第三章 晶格振動(dòng)

1、第三章第三章 晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)1.本章的主要內(nèi)容：本章的主要內(nèi)容：通過(guò)研究晶體中原子的熱運(yùn)動(dòng)，來(lái)研究晶體通過(guò)研究晶體中原子的熱運(yùn)動(dòng)，來(lái)研究晶體的熱力學(xué)性質(zhì)（熱學(xué)性質(zhì)）。的熱力學(xué)性質(zhì)（熱學(xué)性質(zhì)）。2.晶體中原子熱運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)晶體中原子熱運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn) 物體中分子原子的運(yùn)動(dòng)與分子原子之間的相互作用有關(guān)：物體中分子原子的運(yùn)動(dòng)與分子原子之間的相互作用有關(guān)： 氣體分子：相互作用小，無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)（布朗運(yùn)動(dòng)）。氣體分子：相互作用小，無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)（布朗運(yùn)動(dòng)）。 固體中原子運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：固體中原子運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：（1）原子間相互作用強(qiáng)，在理想情況下，不能脫離晶體格點(diǎn)平衡）原子間相互作用強(qiáng)，在理想

2、情況下，不能脫離晶體格點(diǎn)平衡位置，是在平衡位置附近的微小振動(dòng)。位置，是在平衡位置附近的微小振動(dòng)。（2）相互作用使得原子間的微振動(dòng)不是孤立的，而是相互關(guān)聯(lián)的。）相互作用使得原子間的微振動(dòng)不是孤立的，而是相互關(guān)聯(lián)的。（3）因晶格具有周期性，因而它們的振動(dòng)存在一定相位關(guān)系）因晶格具有周期性，因而它們的振動(dòng)存在一定相位關(guān)系 形成波動(dòng)形成波動(dòng)稱為格波。稱為格波。12事實(shí)上：事實(shí)上： 晶格動(dòng)力學(xué)的發(fā)展是在研究熱學(xué)性質(zhì)中建立起來(lái)的。晶格動(dòng)力晶格動(dòng)力學(xué)的發(fā)展是在研究熱學(xué)性質(zhì)中建立起來(lái)的。晶格動(dòng)力學(xué)的前身就是比熱理論。學(xué)的前身就是比熱理論。從固體比熱的發(fā)展階段看：從固體比熱的發(fā)展階段看： * 從從Einstei

3、n模型模型 ，Debye模型，模型，格波模型，最后形成晶格動(dòng)格波模型，最后形成晶格動(dòng)力學(xué)，并用來(lái)進(jìn)一步處理其它問(wèn)題。力學(xué)，并用來(lái)進(jìn)一步處理其它問(wèn)題。 * 關(guān)于固體比熱的研究，不單是解決固體比熱的問(wèn)題。而是具有更關(guān)于固體比熱的研究，不單是解決固體比熱的問(wèn)題。而是具有更重要的意義。重要的意義。 * 為使比熱理論值與實(shí)驗(yàn)值相符合，能對(duì)固體晶格運(yùn)動(dòng)方式有比較為使比熱理論值與實(shí)驗(yàn)值相符合，能對(duì)固體晶格運(yùn)動(dòng)方式有比較正確的認(rèn)識(shí)，提出一些模型，而這些認(rèn)識(shí)模型成為固體許多領(lǐng)域正確的認(rèn)識(shí)，提出一些模型，而這些認(rèn)識(shí)模型成為固體許多領(lǐng)域的重要基礎(chǔ)。的重要基礎(chǔ)。 比如：聲子的概念，元激發(fā)概念等。在固體物理學(xué)比如：聲子

4、的概念，元激發(fā)概念等。在固體物理學(xué)的其他領(lǐng)域有更廣泛的應(yīng)用。的其他領(lǐng)域有更廣泛的應(yīng)用。結(jié)論：結(jié)論：晶格振動(dòng)與固體的力、熱、聲、光、電、磁等各種性質(zhì)有著晶格振動(dòng)與固體的力、熱、聲、光、電、磁等各種性質(zhì)有著密切的關(guān)系。密切的關(guān)系。3元激發(fā) 固體物理學(xué)研究的問(wèn)題概括成兩個(gè)方面固體物理學(xué)研究的問(wèn)題概括成兩個(gè)方面: 基態(tài)問(wèn)題，如晶體的結(jié)構(gòu)、結(jié)合能、磁有序結(jié)構(gòu)、超導(dǎo)基態(tài)問(wèn)題，如晶體的結(jié)構(gòu)、結(jié)合能、磁有序結(jié)構(gòu)、超導(dǎo)態(tài)等；態(tài)等； 與系統(tǒng)的激發(fā)態(tài)有關(guān)的，如固體的熱學(xué)性質(zhì)和彈性取決與系統(tǒng)的激發(fā)態(tài)有關(guān)的，如固體的熱學(xué)性質(zhì)和彈性取決于原子偏離平衡位置的小振動(dòng)于原子偏離平衡位置的小振動(dòng); 金屬、半導(dǎo)體的導(dǎo)電行金屬、半導(dǎo)

5、體的導(dǎo)電行為取決于少量電子的激發(fā)等。為取決于少量電子的激發(fā)等。 元激發(fā)元激發(fā)的概念就是在研究固體物理中能量靠近基態(tài)的低的概念就是在研究固體物理中能量靠近基態(tài)的低激發(fā)態(tài)的過(guò)程中逐漸引入的。這種能量靠近基態(tài)的激發(fā)激發(fā)態(tài)的過(guò)程中逐漸引入的。這種能量靠近基態(tài)的激發(fā)態(tài)往往情況較為簡(jiǎn)單態(tài)往往情況較為簡(jiǎn)單, 可以可以看成是一些獨(dú)立的基本激發(fā)單看成是一些獨(dú)立的基本激發(fā)單元的集合元的集合。這些激發(fā)單元稱為元激發(fā)（。這些激發(fā)單元稱為元激發(fā)（elementary excitations）, 有時(shí)也稱為準(zhǔn)粒子（有時(shí)也稱為準(zhǔn)粒子（quasi-particles）4 元激發(fā)概念的引入，可元激發(fā)概念的引入，可 以使一個(gè)復(fù)雜

6、的多體系統(tǒng)簡(jiǎn)化成以使一個(gè)復(fù)雜的多體系統(tǒng)簡(jiǎn)化成接近于理想氣體的準(zhǔn)粒子系統(tǒng)，把在研究粒子物理過(guò)程接近于理想氣體的準(zhǔn)粒子系統(tǒng)，把在研究粒子物理過(guò)程中發(fā)展起來(lái)的場(chǎng)論方法，中發(fā)展起來(lái)的場(chǎng)論方法， 應(yīng)用到固體物理的多體系統(tǒng)。應(yīng)用到固體物理的多體系統(tǒng)。 元激發(fā)大體上分為兩類元激發(fā)大體上分為兩類:(1) 集體激發(fā)的準(zhǔn)粒子：集體激發(fā)的準(zhǔn)粒子：聲子（晶格振動(dòng)的格波）；聲子（晶格振動(dòng)的格波）；自旋波自旋波-磁振子（磁振子（magono）等離激元）等離激元(2) 單粒子激發(fā)的準(zhǔn)粒子單粒子激發(fā)的準(zhǔn)粒子如，超導(dǎo)基態(tài)中出現(xiàn)單激發(fā)準(zhǔn)粒子；如，超導(dǎo)基態(tài)中出現(xiàn)單激發(fā)準(zhǔn)粒子；半導(dǎo)體中的電子半導(dǎo)體中的電子-空穴對(duì)：激子空穴對(duì)：激子晶

7、格振動(dòng)晶格振動(dòng)晶格振動(dòng)的物理圖像晶格振動(dòng)的物理圖像 原子在平衡位置附近做微小的振動(dòng)，其瞬間位置原子在平衡位置附近做微小的振動(dòng)，其瞬間位置對(duì)平衡位置的偏離遠(yuǎn)小于離子間距。對(duì)平衡位置的偏離遠(yuǎn)小于離子間距?？紤]最簡(jiǎn)單的理想固體：一維單原子鏈考慮最簡(jiǎn)單的理想固體：一維單原子鏈53.1 一維單原子鏈一維單原子鏈一維單原子鏈一維單原子鏈（1）所有原子相同，質(zhì)量為）所有原子相同，質(zhì)量為m；（2）相鄰原子平衡位置間距相等，為）相鄰原子平衡位置間距相等，為a；（3）原子間的相互作用相同）原子間的相互作用相同 ，形式為，形式為U(r)，r為原子間距；為原子間距；6考慮原子在平衡位置附近振動(dòng)，偏離平衡位置的位移考慮

8、原子在平衡位置附近振動(dòng)，偏離平衡位置的位移m；（2）相鄰原子平衡位置的間距相等，為）相鄰原子平衡位置的間距相等，為a；（3）相鄰原子間的相互作用恢復(fù)力系數(shù)為）相鄰原子間的相互作用恢復(fù)力系數(shù)為；26分析第分析第2n個(gè)原子受力個(gè)原子受力受到第受到第2n+1個(gè)原子的作用力為個(gè)原子的作用力為 (2n+1- 2n) 受到第受到第2n-1個(gè)原子的作用力為個(gè)原子的作用力為 (2n-1-2n)第第n個(gè)原子受合力為個(gè)原子受合力為(2n+1+2n-1 -22n)可得到第可得到第2n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程類似得到第類似得到第2n+1個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程系統(tǒng)共有系統(tǒng)共有2N個(gè)原子，因此有個(gè)原子，

9、因此有2N個(gè)方程個(gè)方程nnnndtdm2121222221222221222nnnndtdM27方程具有形式解方程具有形式解由于由于Mm，不同質(zhì)量原子振動(dòng)振幅一般是不相等的；，不同質(zhì)量原子振動(dòng)振幅一般是不相等的；上述形式解代入運(yùn)動(dòng)方程可得到：上述形式解代入運(yùn)動(dòng)方程可得到：aqntiaqntiaqntiaqntiaqntiaqntiaqntiaqntiBeAeAeBedtdMAeBeBeAedtdm1222212222121222222aqntinaqntinBeAe121222282222222cos02cos202iaqiaqiaqiaqmAeeBAmAaq Baq AMBmBeeAB 若要

10、若要A，B有非零解，則要求系數(shù)行列式滿足：有非零解，則要求系數(shù)行列式滿足：2222222 cos02 cos2411sinMmMmaqMmMmmaqaqM291. 具有周期性，周期具有周期性，周期T=/a。頻率禁帶。頻率禁帶。 aqmMMmMmmMaqmMMmMmmM222222sin411sin411aq2aq2mMMm光學(xué)支光學(xué)支聲學(xué)支聲學(xué)支q取值范圍一般取第一布里淵區(qū)取值范圍一般取第一布里淵區(qū)周期性邊界條件周期性邊界條件因此因此 ，允許的波矢允許的波矢q數(shù)目為數(shù)目為N，等于原胞個(gè)數(shù)；，等于原胞個(gè)數(shù)；格波支數(shù)為格波支數(shù)為2，等于原胞內(nèi)自由度數(shù)；，等于原胞內(nèi)自由度數(shù)；每個(gè)波矢對(duì)應(yīng)兩個(gè)每個(gè)波矢

11、對(duì)應(yīng)兩個(gè)，因而總的振動(dòng)模式數(shù)目為，因而總的振動(dòng)模式數(shù)目為2N，正好，正好等于晶體中的自由度數(shù)。等于晶體中的自由度數(shù)。aqa2222NmN2. 波矢波矢q的取值的取值2222122i Naqi Naqnn NeeNaqmqmNa303. 長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限(a) 聲學(xué)支聲學(xué)支, 0qaqmMaqmMaqmMaqmMMmMmmMaqmMMmMmmM2sin2sin2sin421sin4112222221cos222aqmAB說(shuō)明原胞中兩原子振幅相同，振動(dòng)說(shuō)明原胞中兩原子振幅相同，振動(dòng)方向也相同，代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)方向也相同，代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)310, 0qMmaqmABcos222(b) 光學(xué)支光學(xué)

12、支, 0qmMMmMmmMaqmMMmMmmMaqmMMmMmmM,22sin4212sin411222222, 0q說(shuō)明相鄰原子振動(dòng)方向相反，代表說(shuō)明相鄰原子振動(dòng)方向相反，代表原胞質(zhì)心保持不變的振動(dòng)，也即原原胞質(zhì)心保持不變的振動(dòng)，也即原胞中原子之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)胞中原子之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)3233（1）對(duì)于離子晶體，可用光激發(fā)光學(xué)模，這時(shí)正負(fù)離子向）對(duì)于離子晶體，可用光激發(fā)光學(xué)模，這時(shí)正負(fù)離子向相反方向運(yùn)動(dòng)，在晶體中出現(xiàn)正負(fù)電荷的空間極化，因此相反方向運(yùn)動(dòng)，在晶體中出現(xiàn)正負(fù)電荷的空間極化，因此光學(xué)波又長(zhǎng)稱為極化波。光學(xué)波又長(zhǎng)稱為極化波。（2）光學(xué)波對(duì)晶體光學(xué)性質(zhì)的影響極大。對(duì)離子晶體，不）光學(xué)波對(duì)晶體

13、光學(xué)性質(zhì)的影響極大。對(duì)離子晶體，不同離子的相對(duì)振動(dòng)產(chǎn)生一定的電偶極矩，從而可以與電磁同離子的相對(duì)振動(dòng)產(chǎn)生一定的電偶極矩，從而可以與電磁波相互作用，電磁波只與相同波數(shù)的格波又強(qiáng)烈的相互作波相互作用，電磁波只與相同波數(shù)的格波又強(qiáng)烈的相互作用，頻率相同會(huì)發(fā)生共振。用，頻率相同會(huì)發(fā)生共振。 當(dāng)當(dāng) = +時(shí)，晶體對(duì)光有強(qiáng)烈吸收。因?yàn)檫@一特點(diǎn)，時(shí)，晶體對(duì)光有強(qiáng)烈吸收。因?yàn)檫@一特點(diǎn)， +就就稱為光學(xué)波（光頻支）。稱為光學(xué)波（光頻支）。長(zhǎng)聲學(xué)波和長(zhǎng)光學(xué)波344. 短波極限短波極限(a) 聲學(xué)支聲學(xué)支MMmMMmMmmMaqmMMmMmmM22411sin4112222Maq2,20cos222AaqmAB說(shuō)明

14、質(zhì)量為說(shuō)明質(zhì)量為m的原子不動(dòng)，的原子不動(dòng)，質(zhì)量為質(zhì)量為M的原子振動(dòng)的原子振動(dòng) aq235aq2aq2002cos22BMaqAB(b) 光學(xué)支光學(xué)支aq2maq2,2說(shuō)明質(zhì)量為說(shuō)明質(zhì)量為M的原子不動(dòng)，的原子不動(dòng)，質(zhì)量為質(zhì)量為m的原子振動(dòng)的原子振動(dòng)mmmMMmMmmMaqmMMmMmmM22411sin411222236aq2aq2色散關(guān)系對(duì)比373.3 三維晶格振動(dòng)考慮三維復(fù)式格子考慮三維復(fù)式格子晶體由晶體由N=N1N2N3個(gè)原胞構(gòu)成，一個(gè)原胞中有個(gè)原胞構(gòu)成，一個(gè)原胞中有n個(gè)原子個(gè)原子 n個(gè)原子質(zhì)量分別是個(gè)原子質(zhì)量分別是m1, m2, m3, ,mn 第第l個(gè)原胞位置個(gè)原胞位置 第第l個(gè)原胞中

15、各原子位置個(gè)原胞中各原子位置原胞中各原子偏離平衡位置原胞中各原子偏離平衡位置第第l個(gè)原胞中第個(gè)原胞中第k個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程其中其中 表示第表示第l個(gè)原胞中第個(gè)原胞中第k個(gè)原子在個(gè)原子在方向受力方向受力 332211alalallRnlRlRlRlR,3,2,1nllll,3,2,1klmklfk klfzyx,38總勢(shì)能展開(kāi)總勢(shì)能展開(kāi)(1) 為常數(shù)，表示晶體中所有原子處于平衡位置時(shí)的勢(shì)能為常數(shù)，表示晶體中所有原子處于平衡位置時(shí)的勢(shì)能(2) 所有原子處于平衡位置時(shí)所有原子處于平衡位置時(shí) 晶體總勢(shì)能一階導(dǎo)數(shù)為零晶體總勢(shì)能一階導(dǎo)數(shù)為零 (3) 力常數(shù)，表示第力常數(shù)，表示第l個(gè)原胞中第個(gè)

16、原胞中第k個(gè)原子在個(gè)原子在方向位移單位距離時(shí)，方向位移單位距離時(shí)，對(duì)第對(duì)第l個(gè)原胞中第個(gè)原胞中第k個(gè)原子的作用力在個(gè)原子的作用力在方向的分量方向的分量(4) 簡(jiǎn)諧近似下，忽略三次以及更高次項(xiàng)簡(jiǎn)諧近似下，忽略三次以及更高次項(xiàng) klklkkllklklklklkl,021000klklkkllklklkkll0239力常數(shù)，指第力常數(shù)，指第l個(gè)原胞中第個(gè)原胞中第k個(gè)原子在個(gè)原子在方向位移單位距方向位移單位距離時(shí)，對(duì)第離時(shí)，對(duì)第l個(gè)原胞中第個(gè)原胞中第k個(gè)原子的作用力在個(gè)原子的作用力在方向的分量方向的分量第第l個(gè)原胞中第個(gè)原胞中第k個(gè)原子的作用力在個(gè)原子的作用力在方向的分量方向的分量運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程

17、這樣的方程一共有這樣的方程一共有3n個(gè)個(gè)方程形式解方程形式解,klklkkllklklf,klkklkkllklfklm tqklRikeAkl40llllkkkk 方程形式解代回運(yùn)動(dòng)方程，得到關(guān)于方程形式解代回運(yùn)動(dòng)方程，得到關(guān)于A1x, A1y, A1z, , Anx, Any, Anz的的3n個(gè)線性齊次方程組個(gè)線性齊次方程組其中其中C為力常數(shù)為力常數(shù)的傅里葉展開(kāi)系數(shù)的傅里葉展開(kāi)系數(shù)根據(jù)系數(shù)行列式為零的條件，解得根據(jù)系數(shù)行列式為零的條件，解得3n個(gè)個(gè)j (j=1,2,3,3n)可以證明，其中可以證明，其中3個(gè)聲學(xué)波，個(gè)聲學(xué)波，3n-3個(gè)光學(xué)波個(gè)光學(xué)波,2,kkkkAkkqCAm41考慮考慮三

18、維晶格三維晶格的周期性邊界條件的周期性邊界條件可得到可得到q空間一個(gè)空間一個(gè)q點(diǎn)占據(jù)的空間體積點(diǎn)占據(jù)的空間體積333222111222111332211haNqhaNqhaNqeeeaNq iaNq iaNq i333222111333222111NbhNbhNbhbNhbNhbNhqNbbbNNNbbbNbNbNbV32132132133221142三維晶格振動(dòng)與一維的比較三維晶格振動(dòng)與一維的比較q范圍：倒格子原胞體積, q取值個(gè)數(shù)等于晶體原胞數(shù)，每個(gè)q對(duì)應(yīng)的等于晶體原胞自由度數(shù)， 晶體振動(dòng)模式數(shù)等于晶格的總自由度數(shù)原子,原胞數(shù),原胞體積一維單原子鏈一種原子,N個(gè)原胞, 體積a一維雙原子鏈兩

19、種原子,N個(gè)原胞,體積2a三維晶格n種原子,N個(gè)原胞，體積v0q取值區(qū)域，總范圍第一布里淵區(qū)倒格子原胞體積q取值個(gè)數(shù)值 N N Nq與關(guān)系格波支數(shù)原胞自由度數(shù)1個(gè)q對(duì)1個(gè)1（聲學(xué)支）11個(gè)q 對(duì) 2個(gè)2（聲、光各1）21個(gè)q對(duì)應(yīng)3n個(gè), 3個(gè)聲學(xué)支,3n-3光學(xué)支3n振動(dòng)模數(shù)N2N3nNaqa/ a/2 aqa2/2/ a/ hNaq 2 hNaq 333222111bNhbNhbNhq43Si三維格波的振動(dòng)譜三維格波的振動(dòng)譜 格波的色散關(guān)系，即格波的色散關(guān)系，即q 關(guān)系稱晶格的振動(dòng)譜?？梢酝ㄟ^(guò)關(guān)系稱晶格的振動(dòng)譜?？梢酝ㄟ^(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量（中子非彈性性散射），也可以理論計(jì)算。實(shí)驗(yàn)測(cè)量（中子非彈性性散射

20、），也可以理論計(jì)算。4445GaAs46考慮由考慮由N個(gè)原子組成的固體（晶體），原子質(zhì)量為個(gè)原子組成的固體（晶體），原子質(zhì)量為m第第n個(gè)原子偏離平衡位置的位移為個(gè)原子偏離平衡位置的位移為對(duì)于對(duì)于N個(gè)原子，將其偏離平衡位置的位移改記為個(gè)原子，將其偏離平衡位置的位移改記為N原子體系動(dòng)能原子體系動(dòng)能N原子體系勢(shì)能原子體系勢(shì)能 （簡(jiǎn)諧近似）（簡(jiǎn)諧近似）NiiimT31221znynxnn,Nii3 , 3 , 2 , 1NjijiijjiNjijiCUU31,31,0221213.4 簡(jiǎn)正坐標(biāo)47).()(21)(031,20310高次項(xiàng) jiNjijiiNiiuuuuVuuVVV系統(tǒng)哈密頓量系統(tǒng)哈密

21、頓量由于交叉項(xiàng)的存在，使得問(wèn)題的求解存在困難由于交叉項(xiàng)的存在，使得問(wèn)題的求解存在困難可以將坐標(biāo)變換成簡(jiǎn)正坐標(biāo)，消除交叉項(xiàng)可以將坐標(biāo)變換成簡(jiǎn)正坐標(biāo)，消除交叉項(xiàng)變換的形式變換的形式系統(tǒng)哈密頓量變?yōu)橄到y(tǒng)哈密頓量變?yōu)镹jijiijNiiiCmUTH31,3122121N,321NQQQQ,321NijijiiQam31NiiiiNiiiQQQQH31231212148拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)正則動(dòng)量正則動(dòng)量正則方程正則方程其中其中i=1,2,3,3N從而從而3N個(gè)個(gè)Qi相互無(wú)關(guān)，可以獨(dú)立求解相互無(wú)關(guān)，可以獨(dú)立求解說(shuō)明說(shuō)明Qi描述描述3N種互不耦合的簡(jiǎn)諧振動(dòng)種互不耦合的簡(jiǎn)諧振動(dòng)NiiiiNiiiQQQQ

22、UTL312312121NiiiiiiiiiQQPPHQQLP31221iiiiQHPPHQ02iiiQQ tiiiieAQ49. 簡(jiǎn)正坐標(biāo)代表所有原子的一種集體運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)正坐標(biāo)代表所有原子的一種集體運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)變換關(guān)系式坐標(biāo)變換關(guān)系式將運(yùn)動(dòng)方程解將運(yùn)動(dòng)方程解 代入，可得到代入，可得到因此，第因此，第i個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是3N種簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的疊加種簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的疊加NijijiiQam31tiiiieAQNitijijiijeAam31150注意：注意：（1）振子并不是組成固體的真實(shí)粒子，振子的振動(dòng)代表簡(jiǎn)正）振子并不是組成固體的真實(shí)粒子，振子的振動(dòng)代表簡(jiǎn)正坐標(biāo)的振動(dòng)，并不是真實(shí)粒子的振動(dòng)。

23、格波的振動(dòng)頻率坐標(biāo)的振動(dòng)，并不是真實(shí)粒子的振動(dòng)。格波的振動(dòng)頻率簡(jiǎn)正坐標(biāo)振動(dòng)的圓頻率。簡(jiǎn)正坐標(biāo)振動(dòng)的圓頻率。（2）簡(jiǎn)正變換的物理實(shí)質(zhì)可以作以下解釋：）簡(jiǎn)正變換的物理實(shí)質(zhì)可以作以下解釋： N個(gè)獨(dú)立粒子個(gè)獨(dú)立粒子3N個(gè)無(wú)相互作用的簡(jiǎn)諧振子。個(gè)無(wú)相互作用的簡(jiǎn)諧振子。 固體中每一個(gè)粒子受到其它固體中每一個(gè)粒子受到其它N-1個(gè)粒子的作用。當(dāng)作用力個(gè)粒子的作用。當(dāng)作用力近似為簡(jiǎn)諧力時(shí)，可將固體看成近似由近似為簡(jiǎn)諧力時(shí)，可將固體看成近似由3N個(gè)諧振子組成。個(gè)諧振子組成。條件：條件：（a）簡(jiǎn)諧力近似，若不是，則格波不獨(dú)立。）簡(jiǎn)諧力近似，若不是，則格波不獨(dú)立。（b）簡(jiǎn)正坐標(biāo)的振動(dòng)）簡(jiǎn)正坐標(biāo)的振動(dòng)集體運(yùn)動(dòng)的描述。集

24、體運(yùn)動(dòng)的描述。51考慮一維單原子鏈的情形（考慮一維單原子鏈的情形（N個(gè)質(zhì)量為個(gè)質(zhì)量為m的原子）的原子）波矢為波矢為q的格波引起第的格波引起第n個(gè)原子的位移個(gè)原子的位移第第n個(gè)原子的總位移個(gè)原子的總位移定義簡(jiǎn)正坐標(biāo)定義簡(jiǎn)正坐標(biāo)則可將將原子位移改寫(xiě)為則可將將原子位移改寫(xiě)為其逆變換其逆變換因此，因此，Qq和和n之間是傅里葉變換的關(guān)系，之間是傅里葉變換的關(guān)系， Qq表達(dá)的是表達(dá)的是N個(gè)個(gè)原子的集體振動(dòng)，是集體坐標(biāo)原子的集體振動(dòng)，是集體坐標(biāo)naqtiqnqqeAqnaqtiqnqeAtiqqqeANmQqinaqqneQNmqNninaqnqeNmQ152對(duì)比對(duì)比與坐標(biāo)變換關(guān)系式與坐標(biāo)變換關(guān)系式 可得到

25、變換系數(shù)可得到變換系數(shù)qinaqqneQNm1NijijiiQam31inaqijeNa13.5 聲子用量子力學(xué)處理晶格振動(dòng)，系統(tǒng)哈密頓量用量子力學(xué)處理晶格振動(dòng)，系統(tǒng)哈密頓量仍然存在仍然存在q和和-q的交叉項(xiàng)，通過(guò)線性變換引入新的算符，的交叉項(xiàng)，通過(guò)線性變換引入新的算符，可得到哈密頓量，其形式是無(wú)相互作用簡(jiǎn)諧振子之和，也可得到哈密頓量，其形式是無(wú)相互作用簡(jiǎn)諧振子之和，也就是說(shuō)原子之間相互耦合的晶格振動(dòng)，在簡(jiǎn)諧近似下約化就是說(shuō)原子之間相互耦合的晶格振動(dòng)，在簡(jiǎn)諧近似下約化為獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子系統(tǒng)為獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子系統(tǒng) （參考李正中（參考李正中固體理論固體理論2.4節(jié)）節(jié)）單個(gè)諧振子的能量單個(gè)諧振子的能量

26、晶格振動(dòng)總能量為晶格振動(dòng)總能量為 qqqqqQQqPPH221 qqqnE21QQq, 2 , 1 , 0qn21nE5354 聲子是晶格振動(dòng)的能量量子聲子是晶格振動(dòng)的能量量子 。 聲子具有能量 ，也具有準(zhǔn)動(dòng)量 ，它的行為類似 于電子或光子，具有粒子的性質(zhì)。但聲子與電子或光子是 有本質(zhì)區(qū)別的，聲子只是反映晶體原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激聲子只是反映晶體原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激 發(fā)單元，它不能脫離固體而單獨(dú)存在，它并不是一種真實(shí)發(fā)單元，它不能脫離固體而單獨(dú)存在，它并不是一種真實(shí) 的粒子。的粒子。我們將這種具有粒子性質(zhì)，但又不是真實(shí)物理實(shí) 體的概念稱為準(zhǔn)粒子。所以，聲子是一種準(zhǔn)粒子。聲子是一種準(zhǔn)粒子。 而光子

27、是一種真實(shí)粒子，它可以在真空中存在。 一種格波即一種振動(dòng)模式稱為一種聲子一種格波即一種振動(dòng)模式稱為一種聲子，對(duì)于由N個(gè)原胞 （每個(gè)原胞有n個(gè)原子）組成的三維晶體，有 3nN 種格波，即有 3nN種聲子。當(dāng)一種振動(dòng)模式處于其能量本征態(tài)時(shí)，稱這種振動(dòng)模有ni 個(gè)聲子。iiqi55 當(dāng)電子或光子與晶格振動(dòng)相互作用時(shí)，總是以 為單 元交換能量，若電子交給晶格 的能量，稱為發(fā)射 一 個(gè)聲子；若電子從晶格獲得 的能量，則稱為吸收一 個(gè)聲子。 聲子與聲子相互作用，或聲子與其他粒子（電子或光子） 相互作用時(shí)，聲子數(shù)目并不守恒。聲子可以產(chǎn)生，也可以 湮滅。其作用過(guò)程遵從能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒其作用過(guò)程遵從能量守恒

28、和準(zhǔn)動(dòng)量守恒。 因?yàn)榫w中有3nN個(gè)振動(dòng)模式，即有3nN種不同的聲子。因此，晶格振動(dòng)的總能量為：i3nNiii=112Enii56 引入聲子概念后，對(duì)于由強(qiáng)相互作用的原子的集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)晶格振動(dòng)的每一個(gè)格波，便可看作是由數(shù)目為 能量為 的理想聲子組成，而整個(gè)系統(tǒng)則是由眾多聲子組成的聲子氣體。引入聲子的概念不僅能生動(dòng)地反映出晶格振動(dòng)能引入聲子的概念不僅能生動(dòng)地反映出晶格振動(dòng)能量量子化的特點(diǎn)，而且在處理與晶格振動(dòng)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，可量量子化的特點(diǎn)，而且在處理與晶格振動(dòng)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，可以更加方便和形象。以更加方便和形象。 例如：處理晶格振動(dòng)對(duì)電子的散射時(shí)，便可以當(dāng)作電子與聲子的碰撞來(lái)處理。聲子的能量是 ，

29、動(dòng)量是 。 又例如：熱傳導(dǎo)可以看成是聲子的擴(kuò)散；熱阻是于聲子熱傳導(dǎo)可以看成是聲子的擴(kuò)散；熱阻是于聲子被散射等等。被散射等等。使許多復(fù)雜的物理問(wèn)題變得如此形象和便于處理是引入聲子概念的最大好處。 iniiq57 但它的動(dòng)量不是真實(shí)動(dòng)量，因?yàn)楫?dāng)波矢增加一個(gè)倒格矢量時(shí)，不會(huì)引起聲子頻率和原子位移的改變。( )()hqqG即從物理上看，他們是等價(jià)的，這是晶體結(jié)構(gòu)周期性的反映。但在處理聲子同聲子、聲子同其它粒子之間的相互作用時(shí)， 又具有一定的動(dòng)量性質(zhì)，所以叫做“準(zhǔn)動(dòng)量”。q58 聲子氣體不受 Pauli 不相容原理的限制，粒子數(shù)目不守恒，故屬于波色子系統(tǒng)，服從 Bose-Einstein 統(tǒng)計(jì)，當(dāng)系統(tǒng)處

30、于熱平衡狀態(tài)時(shí)，頻率為i 的格波的平均聲子數(shù)由波色統(tǒng)計(jì)給出：00/()/()iiBiiiBink Tinink Tnnene0002lnln(1.)1ln(1)1iiiiiin xinn xxxin xnnxxneddneeedxdxededxe 令：iBxk T211.1xxxeee5921iBiiik Te其平均能量：公式第一項(xiàng)是T=0K時(shí)的零點(diǎn)能。,iBiBk Tk T 11iBik Tne頻率為i的聲子的平均聲子數(shù)：ii12in或 得到：iiBBiiiiiiiexpk12expkinnnnTnT由黃昆簡(jiǎn)介黃昆簡(jiǎn)介 1945-1947年，在英國(guó)布列斯托（Bristol）大學(xué)物理系學(xué)習(xí)，獲

31、哲學(xué)博士學(xué)位；發(fā)表稀固溶體的X光漫散射論文，理論上預(yù)言“黃散射”。 1948-1951年，在英國(guó)利物浦大學(xué)期間建立了“黃方程”，提出了聲子極化激元的概念，并與李愛(ài)扶（A. Rhys）建立了多聲子躍遷理論。 1947-1952年，與玻恩合著晶格動(dòng)力學(xué)(Dynamical Theory of Crystal Lattices)一書(shū)。我國(guó)科學(xué)家黃昆在晶格振動(dòng)理論上做出了重要貢獻(xiàn) 黃昆對(duì)晶格動(dòng)力學(xué)和聲子物理學(xué)的發(fā)展做出了卓越的貢獻(xiàn)。他的名字與多聲子躍遷理論、X光漫散射理論、晶格振動(dòng)長(zhǎng)波唯象方程、二維體系光學(xué)聲子模聯(lián)系在一起。他是“極化激元”概念的最早闡述者 。60613.6 離子晶體的長(zhǎng)光學(xué)波離子晶體

32、的長(zhǎng)光學(xué)波光光學(xué)學(xué)波波聲聲學(xué)學(xué)波波 長(zhǎng)光學(xué)波，在半波長(zhǎng)范圍內(nèi)，正負(fù)離子各向相反的長(zhǎng)光學(xué)波，在半波長(zhǎng)范圍內(nèi)，正負(fù)離子各向相反的方向運(yùn)動(dòng)，電荷不再均勻分布，出現(xiàn)以波長(zhǎng)為周期的正方向運(yùn)動(dòng)，電荷不再均勻分布，出現(xiàn)以波長(zhǎng)為周期的正負(fù)電荷集中的區(qū)域。由于波長(zhǎng)很大，使晶體呈現(xiàn)出宏觀負(fù)電荷集中的區(qū)域。由于波長(zhǎng)很大，使晶體呈現(xiàn)出宏觀上的極化，因此上的極化，因此長(zhǎng)光學(xué)波又稱為極化波長(zhǎng)光學(xué)波又稱為極化波。由兩種不同離子組成的一維復(fù)式格子。由兩種不同離子組成的一維復(fù)式格子。1.1.黃昆方程黃昆方程PEE031 有效電場(chǎng)有效電場(chǎng)宏觀電場(chǎng)宏觀電場(chǎng)宏觀極化強(qiáng)度宏觀極化強(qiáng)度離子晶體的極化離子晶體的極化離子位移極化離子位移極化

33、 P電子位移極化電子位移極化eP 對(duì)于長(zhǎng)光學(xué)波，在相當(dāng)大的范圍內(nèi)，同種原子的位移對(duì)于長(zhǎng)光學(xué)波，在相當(dāng)大的范圍內(nèi)，同種原子的位移相同，所以離子位移極化強(qiáng)度為：相同，所以離子位移極化強(qiáng)度為： uueP1 對(duì)于立方晶格，洛倫茲提出了求解有效電場(chǎng)的方法，對(duì)于立方晶格，洛倫茲提出了求解有效電場(chǎng)的方法，由理論分析得到：由理論分析得到：e*為離子的有效電荷量為離子的有效電荷量62 一個(gè)原胞內(nèi)正負(fù)離子受到有效電場(chǎng)的作用，產(chǎn)生的一個(gè)原胞內(nèi)正負(fù)離子受到有效電場(chǎng)的作用，產(chǎn)生的電子位移極化強(qiáng)度為：電子位移極化強(qiáng)度為： EP 1e 其中其中 為原胞的體積，為原胞的體積， + + ， - - 分別為正負(fù)離子的電位移分別為

34、正負(fù)離子的電位移極化率，極化率， 則總的極化強(qiáng)度為：則總的極化強(qiáng)度為： EuuePPP 1e EueP 03111將將 代入，得：代入，得：PEE031 = + + + + - -63 122222122212122222dd2dd nnnnnnnnxxxtxmxxxtxM 1212222,;, nnnnxxuxxu代代替替以以代代替替以以 作用在離子上的除了準(zhǔn)彈性恢復(fù)力以外，還要考慮作用在離子上的除了準(zhǔn)彈性恢復(fù)力以外，還要考慮到有效電場(chǎng)的作用。到有效電場(chǎng)的作用。則正負(fù)離子的運(yùn)動(dòng)方程為：則正負(fù)離子的運(yùn)動(dòng)方程為： 22EeuuumEeuuuM 再看離子運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)一維復(fù)式格子的方程再看離子運(yùn)

35、動(dòng)方程，我們對(duì)一維復(fù)式格子的方程64 uuu令令)( 2)( 2bEeuumaEeuuM Eeuu *2 MmmM ,Eeue 0002313132 由上式由上式 得得:Mbma )()(6566 ,Eeue 0002313132 u 引進(jìn)引進(jìn)位移參量（折合質(zhì)量位移）位移參量（折合質(zhì)量位移）uW EueP 03111則有則有)2( )1( 22211211EbWbPEbWbW 黃昆方程黃昆方程 eb002113132 其中 ebb021211231 0223 b67 第一個(gè)方程是折合質(zhì)量位移的運(yùn)動(dòng)方程，第一項(xiàng)表示第一個(gè)方程是折合質(zhì)量位移的運(yùn)動(dòng)方程，第一項(xiàng)表示正負(fù)離子位移后的彈性恢復(fù)力，是短程力

36、，第二項(xiàng)是極化正負(fù)離子位移后的彈性恢復(fù)力，是短程力，第二項(xiàng)是極化引起的電場(chǎng)對(duì)離子的作用，概括了長(zhǎng)程作用。引起的電場(chǎng)對(duì)離子的作用，概括了長(zhǎng)程作用。 第二個(gè)方程表示由于長(zhǎng)光學(xué)波伴隨著離子晶體的極化，第二個(gè)方程表示由于長(zhǎng)光學(xué)波伴隨著離子晶體的極化，晶體出現(xiàn)宏觀極化強(qiáng)度晶體出現(xiàn)宏觀極化強(qiáng)度P，第一項(xiàng)表示正負(fù)離子相對(duì)位移產(chǎn)，第一項(xiàng)表示正負(fù)離子相對(duì)位移產(chǎn)生的極化，第二項(xiàng)表示考慮宏觀電場(chǎng)存在時(shí)附加的極化。生的極化，第二項(xiàng)表示考慮宏觀電場(chǎng)存在時(shí)附加的極化。)2( )1( 22211211EbWbPEbWbW 682 2. .LSTLST關(guān)系關(guān)系 宏觀方程得求解：長(zhǎng)光學(xué)波得橫波頻率宏觀方程得求解：長(zhǎng)光學(xué)波得橫波

37、頻率 TO 和縱波頻率和縱波頻率 LO 考慮帶電離子的晶格振動(dòng)時(shí)，必須考慮它們之間的電磁相互作考慮帶電離子的晶格振動(dòng)時(shí)，必須考慮它們之間的電磁相互作用，一般只限于它們之間的庫(kù)侖作用。對(duì)于長(zhǎng)光學(xué)波，可以用用，一般只限于它們之間的庫(kù)侖作用。對(duì)于長(zhǎng)光學(xué)波，可以用以上的唯象方法求解晶格振動(dòng)。在宏觀理論中，將靜電方程與以上的唯象方法求解晶格振動(dòng)。在宏觀理論中，將靜電方程與唯象方程的介電極化結(jié)合起來(lái)唯象方程的介電極化結(jié)合起來(lái), 就相當(dāng)于考慮了電荷之間的庫(kù)就相當(dāng)于考慮了電荷之間的庫(kù)侖作用。下面討論各向同性介質(zhì)中長(zhǎng)光學(xué)波橫波與縱波的振動(dòng)。侖作用。下面討論各向同性介質(zhì)中長(zhǎng)光學(xué)波橫波與縱波的振動(dòng)。 在長(zhǎng)波限在長(zhǎng)波

38、限,離子晶體可看作連續(xù)介質(zhì)離子晶體可看作連續(xù)介質(zhì), 振動(dòng)模分為橫波振動(dòng)模分為橫波T和縱波和縱波L: 橫波：橫波： 縱波：縱波： 顯然：顯然： 電場(chǎng)滿足靜電方程：電場(chǎng)滿足靜電方程：表示用T qW 表示用L /qWLTWWW 00 EPEDD 0 0 0 0 TLTLWWWW 縱縱無(wú)無(wú)旋旋橫橫無(wú)無(wú)散散69EbWbWLL 1211EbWbPL 2221EP 0 LWbbE 02212 LLWbbbW )(02221211 202221211LObbb 對(duì)黃方程取旋：對(duì)黃方程取旋：對(duì)方程（對(duì)方程（1）取散：）取散：對(duì)方程（對(duì)方程（2）取散：）取散： 又又 則：則： TTTrqtiTOTTWbdtWde

39、WWbWT20112)(11 112Tb W 則：)2( )1( 22211211EbWbPEbWbW 70 為把唯象方程系數(shù)為把唯象方程系數(shù)b12, b11, b22與晶體可測(cè)宏觀參量與晶體可測(cè)宏觀參量介電常數(shù)聯(lián)系起來(lái)，先從極端情況考慮。介電常數(shù)聯(lián)系起來(lái)，先從極端情況考慮。（1）靜電場(chǎng)）靜電場(chǎng) 正負(fù)離子的位移恒定，令正負(fù)離子的位移恒定，令 ，得：，得： 代代入（入（2）得：得： 靜電學(xué)中：靜電學(xué)中： 其中其中0為真空電容率，為真空電容率， (0)為靜態(tài)介電常數(shù)。則：為靜態(tài)介電常數(shù)。則：（2）很高頻電場(chǎng)情形下的介電極化）很高頻電場(chǎng)情形下的介電極化 如果電場(chǎng)的頻率遠(yuǎn)高于晶格振動(dòng)的頻率如果電場(chǎng)的頻

40、率遠(yuǎn)高于晶格振動(dòng)的頻率,則晶格跟不上電場(chǎng)則晶格跟不上電場(chǎng)的變化，的變化， 則：則： 其中其中 為高頻介電常數(shù)。得：為高頻介電常數(shù)。得：0 WEbP22 )( 0 W EbbW1112 EbbbEbWbP)(11212222212 EPE)(PED0001)0(0 )(1)0(11212220bbb 220 1)(b 111220)0()(bb 71）關(guān)系（稱TellerSachsLyddano LST TOLO2/1)()0( 從從LST關(guān)系可以得到一些重要結(jié)果：關(guān)系可以得到一些重要結(jié)果：（1） LO TO是電子極化和離子極化兩者的貢獻(xiàn)。是電子極化和離子極化兩者的貢獻(xiàn)。(0)是兩者的貢獻(xiàn)，是兩

41、者的貢獻(xiàn)，而高頻下離子的貢獻(xiàn)可以忽略，則而高頻下離子的貢獻(xiàn)可以忽略，則 所以所以: LO TO)()0( 物理機(jī)理：物理機(jī)理：a 縱向極化：正負(fù)離子晶格相對(duì)運(yùn)動(dòng)，縱向極化：正負(fù)離子晶格相對(duì)運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生極化電場(chǎng)，增大了晶格振動(dòng)的產(chǎn)生極化電場(chǎng)，增大了晶格振動(dòng)的恢復(fù)力，使恢復(fù)力，使LO增大。增大。b. 橫向極化：橫向極化： ,電場(chǎng)不增加恢復(fù)力，電場(chǎng)不增加恢復(fù)力， 所以：所以：LOTO.E- + - + - + - + - + - + - + - + - +- + - + - + E+ - + - + - + - + - + - +Eq 72 離子晶體長(zhǎng)光學(xué)波的極化對(duì)縱波和橫波的影響是不同的，離子晶體長(zhǎng)

42、光學(xué)波的極化對(duì)縱波和橫波的影響是不同的，縱波的極化場(chǎng)增大了原子位移的恢復(fù)力，從而提高了振動(dòng)頻縱波的極化場(chǎng)增大了原子位移的恢復(fù)力，從而提高了振動(dòng)頻率，而橫波的極化場(chǎng)對(duì)頻率基本沒(méi)有影響，率，而橫波的極化場(chǎng)對(duì)頻率基本沒(méi)有影響，所以離子晶體中，所以離子晶體中， 如如GaAsGaAs而在共價(jià)晶體中，沒(méi)有極化影響而在共價(jià)晶體中，沒(méi)有極化影響 如如金剛石金剛石LOTO(0)(0)LOTO(0)(0)73(2) 由于由于LO的增大是極化電場(chǎng)的作用的增大是極化電場(chǎng)的作用,電場(chǎng)的作用力與有效電電場(chǎng)的作用力與有效電荷荷q有關(guān)有關(guān), q越大越大,力越大力越大, LO與與TO的差別越大的差別越大,用（用（2LO-2TO

43、）可以估算有效電荷的量可以估算有效電荷的量。(3) 對(duì)某些介電晶體，溫度對(duì)某些介電晶體，溫度T , TO ,由于由于 LOTO ，在某些，在某些溫度，溫度， TO 0。由于：。由于：這表明晶體出現(xiàn)了自發(fā)極化，晶體變?yōu)檫@表明晶體出現(xiàn)了自發(fā)極化，晶體變?yōu)殍F電相鐵電相。解釋鐵電相的。解釋鐵電相的產(chǎn)生時(shí)，人們用了產(chǎn)生時(shí)，人們用了LST關(guān)系。關(guān)系。 因?yàn)椋阂驗(yàn)椋篢O 0，表示離子偏離自己的平衡位置后，不再受，表示離子偏離自己的平衡位置后，不再受到恢復(fù)力，于是晶格過(guò)度到新組態(tài)，發(fā)生了相變到恢復(fù)力，于是晶格過(guò)度到新組態(tài)，發(fā)生了相變稱稱軟模相軟模相變變。(軟彈簧軟彈簧) : TOLO )0()()0(2/1

44、則743 3. .極化激元（極化聲子）極化激元（極化聲子） 在離子晶體或極性半導(dǎo)體中，橫光學(xué)波具有電磁性。當(dāng)在離子晶體或極性半導(dǎo)體中，橫光學(xué)波具有電磁性。當(dāng)電磁波入射倒晶體表面時(shí)，電磁波與橫光學(xué)波發(fā)生耦合，這電磁波入射倒晶體表面時(shí)，電磁波與橫光學(xué)波發(fā)生耦合，這種耦合的量子稱為極化激元。它的色散關(guān)系不同于光（電磁種耦合的量子稱為極化激元。它的色散關(guān)系不同于光（電磁場(chǎng)），也不同于格波。但電磁波可以于各種電磁性的元激發(fā)場(chǎng)），也不同于格波。但電磁波可以于各種電磁性的元激發(fā)相互作用：類等離子體極化激元，類激子極化激元，類聲子相互作用：類等離子體極化激元，類激子極化激元，類聲子極化激元，類表面聲子極化激元

45、等。極化激元，類表面聲子極化激元等。 上面討論了離子晶體的晶格振動(dòng)引起介質(zhì)的極化，格波上面討論了離子晶體的晶格振動(dòng)引起介質(zhì)的極化，格波是介質(zhì)里的極化波，當(dāng)光照射晶體時(shí)，光波的橫向電場(chǎng)必然是介質(zhì)里的極化波，當(dāng)光照射晶體時(shí)，光波的橫向電場(chǎng)必然與橫光學(xué)波的格波耦合。正如同在通常力學(xué)中振動(dòng)一樣，兩與橫光學(xué)波的格波耦合。正如同在通常力學(xué)中振動(dòng)一樣，兩個(gè)相互耦合振子的振動(dòng)狀態(tài)與單個(gè)振子的不一樣，耦合波的個(gè)相互耦合振子的振動(dòng)狀態(tài)與單個(gè)振子的不一樣，耦合波的性質(zhì)也與原來(lái)波的不一樣。性質(zhì)也與原來(lái)波的不一樣。75 上面討論中認(rèn)為上面討論中認(rèn)為, 電場(chǎng)只是庫(kù)侖作用引起的電場(chǎng)只是庫(kù)侖作用引起的, 限定限定 (電場(chǎng)無(wú)旋

46、電場(chǎng)無(wú)旋)，實(shí)際離子晶體長(zhǎng)波還必然伴隨著交變電磁場(chǎng)，特別，實(shí)際離子晶體長(zhǎng)波還必然伴隨著交變電磁場(chǎng)，特別是橫波。嚴(yán)格的理論，應(yīng)用麥克斯韋方程代替前面的靜電方程。是橫波。嚴(yán)格的理論，應(yīng)用麥克斯韋方程代替前面的靜電方程。 用耦合波的概念來(lái)考察晶體中格波與光波作用是用耦合波的概念來(lái)考察晶體中格波與光波作用是1951年黃先年黃先生首先提出的概念。后來(lái)證明不僅格波，離子振蕩，激子，自旋生首先提出的概念。后來(lái)證明不僅格波，離子振蕩，激子，自旋波波等都有類似的現(xiàn)象，通稱極化激元。等都有類似的現(xiàn)象，通稱極化激元。 把電磁方程和晶格的唯象方程結(jié)合以后，實(shí)際研究的對(duì)象成為把電磁方程和晶格的唯象方程結(jié)合以后，實(shí)際研究

47、的對(duì)象成為晶格的長(zhǎng)光學(xué)波振動(dòng)和電磁場(chǎng)的耦合系統(tǒng)，通過(guò)求解得到的振動(dòng)模晶格的長(zhǎng)光學(xué)波振動(dòng)和電磁場(chǎng)的耦合系統(tǒng)，通過(guò)求解得到的振動(dòng)模實(shí)際上代表了格波與光波的耦合振動(dòng)模。實(shí)際上代表了格波與光波的耦合振動(dòng)模。 可以寫(xiě)出光波的麥克斯韋方程組和晶格的唯象方程：可以寫(xiě)出光波的麥克斯韋方程組和晶格的唯象方程： 解的形式：解的形式：0 EtHE 0 )PE(tH 0 0 0 HD EbWbP EbWbW 22211211 )t rq( i)t rq( i)t rq( i)t rq( ieWWePPeHHeEE 000076 將解代入方程：將解代入方程： 將將 代入得：代入得： 分兩種情況：分兩種情況：（1）縱波）

48、縱波 得得 得到得到000HEq )PE(Hq0000 0000 )PE(q 00 Hq EbWbP EbWbW 022021001201102 EbbbP0222112120 0P02112122200 )bbb(Eq 0 Eq 02202102112201110)(b)()(bb /0211212220 bbb)()(TOLO 02277（2）橫波）橫波 由由 得：得： 相互垂直相互垂直 則：則： 由由 得：得： 聯(lián)立得：聯(lián)立得： 利用利用 ，并代入，并代入b11，b12，b22得：得：Eq ,Eq 0 000000000Hq)PE(qHEq00H,E,q0H0Eq000HqE )PE(H

49、q0000 02112122200000E)bbb()PE(qH )bbb(q21121222002 0021 c/002202222204 qcqc)()()(qc)qc)()qc)()( 220222220222024002178這樣就得到關(guān)于極化激元得兩支解，從中可以得到兩支色散關(guān)系。這樣就得到關(guān)于極化激元得兩支解，從中可以得到兩支色散關(guān)系。（1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)時(shí) 這時(shí)對(duì)根號(hào)項(xiàng)近似得：這時(shí)對(duì)根號(hào)項(xiàng)近似得： 近似為低頻電磁波。近似為低頻電磁波。（2）當(dāng)）當(dāng)q很大時(shí)，很大時(shí)，0q0 ,LO 00222 cq ,qcq)(qc)qc)()qc)()( 2202222202220240021 202

50、20 qcTO,)(cq 79 顯然，這兩支色散曲線不同于光子的色散曲線，也不同于晶顯然，這兩支色散曲線不同于光子的色散曲線，也不同于晶格橫光學(xué)波得色散曲線，主要有以下特點(diǎn)：格橫光學(xué)波得色散曲線，主要有以下特點(diǎn)：(a) ，而兩支解在，而兩支解在之間存在一禁區(qū)，不存在這個(gè)頻率之間的解，這種頻段的光之間存在一禁區(qū)，不存在這個(gè)頻率之間的解，這種頻段的光在晶體中不能傳播。在此隙中波矢是純虛量，電磁波按指數(shù)在晶體中不能傳播。在此隙中波矢是純虛量，電磁波按指數(shù)規(guī)律衰減。規(guī)律衰減。TOLO , 0TOLO 80（b）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 的一支就是介質(zhì)中速度為的一支就是介質(zhì)中速度為 的電磁的電磁波波(光波光波)

51、，這個(gè)頻率低于晶體振動(dòng)頻率，而，這個(gè)頻率低于晶體振動(dòng)頻率，而 的解就趨于的解就趨于頻率為的頻率為的LO聲子，頻率就是縱光學(xué)波的頻率。這時(shí)光聲聲子，頻率就是縱光學(xué)波的頻率。這時(shí)光聲耦合弱，耦合弱， 是純光模，是純聲模。是純光模，是純聲模。 (c) q很大時(shí)，很大時(shí)， 為無(wú)耦合的純晶格振動(dòng)模，而為無(wú)耦合的純晶格振動(dòng)模，而 為速度為為速度為 的電磁波。的電磁波。 是純聲模，是純光模。是純聲模，是純光模。0q 0 c)(c L 81（d）在）在q的中間區(qū)域，光的中間區(qū)域，光聲耦合強(qiáng)，這是既不是光子，也不聲耦合強(qiáng)，這是既不是光子，也不是聲子，而是光是聲子，而是光聲耦合振動(dòng)模。這種情況與彈簧連起來(lái)的聲耦合

52、振動(dòng)模。這種情況與彈簧連起來(lái)的兩個(gè)諧振子系統(tǒng)很相似。雖然兩個(gè)振子在無(wú)耦合時(shí)各有自己兩個(gè)諧振子系統(tǒng)很相似。雖然兩個(gè)振子在無(wú)耦合時(shí)各有自己的頻率的頻率 ，但當(dāng)彈簧耦合后，它們不再獨(dú)立振動(dòng)，共，但當(dāng)彈簧耦合后，它們不再獨(dú)立振動(dòng)，共同頻率既不是同頻率既不是 又不是而是兩者的耦合頻率。又不是而是兩者的耦合頻率。21 ,12,固體的定容熱容定義固體的定容熱容定義 其中其中E為晶體能量為晶體能量根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理中的能量均分定理，每個(gè)簡(jiǎn)諧根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理中的能量均分定理，每個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)（每個(gè)自由度）的能量是振動(dòng)（每個(gè)自由度）的能量是kBT ）固體由固體由N個(gè)原子組成，總能量個(gè)原子組成，總能量固體熱容固體熱容為與

53、溫度和材料性質(zhì)無(wú)關(guān)的常數(shù)為與溫度和材料性質(zhì)無(wú)關(guān)的常數(shù)(Dulong-Petit law)VVTECTNkEB3BVVNkTEC33.6 晶格比熱晶格比熱一、固體熱容的經(jīng)典理論一、固體熱容的經(jīng)典理論82實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果表明，固體的熱容隨溫度變化規(guī)律固體的熱容隨溫度變化規(guī)律（1）高溫下趨于常數(shù)）高溫下趨于常數(shù)（2）隨溫度下降急劇下降）隨溫度下降急劇下降（3）低溫下趨于零）低溫下趨于零根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果總結(jié)經(jīng)驗(yàn)公式根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果總結(jié)經(jīng)驗(yàn)公式第一項(xiàng)為電子貢獻(xiàn)，在極低溫下顯著；第一項(xiàng)為電子貢獻(xiàn)，在極低溫下顯著；(1)第二項(xiàng)為晶格貢獻(xiàn)，在更高溫度時(shí)占主導(dǎo)地位第二項(xiàng)為晶格貢獻(xiàn)，在更高溫度時(shí)占主導(dǎo)地位3

54、ATTCV83二、固體熱容的量子理論二、固體熱容的量子理論晶格振動(dòng)的能量晶格振動(dòng)的能量其中其中 是是q的函數(shù)，由色散關(guān)系決定。的函數(shù)，由色散關(guān)系決定。解釋：解釋：(1)當(dāng)晶格處于當(dāng)晶格處于 對(duì)應(yīng)的狀態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)的狀態(tài)時(shí)， 系統(tǒng)中有系統(tǒng)中有 個(gè)個(gè) 聲子；或者聲子；或者 系統(tǒng)中有系統(tǒng)中有 個(gè)聲子在振動(dòng)模式個(gè)聲子在振動(dòng)模式 上上 ；(2)晶格中的聲子總數(shù)晶格中的聲子總數(shù)NiiinE3121NiiinE3121iniNiiphononnN31聲子的總數(shù)及其在各個(gè)振動(dòng)模式上的分布與溫度聲子的總數(shù)及其在各個(gè)振動(dòng)模式上的分布與溫度T相關(guān)相關(guān) qiiiniiq,84聲子是玻色子聲子是玻色子(boson)，遵從玻

55、色統(tǒng)計(jì)。，遵從玻色統(tǒng)計(jì)。溫度溫度T時(shí)，振動(dòng)模式時(shí)，振動(dòng)模式 上的平均聲子數(shù)上的平均聲子數(shù)解釋：解釋：(1)對(duì)任意振動(dòng)模式，溫度對(duì)任意振動(dòng)模式，溫度T=0 K時(shí)，聲子數(shù)為零（基態(tài)）。時(shí)，聲子數(shù)為零（基態(tài)）。(2)振動(dòng)模式一定時(shí)，溫度越高，該振動(dòng)模式的聲子數(shù)越多。振動(dòng)模式一定時(shí)，溫度越高，該振動(dòng)模式的聲子數(shù)越多。(3)溫度很高時(shí)，溫度很高時(shí)， ， 為小量，為小量， 聲子數(shù)與溫度成正比。聲子數(shù)與溫度成正比。(4)溫度溫度T一定時(shí)，聲子能量越大，聲子數(shù)越少，低頻聲子數(shù)一定時(shí)，聲子能量越大，聲子數(shù)越少，低頻聲子數(shù)大于高頻聲子數(shù)。大于高頻聲子數(shù)。11TkjBjenjBTkjjq,TkBjjBjBjTkTk

56、nTkeBj185振動(dòng)模式振動(dòng)模式 子系統(tǒng)的總能量子系統(tǒng)的總能量晶格振動(dòng)總能量晶格振動(dòng)總能量jTkjjjBjenE211121jjq,jjTkjjjjjBjenEE21112186考慮振動(dòng)模式考慮振動(dòng)模式 子系統(tǒng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn)子系統(tǒng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn)解釋：解釋：(1)低溫極限，低溫極限，T趨于趨于0， 說(shuō)明溫度趨近于零的時(shí)候，比熱也趨于零，與實(shí)驗(yàn)定性符合說(shuō)明溫度趨近于零的時(shí)候，比熱也趨于零，與實(shí)驗(yàn)定性符合jjq,jBTk01222TkBjBTkTkBjBjVBjBjBjeTkkeeTkkC 221jBjBk TjjjVBk TBVEeCkTk Te 解釋：解釋：(2)高溫極限，高溫極限， ， 為小量；

57、為小量； 說(shuō)明溫度非常高的時(shí)候，比熱為常數(shù)，與實(shí)驗(yàn)定性符合說(shuō)明溫度非常高的時(shí)候，比熱為常數(shù)，與實(shí)驗(yàn)定性符合所有振動(dòng)模式子系統(tǒng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn)所有振動(dòng)模式子系統(tǒng)對(duì)熱容的貢獻(xiàn)jBTkBBjBjBjBjBjBjVkTkTkTkTkTkkC222221211TkBjjTkTkBjBjjVjVjVVBjBjeeTkkCTETEC221wj的具體形式與系統(tǒng)相關(guān)的具體形式與系統(tǒng)相關(guān)87 221jBjBk TjjjVBk TBVEeCkTk Te 三、愛(ài)因斯坦模型三、愛(ài)因斯坦模型愛(ài)因斯坦假設(shè)固體中所有原子以相同頻率振動(dòng)，即只存在一愛(ài)因斯坦假設(shè)固體中所有原子以相同頻率振動(dòng)，即只存在一個(gè)振動(dòng)模式，或者說(shuō)所有振動(dòng)模式貢

58、獻(xiàn)相同。個(gè)振動(dòng)模式，或者說(shuō)所有振動(dòng)模式貢獻(xiàn)相同。晶格振動(dòng)能量晶格振動(dòng)能量晶格比熱晶格比熱定義愛(ài)因斯坦熱容函數(shù)，定義愛(ài)因斯坦熱容函數(shù)， 令令則晶格比熱可表示為則晶格比熱可表示為220013300TkTkBBjVjVVBBeeTkNkNCCC002111330TkjjBeNNEEE 221xxBeexxfTkxB0TkfNkCBBBV0388定義愛(ài)因斯坦溫度定義愛(ài)因斯坦溫度 ，滿足，滿足則晶格比熱可表示為則晶格比熱可表示為說(shuō)明：可以選適當(dāng)?shù)恼f(shuō)明：可以選適當(dāng)?shù)?以使理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)符合以使理論計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)符合解釋：解釋：(1)當(dāng)溫度很高時(shí)，當(dāng)溫度很高時(shí)， ， 為小量；為小量；與與Dulong-P

59、etit law 一致一致 2213TTEBVEEeeTNkCEBk0EEETTEBEEBTTEBVNkTTNkeeTNkCEE331322222289解釋：解釋：(2)當(dāng)溫度很低時(shí)，當(dāng)溫度很低時(shí)， ， 定性符合實(shí)驗(yàn)，熱容隨溫度下降按指數(shù)趨于零；但實(shí)驗(yàn)給定性符合實(shí)驗(yàn)，熱容隨溫度下降按指數(shù)趨于零；但實(shí)驗(yàn)給出的經(jīng)驗(yàn)公式按出的經(jīng)驗(yàn)公式按 趨于零，因此有一定偏差。原因在于？趨于零，因此有一定偏差。原因在于？從愛(ài)因斯坦溫度定義從愛(ài)因斯坦溫度定義 可以得到可以得到對(duì)應(yīng)晶格振動(dòng)光波頻率范圍。因此愛(ài)因斯坦模型相當(dāng)于把對(duì)應(yīng)晶格振動(dòng)光波頻率范圍。因此愛(ài)因斯坦模型相當(dāng)于把所有格波都視為頻率較高的光學(xué)波；而在低溫時(shí)，

60、聲學(xué)波所有格波都視為頻率較高的光學(xué)波；而在低溫時(shí)，聲學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn)更為顯著；這是造成在低溫時(shí)愛(ài)因斯坦模型對(duì)熱容的貢獻(xiàn)更為顯著；這是造成在低溫時(shí)愛(ài)因斯坦模型理論與實(shí)驗(yàn)的偏差。理論與實(shí)驗(yàn)的偏差。TE1TEe0313222TEBTTEBVEEEeTNkeeTNkC3TEBEkHzE131090四、晶格振動(dòng)模式密度四、晶格振動(dòng)模式密度晶格熱容晶格熱容對(duì)對(duì)j的求和實(shí)際上是對(duì)所有振動(dòng)模式的求和的求和實(shí)際上是對(duì)所有振動(dòng)模式的求和討論討論q空間的波矢密度（振動(dòng)模式密度）空間的波矢密度（振動(dòng)模式密度）(1)考慮一維單原子鏈，考慮一維單原子鏈，N個(gè)原子，原子間距為個(gè)原子，原子間距為a； 波矢波矢 ，h為整數(shù)；為