離散型隨機(jī)變量及其分布列考點(diǎn)與題型歸納

1、離散型隨機(jī)變量及其分布列考點(diǎn)與題型歸納一、基礎(chǔ)知識(shí)1. 隨機(jī)變量的有關(guān)概念(1) 隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量，常用字母X, Y, ",表示.(2) 離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量.2. 離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)XX1X2 Xi XPpiP2 Pi p”(1)概念：若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為XI, X2,，X，X”，X取每一個(gè) 值，“)的概率P(X=Xi)=ph以表格的形式表示如下：此表稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列.有時(shí)也用等式P(X=Xi) =p“ i=, 2, , n表示X的分布列.(2)分布列的性質(zhì)7=1,23，&

2、quot;：口=13常見的離散型隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布列X01ppp若隨機(jī)變量X的分布列具有左表的形式，則稱/服從兩點(diǎn)分布,并稱p=P(X=1)為成功概率.超幾何分布列在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取"件，其中恰有X件次品，則P(X=Q=9g魚，£=0丄2,，m,其中加=minM，”，LM NU N '.X01 mp5eg二* Q&C禺如果隨機(jī)變量X的分布列具有左表的形式，則稱隨機(jī)變就服從超幾何分布.若X是隨機(jī)變量,則Y=aX+b(a , b為常數(shù))也是隨機(jī)變量.睡中第一行表示隨機(jī)變量的取值；第二行對(duì)應(yīng)變量的概率.兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能性,其

3、概率之和為1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布 的特征是:0 (1)考察對(duì)象分兩類；(2) 已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；(3) 從中抽取若干個(gè)個(gè)體,考查某類個(gè)體數(shù)X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實(shí)質(zhì)是古典概型.©ni=minM, 11的理解m為£的最大取值，當(dāng)抽取的產(chǎn)品件數(shù)不大于總體中次品件數(shù),即” 時(shí),H抽取的 樣本中次品的件數(shù))的最大值為川二當(dāng)抽取的產(chǎn)品件數(shù)大于總體中次品件數(shù)即n 皿時(shí)， k的最大值為tn=M.考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)1設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X-101P1

4、32_3g(I1則q的值為()A.1C.a/H3 yl33 B丹D弭亜U 2 6解析：選C由分布列的性質(zhì)知3 - 3獰0 ,V 9解得g二I-辱g + 2-3g +二 1 ,2離散型隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為尸&=)=亦務(wù)(” =1,2,3,4),其中a是常數(shù),則的值為（）23A亍B4V5U 6解析：選 D 由:+二 1 ,知?jiǎng)埗?1 ,得 a二廟故 pQvXvj）二 P& 二 1） + Pa=2） = jx + |x| = |.3. 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234p0.20.10.103tn求隨機(jī)變量Y=2X+1的分布列;求隨機(jī)變量4=x1|的分布列；求隨機(jī)變量的分

5、布列.解：由分布列的性質(zhì)知，0.2+ 0.1 +0.1 + 0.3 +加二 1 ,彳曇川二 0.3. 首先列表為：X012342X+ 113579從而Y= 2X+ 1的分布列為Y13579P0.20.10.10.30.3列表為X01234區(qū)-1110123:.P = 0) = P(X= 1)二 0.1，P(> = 1)=P(X= 0)+P(X= 2)二 0.2 + 0.1 二 0.3 rP(fJ = 2)=P(X= 3) = 0 3 z0123P0.10.30303(3)首先列表為X01234¥014916從而f二牙的分布列為014916P0.20.10.10.30.3考點(diǎn)二超

6、幾何分布典例精析在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者如,A2, As, A4, As, Ae和4名女志愿者鬲,戲，戲,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.(1) 求接受甲種心理暗示的志愿者中包含出但不包含方】的概率；(2) 用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列.解記接受甲種心理暗示的志愿者中包含出但不包含Bi的事件為M ,則P(M)二由題意知X可取的值為01

7、234 ,則p(jr=2)="cr=2iC追軌啓二3)二瓷二詁P(X=4)因此X的分布列為X01234P1 425211021521142題組訓(xùn)練某項(xiàng)大型賽事，需要從高校選拔青年志愿者，某大學(xué)學(xué)生實(shí)踐中心積極參與，從8名 學(xué)生會(huì)干部(其中男生5名，女生3名)中選3名參加志愿者服務(wù)活動(dòng)-若所選3名學(xué)生中的女 生人數(shù)為X,求X的分布列.解：因?yàn)?名學(xué)生會(huì)干部中有5名男生，3名女生,所以X的分布列服從參數(shù)N二8 ,M= 3 r n = 3的超幾何分布.,_cSc? "rc9C? 5X的所有可能取值為0丄2,3其中P(X= i) =(z = 04,2,3)，則P(X=0)二 W二丙

8、,156z 、CjCs 15 z 、C3CI 15 z 、C1C§ P21)=ET二元 ” p(x=2)=cT=56 p(x=3)=_cT所以X的分布列為X0123515151P£28285656考點(diǎn)三求離散型隨機(jī)變量的分布列典例精析己知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.(1) 求第一次檢測(cè)岀的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；(2) 已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3 件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列.解記&q

9、uot;第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件A f則P(J)=AiAl 3A5 一10(2R的可能取值為200,300,400 rAn 1 則 P(X 二 200)二盂二花A? + CCAi 3用二300)二一忑一二而P(X= 400)二 1 - Pg 200) - P(X= 300)二 1 -寺-害二 g故X的分布列為X200300400133PJL10105題組訓(xùn)練有編號(hào)為1,2,3,，”的"個(gè)學(xué)生，入座編號(hào)為1,2,3,，”的”個(gè)座位，每個(gè)學(xué)生 規(guī)定坐一個(gè)座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為X,已知X=2時(shí)， 共有6種坐法.(1) 求"的

10、值;(2) 求隨機(jī)變量X的分布列-解：因?yàn)楫?dāng)X二2時(shí)，有G種坐法，n(n - 1)所以G二6,即二6,772 - 77 - 12 = 0 ,解得"二 4 或"二-3(舍去)r 所以 n = 4.因?yàn)閷W(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不同的學(xué)生人數(shù)為X,由題意知X的可能取值是023,4 #P(X=2)&X161P(X= 3)C|X2 81= _aF = 24 = 3z 、93P(h4) =疋飛,所以隨機(jī)變量X的分布列為X02341113PJL24438課時(shí)跟蹤檢測(cè)A級(jí)1.若隨機(jī)變量X的分布列為X-2-10123P0.10.20.2030.10.1則當(dāng)P（X<a）=O.

11、S時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.(8, 2C.(l,2B.l,2D(l,2)解析：選C由隨機(jī)變量X的分布列知:P（X< - 1） = 01屮（XV 0）二0.3屮（XVI）二0.5 ,P(T<2) = 0.8 r則當(dāng)P（X< a） = 0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1,22設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P（X=Q=a（Jk其中£=1,2,3）,則a的值為（）A.1119B1327Du解析：選D因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列為P(X=k) =1Z3),所以根據(jù)分布列的性質(zhì)有a站+石）2 +萄3二1 ,所以a= 15'3.（2019贛州棋擬）一袋中裝有5個(gè)球，編號(hào)為1,234,

12、5,在袋中同時(shí)取出3個(gè)，以俵示取出的三個(gè)球中的最小號(hào)碼，則隨機(jī)變量f的分布列為（）B.1234PI w丄03102TD.123p1 To3To色L5解析：選C隨機(jī)變量購可能取值為C。 3C。 3二 1）二總二.二 2）二總二花（§ 二3）二宣二打故選C.4 一只袋內(nèi)裝有川個(gè)白球，一加個(gè)照球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球?yàn)橹?，設(shè)此時(shí)取出了 X個(gè)白球，下列概率等于(n-ni)Al的是(B.P(X$2)D.P(X=2)A.P(X=3)C.P(XW3)(n - 772)Aw解析：選D依題意知z -3是取了 3次，所以取出白球應(yīng)為2個(gè)5.己知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查

13、，其中次品數(shù)為5己知P(f= 1)=蕓，且該產(chǎn)品的次品率不超過40%,則這10件產(chǎn)品的次品率為()A.10%B.20%C.30%D.40%CjCio-x x(10-x)16解析：選B設(shè)10件產(chǎn)品中有x件次品，則二1)二一現(xiàn)一二一輕一二厲x = 2或&2次品率不超過40% zx二2次品率為喬二20%.6.某射擊選手射擊環(huán)數(shù)的分布列為X78910P0303ab若射擊不小于9環(huán)為優(yōu)秀，其射擊一次的優(yōu)秀率為解析：由分布列的性質(zhì)得a +方二1 - 0.3 - 0.3二04 ,故射擊一次的優(yōu)秀率為40%. 答案：40%7已知隨機(jī)變量X的概率分別為p, P2, P3,且依次成等差數(shù)列，則公差的取值范

14、圍是解析：由分布列的性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì)得0 +刃+卩二3刃二1 ,刃二£ ,答案:&從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中女生人數(shù)不超過1人 的概率是解析：設(shè)所選女生人數(shù)為/則X服從超幾何分布,4其中 N二 6 z Af=2 t n = 3 tc9cl貝!J P(X 1) = P(X= 0) + P(X= 1)二応-+答案：I9為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加現(xiàn)有來自甲 協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名從這8 名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1) 設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子

15、選手，且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié) 會(huì)”，求事件J發(fā)生的概率；(2) 設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.解：由已知，得PJ)C1C3 + C3C3cl所以事件發(fā)生的概率為舊隨機(jī)變量X的所有可能取值為123,4 ,clci -k其中 P(X=k) = -(k= 1,234).P(X=2)P(X=4)所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234P1143737110. (2019長(zhǎng)春質(zhì)檢)長(zhǎng)春市的“名師云課”活動(dòng)自開展以來獲得廣大家長(zhǎng)和學(xué)生的高度 贊譽(yù)，在推出的第二季名師云課中，數(shù)學(xué)學(xué)科共計(jì)推出36節(jié)云課，為了更好地將課程內(nèi)容 呈現(xiàn)給學(xué)生，現(xiàn)對(duì)某一時(shí)段云課的點(diǎn)擊量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：點(diǎn)擊量0,1

16、 000(1 0003 ooo(3 000, +8)節(jié)數(shù)61812(1) 現(xiàn)從36節(jié)云課中采用分層抽樣的方式選出6節(jié),求選出的點(diǎn)擊量超過3 000的節(jié)數(shù)：(2) 為了更好地搭建云課平臺(tái)，現(xiàn)將云課進(jìn)行剪輯，若點(diǎn)擊量在區(qū)間0,1000內(nèi)，則需要 花費(fèi)40分鐘進(jìn)行剪輯，若點(diǎn)擊量在區(qū)間(1 000,3 000內(nèi)，則需要花費(fèi)20分鐘進(jìn)行剪輯，點(diǎn) 擊量超過3 000,則不需要剪輯，現(xiàn)從(1)中選岀的6節(jié)課中隨機(jī)取出2節(jié)課進(jìn)行剪輯，求剪 輯時(shí)間X的分布列.解:根據(jù)分層抽樣可知,選出的6節(jié)課中點(diǎn)擊量超過3 000的節(jié)數(shù)為女X 6二2.(2)由分層抽樣可知，中選出的6節(jié)課中點(diǎn)擊量在區(qū)間0000內(nèi)的有1節(jié),點(diǎn)擊量

17、在 區(qū)間(1 000,3 000內(nèi)的有3節(jié)，故X的可能取值為0,20,40,60.,、11、cjci 6 2C1 + C5 51尸240)二飛廠二乜二P(X 二 60)二 g 二言二£,則X的分布列為X02040601211P1553511. (201 &鄭州第一次質(zhì)妒預(yù)渕)為了減少霧霾，還城市一片藍(lán)天，某市政府于12月4 口甲乙7 51079 5 3115 7 8x 6123 54 2132 6 91144到12月31 口在主城區(qū)實(shí)行車輛限號(hào)出行政策，鼓勵(lì)民眾不開車低碳 出行-市政府為了 了解民眾低碳出行的情況，統(tǒng)計(jì)了該市甲、乙兩個(gè)單 位各200名員工12月5 口到12月1

18、4 口共10天的低碳出行的人數(shù)， 畫出莖葉圖如圖所示，(1) 若甲單位數(shù)據(jù)的平均數(shù)是122,求X；(2) 現(xiàn)從圖中的數(shù)據(jù)中任取4天的數(shù)據(jù)(甲、乙兩個(gè)單位中各取2天)，記抽取的4天中甲、乙兩個(gè)單位員工低碳出行的人數(shù)不低于130的天數(shù)分別為厲 3令 = $ +求“的 分布列.解:(1)由題意知為 105 + 107 + 113 + 115 + 119 + 126 + (120 + x) + 132 + 134 + 141 = 122 ,解得"8.(2)由題得&的所有可能取值為0,1,2 , <£的所有可能取值為0,1,2 ,因?yàn)椤岸? + $ ,所以 隨機(jī)變量&q

19、uot;的所有可能取值為0,1,2,3,4.因?yàn)榧讍挝坏吞汲鲂械娜藬?shù)不低于130的天數(shù)為3 ,乙單位低碳出行的人數(shù)不低于130 的天數(shù)為4 ,所以耐0)二|二£CCCi + CiCCl 91也二1)二頁比=225clcl + C7C4 + clclcicl 1也=2)=亍，ccjcj + cjcjci 22pg*扇二厲，P葉4)-也-2/-4)-c?oC，o-225.所以/的分布列為n01234p7459122513222252225B級(jí)1 .若 P(fWx2)=l0, P(X1)=1a,其中 X1<X2,則 P(xiW<fWx2)等于()A.(l-a)(l 一0)B.

20、1 +0)C.l a(l p)D.l 0(1 a)解析:選B顯然P(§> X2)二0 , P(< xi) = a.由概率分布列的性質(zhì)可知P(xi W <f%2)= 1 -P(<f>%2)-P(<X1)= 1 - a -屁2個(gè)人有”把鑰匙，其中只有一把可以打開房門，他隨意地進(jìn)行試開，若試開過的鑰匙放在一旁，試過的次數(shù)X為隨機(jī)變量，則P(X=k)等于()n解析：選B X二斛表示“第k次恰好打開，前k_次沒有打開”，"&二k)=n - 2n - (k - 1) iiXX XX二一n - 1 n - (k - 2) n - (Zr - 1) n3.盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒子中任取3個(gè)球來用，用完即為舊的，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X=4)的值為.解析：事件“X二4”表示取岀的3個(gè)球有1個(gè)新球，2個(gè)舊球，故P(X= 4)二等二僉-答案:272204.某班級(jí)50名學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)x分布在區(qū)間50,100)內(nèi)，設(shè)考試分?jǐn)?shù)x的分布頻率是金)0A9 10WxV10(+1), 77 = 5, 6, 7,考試成績(jī)采用“5分制”，規(guī)定： 一£+