自己整理圓錐曲線常考題型總結(jié)——配有大題和練習(xí)

1、（自己整理）圓錐曲線?？碱}型 總結(jié)一一配有大題和練習(xí)圓錐曲線大綜合第一部分圓錐曲線?？碱}型和熱點(diǎn)問題一.常考題型題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置 關(guān)系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動(dòng)弦過定點(diǎn)問題題型四：過已知曲線上定點(diǎn)的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值的問題題型八：角度問題題型九：四點(diǎn)共線問題題型十：范圍為題（本質(zhì)是函數(shù)問題）題型一：存在性問題（存在點(diǎn)，存在直線y kx m，存在實(shí)數(shù)，三角形（等邊、等腰、直角）， 四邊形（矩形，菱形、正方形），圓）二熱點(diǎn)問題1. 定義與軌跡方程問題2. 交點(diǎn)與中點(diǎn)弦問題3. 弦長(zhǎng)及面積問題4. 對(duì)稱問題5. 范圍問

2、題6. 存在性問題7. 最值問題8.定值，定點(diǎn)，定直線問題第二部分知識(shí)儲(chǔ)備與一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）相關(guān)的知識(shí)（三個(gè)“二次”問題）1. 判別式：b2 4acc 0(a 0)有兩2. 韋達(dá)定理：若一兀二次方程ax2 bx個(gè)不等的實(shí)數(shù)根XK，則XbX2a，cX-I x2a3.求根公式：若一元二次方程ax2 bx b . b2 4ac2ac 0(a 0)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根Xi,X2，則X,2二與直線相關(guān)的知識(shí)1. 直線方程的五種形式：點(diǎn)斜式，斜截式，截距 式，兩點(diǎn)式，一般式2. 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容：傾斜角與斜率：y tan ，0,）；點(diǎn)到直線的距離公式：d .AxoByoC（一般

3、式）或 d .3.弦長(zhǎng)公式：直線y kx b上兩點(diǎn)A（,y1）,B（x2,y2）間的距離：離：kxoy b（斜截式）4. 兩直線li: yi詠k?X2 b2的位置關(guān)系： l, l2 k k2 1 h/l2 k, k2且b, b25. 中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)A(x1,y1),B(X2,y2)，若點(diǎn)M x,y線段AB的中點(diǎn)，貝V xx1x12三圓錐曲線的重要知識(shí)考綱要求：對(duì)它們的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程 及簡(jiǎn)單性質(zhì)，文理要求有所不同。文科：掌握橢圓，了解雙曲線；理科：掌握橢圓 及拋物線，了解雙曲線1. 圓錐曲線的定義及幾何圖形：橢圓、雙曲線及 拋物線的定義及幾何性質(zhì)。2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓

4、的標(biāo)準(zhǔn)方程 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程3. 圓錐曲線的基本性質(zhì)：特別是離心率，參數(shù)a,b,c 三者的關(guān)系，P的幾何意義等24. 圓錐曲線的其他知識(shí)：通徑：橢圓空，雙a2曲線空，拋物線2pa焦點(diǎn)三角形的面積:p在橢圓上時(shí)S祁b tan-p在雙曲線上時(shí)2S/F1PF2 b /tan2四常結(jié)合其他知識(shí)進(jìn)行綜合考查1. 圓的相關(guān)知識(shí)：兩種方程，特別是直線與圓， 兩圓的位置關(guān)系2. 導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)：求導(dǎo)公式及運(yùn)算法則，特 別是與切線方程相關(guān)的知識(shí)3. 向量的相關(guān)知識(shí)：向量的數(shù)量積的定義及坐 標(biāo)運(yùn)算，兩向量的平行與垂直的判斷條件等4. 三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)：各類公式及圖像與性 質(zhì)5. 不等式的相關(guān)知

5、識(shí)：不等式的基本性質(zhì)，不 等式的證明方法，均值定理等五.不同類型的大題(1) 圓錐曲線與圓例1.(本小題共14分)2 2已知雙曲線cA當(dāng)1(a 0,b 0)的離心率為43，右 a b準(zhǔn)線方程為x普(I)求雙曲線C的方程；(2 )設(shè)直線I是圓O: x2 y2 2上動(dòng)點(diǎn) P(xo,yo)(xoyo 0)處的切線，I與雙曲線C交于不同 的兩點(diǎn)A,B，證明AOB的大小為定值【解法1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程 的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、 運(yùn)算能力.a2逅(I)由題意，得C 3，解得a 1,c V3 ,-反ab2 c2 a2 2，二所求雙曲線C的

6、方程為x2 £ 1.(U)點(diǎn) P Xo,y Xoyo 0 在圓 x2 y2 2 上, 圓在點(diǎn)P xo,yo處的切線方程為 y yo jXo x xo ,yo化簡(jiǎn)得XoX yoy 2 .2由X2專1及x2 y2 2得XoX yoy 22 2 23xo 4 x 4xox 8 2xo O ,切線1與雙曲線c交于不 同的兩點(diǎn)A、B,且O xf 2,3xo 4 O,二亠2 2 216xo 4 3xo 4 8 2xo O ,設(shè)A B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Xi,yi , X2,y2,則 Xi X24xo3X2 * * * 4，XiX28 2x23X24，uuu uuuOA OB COS AOB UUU|

7、 |UULT ,OA OBuuu uuu1XoX2OA OB X|X2 y1y2 XjX22 2 xox-i 2yoXiX2 212Xo2xo Xi8 2x23x 48 2x：3xo 4AOB的大小為1.Xoyo o 在圓 x22 x：8 2x：3xo 490 .3X22XoX1X2xo 8 2xo3xo 4【解法2】(I)同解法(D)點(diǎn) P xo,yo在點(diǎn)P xo,yo處的切線方程為y yo2上，圓西 x Xo ,yo 728yox 8 2xo切線1與雙曲線c交于不同的兩點(diǎn)A、B,且oxo 2 ,二3x： 4 0，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)2 2則住步，yy 2x° 8分別為X2 , X2

8、,y2 ,3x2 4'小2 3x2 4，小為90 .(3x0 4UUAOUB軌加2 0，二AOB的大x2 y2 2 且 xoyo 0 ,二 0 x： 2,0 y2 2，從而當(dāng) 0時(shí)，方程和方程的判別式均大于零)、, 、 - 2 2 練習(xí)1:已知點(diǎn)A是橢圓。冷$ 1t 0的左頂點(diǎn)，直線x my 1(m R)與橢圓C相交于E, F兩點(diǎn)，與x軸相 交于點(diǎn)B.且當(dāng)m 0時(shí)， AEF的面積為弓.3(I)求橢圓C的方程；(U)設(shè)直線AE , AF與直線x 3分別交于M , N兩點(diǎn)，試判斷以MN為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn) B ?并請(qǐng)說明理由.(2) 圓錐曲線與圖形形狀問題2例2.1已知A, B, C是橢圓

9、W:專+ y2= 1上的三 個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形 OABC 為菱形時(shí)，求此菱形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形 OABC是否可能為菱形，并說明理由.解：橢圓W手+ y2= 1的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為 (2,0)因?yàn)樗倪呅蜲AB(為菱形，所以AC與 OB相 互垂直平分.所以可設(shè)A(i, m，代入橢圓方程得4 + m 1 ,即卩m=逅.2所以菱形 OABC的面積是* | OB丨AC = 1 X 2X 2| m =屁(2)假設(shè)四邊形OAB(為菱形.因?yàn)辄c(diǎn)B不是 W勺頂點(diǎn)，且直線AC不過原點(diǎn)， 所以可設(shè)AC的方程為y= kx + m(k半0, m0).22由

10、x J4,消 y 并整理得(1 + 4k2)x2 + 8kmx4 2x2 4y2 y kx m+ 4m4=o.設(shè) A(xi, yi), qx2, y2),則 Xi X24kmyi y? k 人 x、21 4k2 ，22所以AC的中點(diǎn)為M晉,i 4k1 4k 1 4k因?yàn)镸為AC和 OB的交點(diǎn)，所以直線 OB的 斜率為丄.4k因?yàn)閗丄工一1,所以AC與 OB不垂直.4km m1 4km2 所以O(shè)AB(不是菱形，與假設(shè)矛盾.所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC 不可能是菱形.、-22、,練習(xí)1:已知橢圓c篤召1(a b 0)過點(diǎn)(.2 , 1)，且以 a b橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的

11、三角形是等腰直角三角形(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(H )設(shè)M (x,y)是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，P (p,o)是X軸上的 定點(diǎn)，求MP|的最小值及取最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)(3) 圓錐曲線與直線問題例3.1已知橢圓C :x2 2y2 4 ,(1) 求橢圓C的離心率(2) 設(shè)0為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線 y 2上，且OA 0B ,求直線AB與圓x2 y2 2的位置關(guān) 系，并證明你的結(jié)論.2 2解析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：7 2 1，a 2，b .2則c 2，離心率e彳呂;直線ab與圓x2 y2 2相切.證明如下： 法一：設(shè)點(diǎn)A B的坐標(biāo)分別為X。y。t 2，其中& 0. 因?yàn)镺A丄OB，所以0U

12、A0，即tx。2yo 0，解得t紐.7x)當(dāng)xo t時(shí)，yo T，代入橢圓C的方程，得t 2, 故直線AB的方程為x 2 .圓心。到直線AB的距離此時(shí)直線ab與圓x2 y2 2相切. 當(dāng)xo t時(shí)，直線ab的方程為y即 yo 2 x xo t y 2xo tyo 0 圓心。到直線AB的距離又x2|2xod 2yo 2xo t役，故ty°2xo 2y24 x2xoxot2y0 4'x2 y0 算 4Xo42x 8x0162x此時(shí)直線ab與圓x2 y2 2相切.法二：由題意知，直線OA的斜率存在，設(shè)為k，則直線OA 的方程為y kx，OA丄OB， 當(dāng)k o時(shí)，A 2 0，易知Bo

13、 2，此時(shí)直線AB的方程為x y 2或x y 2，原點(diǎn)到直線AB的距離為血，此時(shí)直線AB與圓x2 y2 2 相切； 當(dāng)ko時(shí)，直線OB的方程為y丄x，k 722k聯(lián)立l ：2得點(diǎn)A的坐標(biāo)廳示P或x 2y 422k71 2 k2 小 2k2 ；1聯(lián)立y /得點(diǎn)B的坐標(biāo)2k 2， y 2?22k2k2. 1 2k2無妨取點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算， 于是 直-J 2x,2 2k1 2k2即 k -.12k2 x 1線 abk * 廠2k22k '2 x1 k 1 2k2k 12k y 2k原點(diǎn)到直線AB的距離d2k02k222k 、1 2k21 k1 2k22此時(shí)直線AB與圓x2 y2綜上知，直線AB 定

14、與圓x2 y 法三： 當(dāng)k 0時(shí)，A 2 0，易知B0 2， AB廠22 22，原點(diǎn)到直Qa|OB2 2 厲AB 2：2 八2相切。2相切.此時(shí) OA 2 lOB 2， 線ab的距離由點(diǎn)A的坐標(biāo)的對(duì)稱性知，此時(shí)直線ab與圓x / 2相切；1；X， 當(dāng)k 0時(shí)，直線0B的方程為y設(shè) Ax yi Bx2 y2，則 oa 心X , QB,22k聯(lián)立y2 kX2得點(diǎn)A的坐標(biāo)1 2k2 1 2k2或x 2y 422kJi 2k2/ 2k2；于是OA /冋張丁 2：2 , OB 2山k?,'4 1 k22 2 運(yùn) 1 k2|AB Jr 41 k 廿倉(cāng)，, 壟2心所以d琲Af 篤$1 k2 血，直線

15、AB與圓x2 y2 2相 &2k7切；綜上知，直線AB 一定與圓x2 y2 2相切2 2練習(xí)1:已知橢圓CA占1(a b 0)過點(diǎn)(0,1)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng) a b是焦距的血倍.過橢圓左焦點(diǎn)F的直線交橢圓c于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(U)若直線AB垂直于x軸，判斷點(diǎn)O與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由；(皿)若點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，求直線AB的斜率k的取值范圍.(4) 圓錐曲線定值與證明問題例4.1已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為呂，且橢圓C上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離 之和為4 .(I)求橢圓c的方程；(U)設(shè)A為橢圓C的左頂點(diǎn)，過

16、點(diǎn)A的直線l與橢 圓交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，過原點(diǎn)與l平 行的直線與橢圓交于點(diǎn)P .證明：| AM | | AN | 2|OP|'得(1+4k2)x2 16k2x 16k2 44, . 亠 2 2解: (I)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為爲(wèi)書1(a b 0),a b2 . 2 2a b c ,由題意知-¥解得a 2 , b 1 .a 22a 4,所以橢圓C的標(biāo)方程為(n)設(shè)直線AM的方程為：y k(x 2),則 N(0,y k(xX2 4y2).設(shè) A( 2,0),M(x1,y1),則 2, x1 是方程(的兩個(gè)根,所以x12 8k21 4 k2所以M得占).|AMH(2 8k2 4

17、22 8k2)2(1：k2)216 16k2 4、. 1 k2 (1 4k2)2 1 4k2I AN I .4 4k2 2 . 1 k2 .4訥k2 2斤¥8(1 k2)|AM |AN| 1 4k24k2設(shè)直線OP的方程為:由：24 得 d4k2)X2x 4y 4,設(shè) P(xo,y。),則X041 4k2，24 k2y01 4k2所以IOPI24 4k21 4k222|OP|8 8k21 4k2所以 | AM | | AN | 2|OP|2 .例4.2:已知橢圓C：X22a(a>b>0)的離心率為乎,A (a,0) ,B(0,b),O (0, 0), OAB的面積為1.(

18、I )求橢圓C的方程；(I I)設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與Y軸交于 點(diǎn)M直線PB與X軸交于點(diǎn)NoAN ?BM|為定值。求證：解得牛2X1Ml糖鬪方弭為彳+嚴(yán)=1,(II)股Iffiiai上點(diǎn)卩的塑標(biāo)為ggm.又已知拭2衛(wèi)購(gòu)?fù)戮€PA的方程為sinffy = 二(r 2)2cqf& - 2令i就可點(diǎn)坐標(biāo)為gsinGle&sS艮樣可厲御到N的坐標(biāo)為【啟籍川)，sin 3"護(hù)二 f2coj ?1 S珅1跡&_ 1 1 _ 9C-fl5fl-l-bff45rf|11 - silt1 二1 一亂 n/f則|刖| 協(xié)腫| =練習(xí)1：已知橢圓C：X2 y 1(a b 0)

19、的離心率為呼，橢圓 a b3短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為學(xué).3(I )求橢圓C的方程；(H )已知?jiǎng)又本€y k(x 1)與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1 ,求斜率k的值；若點(diǎn)M ( 7,0),求證：MA MB為定值練習(xí)2：已知拋物線C : y2 = 2 px (p > 0),其焦點(diǎn) 為F, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 AB (不垂直于x軸) 過點(diǎn)F且拋物線C交于A, B兩點(diǎn)，直線OA與OB的斜率之積為一p .(1) 求拋物線C的方程；(2) 若M為線段AB的中點(diǎn)，射線0M交拋物線C于點(diǎn) D，求證：冊(cè) 2練習(xí)3:動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)F(1,0)的距離與它到定直線

20、 l：x 4的距離之比為2.(I )求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(n) 已知疋點(diǎn) A( 2,0) , B(2,0)，動(dòng)點(diǎn) Q(4,t) 在直 線l上，作直線AQ與軌跡C的另一個(gè)交點(diǎn)為M，作直 線BQ與軌跡C的另一個(gè)交點(diǎn)為N，證明：M,N,F三 點(diǎn)共線.(5) 圓錐曲線最值問題例5：已知橢圓C: Z 1(a b 0)的離心率為舟，橢 a b2圓C與y軸交于A B兩點(diǎn)，|AB| 2.(I)求橢圓C的方程；(H)設(shè)點(diǎn)p是橢圓c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)p在y軸 的右側(cè).直線PA， PB與直線x 4分別相交于M，N兩點(diǎn).若以MN為直徑的圓與x軸交于兩點(diǎn)E, F，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍及|EF|的最 大值.(I )

21、 由題意可得，得a2 12aa24橢x27 y4分方程為5分 ()設(shè) P(xo,y°)(o xo 所以kpA心,kpAXo2)，A(0,1)，B(0,直線PA1),的方程為Xo同理：直線PB的方程為y也x 1 ,Xo7直線 PA與直線 x 4的交點(diǎn)為M (4, 4(yo 1)Xo1),分直線PB與直線x4的交點(diǎn)為MNN(4,xo的4(y° 1)1),占八、11分(4如)Xo(x 4)2 (y 糾Xo(1-)2 ,Xo 79分Xo、27，令2(X 4)2 譬(1Xo10分27 y2y： 12X。所以(x 4)Xo因?yàn)檫@個(gè)圓與x軸相交，該方程有兩個(gè)不同的實(shí) 數(shù)解，所 以50，解

22、 得XoX。(8,2.512分設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)(Xi,0),(X2,0)，貝0 lx, X2I( I xo 2 )所以該圓被X軸截得的弦長(zhǎng)為最大值為2. 14分2 2練習(xí)1：已知橢圓C：篤占1 a b的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2 , a b、0)，離心率為告。過焦點(diǎn)F的直線I與橢圓C 交于A, B兩點(diǎn)，線段A沖點(diǎn)為D, O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 過Q D的直線交橢圓于M N兩點(diǎn)。(1) 求橢圓C的方程；(2) 求四邊形AMBN面積的最大值。練習(xí)2：已知橢圓C : mx2 3my2 1(m 0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 .6，。為 坐標(biāo)原點(diǎn).(I)求橢圓C的方程和離心率；(n)設(shè)點(diǎn)A(3,0)，動(dòng)點(diǎn)B在y軸上，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C 上,且P在y軸的右側(cè)，若|BA| |BP| ,求四邊形OPAB 面積的最小值.(6) 圓錐曲線存在性問題例6.已知橢圓C :4 1a b 0的離心率為舟，a b2 7點(diǎn)P0,1和點(diǎn)Am,n m 0都在橢圓C上，直線PA交x軸于 點(diǎn)M .(I)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m n表 示)；(n)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線 PB交x軸于點(diǎn)N 問：y