數(shù)列：匚''若有正整數(shù)使八一“I，則有二口'（mod空），其中冷=七©+幾0乞廠k ；因而關(guān)于丄 ,數(shù)列的項依次同余于r " ' -; " 一二 這個數(shù)列相繼的匕項成一段，各段是完全相同的，因而是周期數(shù)列。如下例：例2 .試求不大于100，且使 "I ' 成立的自然數(shù)的和。解：通過逐次計算，可求出 -：1關(guān)于U-的最小非負(fù)剩余（即為被 1

9、1除所得的余數(shù)）為：歸 刖11）羅-9（modlT）33?5（moiMX 3*4（modll）35 三 4x3工 l（modl 1）因而通項為丁的數(shù)列的項的最小非負(fù)剩余構(gòu)成周期為5的周期數(shù)列：3 , 9 , 5 , 4 , 1 , 3, 9 , 5 , 4 , 1 ,類似地，經(jīng)過計算可得'的數(shù)列的項的最小非負(fù)剩余構(gòu)成周期為10的周期數(shù)列：7, 5，2，3，10，4，6，9，8，1，于是由上兩式可知通項為匸 “ -的數(shù)列的項的最小非負(fù)剩余，構(gòu)成周期為10 （即上兩式周期的最小公倍數(shù)）的周期數(shù)列：3 , 7 , 0 , 0 , 4, 0, 8 , 7 , 5 , 6 ,這就表明，當(dāng)：n：時

10、，當(dāng)且僅當(dāng)十_加,時,|'r ' 111 ,即 1''；又由于數(shù)列的周期性，故當(dāng)l 1二匚二-兒1時，滿足要求的只有三個，即垃二10上+310上+ 4丄0上+ 6從而當(dāng)時，滿足要求的的和為：9»*2（10-t-b3）+（10t+（；lCfc+&） = 230 + 13 = 30Z+10xl3 = 30x45+130=MSOJt-0JU）JU）.下面我們著重對Fetmat小定理及其應(yīng)用來舉例：+乙例3 .求證：對于任意整數(shù)工一，-是一個整數(shù)。1 工證明：令',則只需證 -；廠 "是15的倍數(shù)即可。由3，5是素數(shù)及Fetmat小定

11、理得則錄 + 5x3 -l x= -I- 7x = Ofmod 力；3rs + 5x? +7工=2xr+ x = 0(mod 習(xí)而（3，5）=1，故"1'，即X是15的倍數(shù)。所以-是整數(shù)。例4 .求證：'嚴(yán)為任意整數(shù)）。證明：令侃）=0-用，則嗆11）（鳧+1）窗1+1）閒-沖+ 1）（*）；所以；1含有因式由Fetmat小定理，知又13 , 7, 5, 3 , 2兩兩互素，所以2730=：-'*能整除卞 ；。例5設(shè)'是直角三角形的三邊長。如果 -'是整數(shù)，求證：可以被30整除。若 2-< ,2證明：不妨設(shè)芒是直角三角形的斜邊長，則 c

12、則'_ r '-1_又因為"! _ r .矛盾！所以2|丸:.若 3，3 1 產(chǎn)，3 C，因為宀 ' 1-，則，；：-1 - 1 - ：又廠 -丄：，矛盾！從而 3|.；.，5因為(5jt±l)a-l(rnod5J (毀 ±2)彳-l(mGd5)所以"二或 o(m°d5)與，!-矛盾！從而 5|-；丁：.又(2,3,5)=1 ，所以 30| * :'.下面講述中國剩余定理的應(yīng)用例6 .證明：對于任意給定的正整數(shù)'，均有連續(xù)T個正整數(shù)，其中每一個都有大于1的平方因子。證明：由于素數(shù)有無窮多個， 故我們可以取

13、盒'個互不相同的素數(shù)-E,而考慮同余 組：-；2 2 2因為-顯然是兩兩互素的，故由中國剩余定理知，上述同余組有正整數(shù)解。2 2 2于是，連續(xù)打個數(shù)分別被平方數(shù) 1"； 整除。注：（1 ）本題的解法體現(xiàn)了中國剩余定理的一個基本功效，它常常能將“找連續(xù)7個正整數(shù)具有某種性質(zhì)”的問題轉(zhuǎn)化為“找個兩兩互素的數(shù)具有某種性質(zhì)”，而后者往往是比較容易解決的。（2）本題若不直接使用素數(shù)，也中以采用下面的變異方法：由費爾馬數(shù)-J： '- - '：122廠兩兩互素，故將中的'廠轉(zhuǎn)化為,J/:后，相應(yīng)的同余式也有解，同樣可以導(dǎo)出證明。例7.證明：對于任意給定的正整數(shù)町，均

14、有連續(xù)T個正整數(shù)，其中每一個都不是幕數(shù)。分析：我們來證明，存在連續(xù) 葺個正整數(shù)，其中每一個數(shù)都至少有一個素因子，在這個數(shù)的 標(biāo)準(zhǔn)分解中僅出現(xiàn)一次，從而這個數(shù)不是幕數(shù)。證明：取V個互不相同的素數(shù)，考慮同余組-"- 心八12 2 2因為7 顯然是兩兩互素的，故由中國剩余定理知，上述同余組有正整數(shù)解。對于因為,故二，但由式可知J ' I,即廠在L的標(biāo)準(zhǔn)分解中恰好出現(xiàn)一次，故 I-都不是幕數(shù)。例8 .設(shè)宀是給定的偶數(shù)，是偶數(shù)。證明：存在整數(shù) 工“使得 -,且， 。證明：我們先證明，當(dāng) 專為素數(shù)幕時結(jié)論成立。實際上，能夠證明，存在"使若匸 一，則條件表明為偶數(shù)，此時可取-;若匸-,則一 一與'