人教B版選修12綜合法和分析法上課用

1、演繹推理是證明數學結論、建立數學體演繹推理是證明數學結論、建立數學體系的重要思維過程系的重要思維過程. .復習推推 理理合情推理合情推理（或然性推理）（或然性推理）演繹推理演繹推理（必然性推理）（必然性推理）歸納歸納(特殊到一般）特殊到一般）類比類比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段論三段論（一般到特殊）（一般到特殊）v合情推理得到的結論是不可靠的，需要證明。數學中證明的方法有哪些呢？間接證明（反證法）分析法綜合法直接證明證明的方法綜合法和分析法綜合法和分析法直接證明1 概念概念從原命題的從原命題的條件或結論條件或結論出發(fā)，根據已知的定義、出發(fā)，根據已知的定義、公理、定理，直接推得命題成立公理、

2、定理，直接推得命題成立2 直接證明的一般形式：直接證明的一般形式：本題結論已知定理已知公理已知定義已知條件例例1:1:已知已知a0,b0,a0,b0,求證求證a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc因為因為b b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因為又因為c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4a

3、bc.4abc.證明證明: :在數學證明中，我們經常從已知條件和某些在數學證明中，我們經常從已知條件和某些數學定義、定理、公理、性質等出發(fā)通過推數學定義、定理、公理、性質等出發(fā)通過推理導出所要的結論。理導出所要的結論。利用已知條件和某些數學定義、公理、利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等定理等, ,經過一系列的推理論證經過一系列的推理論證, ,最后推最后推導出所要證明的結論成立導出所要證明的結論成立, ,這種證明方這種證明方法叫做法叫做綜合法也叫順推法或由因導果法綜合法也叫順推法或由因導果法用用p p表示已知條件、已有的定義、公理、表示已知條件、已有的定義、公理、定理等定理等,q,q表示所

4、要證明的結論表示所要證明的結論. .則綜合法用框圖表示為則綜合法用框圖表示為: :1 1p pq q1 12 2q qq q2 23 3q qq qn nq qq q1 1、綜合法、綜合法( (順推法順推法)()(由因導果法由因導果法)綜合法是由一個個推理組成的綜合法是由一個個推理組成的例例2 2：在：在中，三個內角、對中，三個內角、對應的邊分別為應的邊分別為a a、b b、c c，且、成等差，且、成等差數列，數列，a a、b b、c c成等比數列，成等比數列，求證：求證：為等邊三角形為等邊三角形219log319log219log13235、求證：例2. 2.分析法分析法.( .(逆推法逆推

5、法)( )(執(zhí)果索因法執(zhí)果索因法) )從證明的結論出發(fā)從證明的結論出發(fā), ,逐步尋求使它成立的逐步尋求使它成立的充充分條件分條件, ,直至最后直至最后, ,把要證明的結論歸結為判把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件定一個明顯成立的條件( (已知已知, ,定理定理, ,定義定義, ,公公理等理等). ).這種證明的方法叫做這種證明的方法叫做分析法分析法. .:.2abab證明不等式:例如用用q q表示所要證明的結論表示所要證明的結論, ,則分析法可用框圖表示為則分析法可用框圖表示為: :得到一個明顯成立的條件q p1p1 p2p2 p3證明證明: :因為因為; ; 所以所以所以所以所以所以

6、 成立成立()b 20a a 20a a + + b ba ab b 2a a + + b ba ab b a a + + b ba ab b2 2證明證明: :要證要證只需證只需證只需證只需證只需證只需證因為因為 成立成立所以所以 成立成立 a a+ +b ba ab b2 2 2a a+ +b ba ab b 20a a+ +b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a + + b ba ab b2 2例例2 2 求求證證5273證明證明: :因為因為73 和和52都是正數都是正數, ,所以要所以要證證5273只需證只需證22)52()73(展開得展開得2021210只需證

7、只需證只需只需證證521 2521因為因為2521成立成立, ,所以所以5273成立成立. .22121, 1, 0, 0bababa求證：且已知222)(| |21:,1babasbcaacbabcabc求證設中、在分析：由已知條件和結論我們聯想到數量分析：由已知條件和結論我們聯想到數量積定義和三解形的面積公式：積定義和三解形的面積公式：cccabs2cos1sinsin21利用由數量積定義和上公式結合結論探求證由數量積定義和上公式結合結論探求證明思路明思路【鞏固練習【鞏固練習】證明：證明：babaccbasabc.cossin21，因為2222222222222).(41).141cos1

8、41sin41bababababacbacbasabc（）（所以222).(21babasabc于是要證要證10), 1(11*nnnnnnn求證：證明證明: :nnnn11只需證只需證112nnn只需證只需證12242nnn即證即證12nn即證即證122 nn成立成立所以所以nnnn11成立成立. .顯然顯然即證即證10證法證法2 2要證要證nnnn11只需證只需證nnnn1111只需證只需證nnnn11只需證只需證11nn上式顯然成立上式顯然成立. .所以所以nnnn11成立成立. .abcpdacdpcpbpaabcpabc平面的中點，求證：是中，、設在四面體,903p pa ab bc

9、 cd d練習練習:如圖如圖,sa,sa平面平面abc,abbc,abc,abbc,過過a a作作sbsb的垂線的垂線, ,垂足為垂足為e,e,過過e e作作scsc的垂線的垂線, ,垂垂足為足為f,f,求證求證 afscafscf fe es sc cb ba a證明證明: :要證要證afafscsc只需證只需證:sc:sc平面平面aefaef只需證只需證:ae:aescsc只需證只需證:ae:ae平面平面sbcsbc只需證只需證:ae:aebcbc只需證只需證:bc:bc平面平面sabsab只需證只需證:bc:bcsasa只需證只需證:sa:sa平面平面abcabc因為因為:sa:sa平面

10、平面abcabc成立成立所以所以. af. afscsc成立成立【鞏固練習【鞏固練習】abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244 （：求證求證已知已知、求證：、求證： 8)11)(11)(111,3 cbacbarcba（求求證證：、已已知知的值。的值。求求兩點。兩點。、與拋物線交于與拋物線交于過焦點的弦過焦點的弦、已知拋物線、已知拋物線212122112),(),(, )0(24yyxxyxbyxappxy 5. 設設 a 0， 是是 r上的偶函數。上的偶函數。 （1）求）求 a 的值；的值； （2） 證明證明 f(x) 在（在（0，）上是增函）上是增函數

11、數xxeaaexf )(利用已知條件和某些數學定義、公理、利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等定理等, ,經過一系列的推理論證經過一系列的推理論證, ,最后推最后推導出所要證明的結論成立導出所要證明的結論成立, ,這種證明方這種證明方法叫做法叫做綜合法綜合法用用p p表示已知條件、已有的定義、公理、表示已知條件、已有的定義、公理、定理等定理等,q,q表示所要證明的結論表示所要證明的結論. .則綜合法用框圖表示為則綜合法用框圖表示為: :1 1p pq q1 12 2q qq q2 23 3q qq qn nq qq q小結小結綜合法的定義綜合法的定義: :50 150 1例例2 2：在：在中，三個內角、對中，三個內角、對應的邊分別為應的邊分別為a a、b b、c c，且、成等，且、成等差數列，差數列，a a、b b、c c成等比數列，求證成等比數列，求證為等邊三角形為等邊三角形分析：把題中的文字語言轉化為符號語分析：把題中的文字語言轉化為符號語言：言：a+c=2ba+c=2b，b b2 2 =ac=ac由（由（1 1）聯想到內角各能得到什么？）聯想到內角各能得到什么？由（由（2 2）聯想到三角形什么知識？余弦定理，）聯想到三角形什么知識？余弦定理，二者聯系起來能得到什么結論二者聯系起來能得到什么結論證明：證明： 由由a a，b b，c c成等差數列，有成等差數